论文部分内容阅读
【摘 要】《义务教育数学课程标准（2011年版）》的课程总目标提出“三重联系”，这不仅规定了义务教育数学课程的总目标，而且也为教师的教学设计提供了一个新的视角。以“频率的稳定性”为例，分析“三重联系”在数学教学设计中的地位和作用，并由此构建“频率的稳定性”的教学设计。
【关键词】三重联系;教学设计;频率的稳定性
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1005-6009（2015）26-0015-03
【作者简介】陈克胜，安徽师范大学数学计算机科学学院（安徽芜湖，241002）副教授，硕士生导师。
高水平的教学设计是保证课堂教学质量和效益的根本性措施之一，同时也反映教师专业化水平。《义务教育数学课程标准（2011年版）》的课程总目标提到：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系”，概称为“三重联系”，作为课程总目标之一，实际上为教师的课堂教学设计指明了方向，同时也架构了数学教学设计的基本内容。由此，可以说“三重联系”为高水平的课堂教学设计提供一个新的视角。
从数学的发展来看，19世纪前，数学发展的动力主要来自于现实中的问题，与之对应的相关数学知识的教学，很自然地将数学与其他学科、数学与生活之间建立了联系，但容易忽视数学知识之间的联系。到了20世纪，数学发展的另一动力来自数学自身内部，特别是罗素悖论的产生使数学家对数学形成了三个不同观点——逻辑主义、直觉主义和形式主义，与之相对应的数学知识的教学容易过于“数学化”“抽象化”。综合考量“三重联系”，为数学教学设计提供了基本思路，下面以“频率的稳定性”为例来进行说明，以供参考。
一、“频率的稳定性”的“三重联系”之分析
1.概率与其他学科和生活之间的二重联系。
概率最早源于赌博问题的研究，与人们的生活紧密联系在一起。1653年，帕斯卡的一位朋友梅雷向其请教赌博中分配赌金的问题，引起帕斯卡的兴趣，帕斯卡和费尔马共同研究，解决了赌博中的问题，他们将掷骰子视为古典概型，后来拉普拉斯给出了古典概率的定义。由赌博而开启了概率的研究，这成为当时数学家研究的动力和兴趣。1657年，荷兰数学家惠更斯出版了《论赌博中的计算》，专门讨论赌博中有关点数的问题，如计算骰子的点数出现的概率。1713年，雅各布·伯努利《猜度术》，将概率知识进行系统化，并由有限样本空间逐步扩展到无限样本空间，得到处理随机现象的大数定律。而现实生活能为理解概率提供大量有趣、启迪思维的例子。总之，在现实生活、其他学科中存在大量的随机现象，为“频率的稳定性”的教学设计提供了丰富的教学资源，包括课题学习的引入、教学中的师生互动、分析以及巩固练习、课外训练等。
2.数学知识之间的联系。
由于概率源自于生活，并用于解决其他学科的问题，内容丰富而有意义，而建立在公理化基础上的概率论对于中学生来说比较抽象，因此，应加强概率有关知识之间的联系。由数学知识之间的联系而获得教学设计的启发，其教学设计除了用丰富的实例引入、分析、归纳“频率的稳定性”定义外，还应关注：（1）概率的古典定义和统计定义的联系;（2）概率的统计定义中关于试验的次数的确定;（3）频率估计概率的基本思想与方法。
3.概率的古典定义和统计定义的联系。
概率的古典定义是由拉普拉斯给出的，它讨论的对象仅限于随机试验中所有可能的结果为有限多且等可能的情形，并且每一事件都是等可能发生，具有先验性，是客观存在的理想值。而概率的统计定义是以伯努利大数定理为理论依据，取频率的稳定值为概率，具有后验性。也就是说，概率的统计定义是利用频率来研究随机事件的概率，只是近似地计算随机事件概率的方法。其优点有：一是这种定义突破了随机试验要满足“事件发生的等可能性”的限制，具有一般性;二是这种定义突破了事件发生所有可能的结果的有限性，而只关注某个事件发生的概率;三是直观性，直观地揭示了概率的含义;四是随机试验并不限于古典概型，需要通过大量试验、重复观察来确定概率，是用来估计概率的一种方法。因此，概率的统计定义主要是具有理论上的价值，很少用它直接计算事件的概率。但也有其弊端：在有限次试验中很难确定频率的稳定值，求概率比较难。因为事件的随机性会导致不同的试验者在有限试验的次数内可能会得到不同的“稳定值”，也就是说在稳定值上下摆动，只有当试验次数无限大时，才能得到稳定值。但在实际中，往往不知概率为何值，只能通过试验的次数充分大，频率才能近似地表示概率。
在教学设计时，教师从中获得的启发是：考量学生已有的认知水平和现实生活的经验，将其纳入到教学设计中来，例如，掷硬币、骰子，可以从检验古典概型有关概率计算的正确性的角度，把概率的古典定义与统计定义联系起来，有助于理解概率的统计定义。
4.概率的统计定义中关于试验的次数。
由频率的稳定性来刻画概率可以通过试验来进行教学，但是频率具有随机性，是一个不断变化的值，需要进行大量的试验反映随机事件的稳定性，即概率是一个理论的确定值。在教学设计时，需要考虑试验的次数，以保证学生直观感受到频率的稳定性能刻画概率，同时又考虑课堂教学时间的有限性。
关于随机事件试验的次数问题的数学说明。假设我们要估计某随机事件A发生的概率，共进行n次试验，将第i次试验的结果用Xi表示（i=1，2，…，n），1表示在第i次试验中随机事件A发生，0表示该随机事件不发生。在n次试验中事件A发生的频率为fnXi，其均值E（fn）=p，方差var（fn）=，实验表明，当n≥100时，事件A发生的频率近似服从正态分布。由中心极限定理，若p=0.5，试验次数n=100，此时=0.1，则有p{fn-p<0.1}≈0.95，即大约有95%的把握保证频率和概率的偏差小于0.1。若精度再提高1位，试验次数要提高100倍，即10000次试验，大约有95%的把握保证频率和概率的偏差小于0.01。 由此，在教学设计时，教师从中获得的启示是：让学生在试验的过程中逐渐增加次数，使学生初步感受到概率的统计定义是在一定量的试验的基础上频率趋于一个稳定值。设计课堂教学时，考虑对学生进行分组，可以2人一组，然后汇总，每组学生试验次数分为两个数量级：100次以下，100次以上，这样保证试验的次数达到一定的量。在此基础上再利用计算机模拟，给出更大数量。将两种途径相互结合，既达到有足够试验次数的目的，又能让学生亲身感受随机现象的规律性。
5.频率估计概率的基本思想和方法。
统计方法的选择依赖于要解决的实际问题和收集数据的方法。频率估计概率涉及统计方法的运用，其基本方法是：两个估计量均为同一个参数的无偏估计，在统计中方差小的估计量更好。假设为了估计事件A发生的概率p做了大量的试验，得到的统计结果如下表。
事件A发生的频率表
记n=n1 n2 … nk，把频率再平均通常有以下两种方法。
加权平均的方法p1=
直接取平均的方法p2=
现在有三个估计量p1、p2和fnk可以用来估计事件A发生的概率P，且它们都是P的无偏估计，分两种情况来讨论它们中哪个估计量最好，即方差最小。
因此，在教学设计中，教师获得的启示是：利用频率估计概率，让学生理解频率与概率的区别与联系，在分析和处理数据时，感受到概率与统计之间的关系。
二、基于“三重联系”的课堂教学设计
基于上述“频率的稳定性”之“三重联系”分析，我们试作如下教学设计，希望能够为初中生切实掌握“频率的稳定性”提供帮助。
1.问题情境引入课题。
在现实生活中，人们经常利用抛掷硬币来决定事情的先后，请同学们想一想：这样做合理吗？硬币正面朝上和反面朝上的可能性相等吗？为什么？
（设计意图：以现实例子来引入课题，其目的是：其一，学生对掷硬币的随机现象已有了一定的认知，并已知道其中的结论，为从统计的意义验证结论奠定基础;其二，现实生活和其他学科存在丰富的随机现象的例子，以引发学生的学习兴趣，让学生感受到学习概率的现实意义。）
2.试验验证知识经验。
请同学们分成小组来验证一下你们的猜想，2人一个小组，分别做三次试验：第一次试验次数为50次，第二次试验次数为200次，第三次试验次数为300次，并分别统计频数和频率，然后请同学们将每个小组的试验数据汇总，统计全班所做试验的频数和频率，并画出统计折线图。请同学们研究其中有什么规律。
教师也可以利用计算机模拟硬币试验，请同学们注意观察在相同试验次数下的频率值，比较一下发现了什么？
（设计意图：由“数学知识之间的联系”启发运用统计知识对经验结论进行验证，其目的是：其一，通过学生亲自动手操作，重在学生亲身体验频率与概率的关系，利于启迪学生内心世界的自我反省与思考;其二，重温统计知识，实现统计与概率知识内在联系，有助于学生体会统计方法的意义，发展数据分析观念，感受随机现象;其三，经历试验过程的比较与研究，有助于学生学会观察、猜想等，提升数学活动能力，学会表达自己的想法;其四，感受计算机在数学研究中的作用;其五，有助于培养学生团结合作的精神。）
展现历史上数学家曾做过的掷硬币试验，利用计算机模拟这些数学家所做试验的次数，比较结果，并做出解释。
（设计意图：其一，让学生再次认识、感受频率的随机性，并由之体会概率的统计定义;其二，展现数学文化的价值，体会数学家的探索精神和研究方法;其三，培养学生对权威有一种勇于批判的精神。）
3.课堂练习巩固所学。
小凡做了5次抛掷均匀硬币的试验，其中有3次正面朝上，2次正面朝下，因此他认为正面朝上的概率大约为■，朝下的概率约为■。你同意他的观点吗？你认为他再多做一些试验，结果还是这样吗？
掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为■，那么，掷100次硬币，你能保证恰好50次正面朝上吗？
（设计意图：将所学的知识用于解释现实生活中的现象与困惑，做到学以致用，反思所学，利于培养学生的科学批判与审视的态度和精神。）
三、一点启示
以上“频率的稳定性”尝试以“三重联系”为数学教学设计提供一种理论指导，构建“频率稳定性”教学设计，从而为教师进行教学设计提供一种新的视角。同时，也给数学教育工作者更多的启示与思考：第一，“三重联系”是以课程总目标的形式规定了教学设计应达到的教学目的，数学教学设计需要整体地考量数学知识内部之间、数学与其他学科、数学与生活的联系，基显著的特点是整体性;第二，“三重联系”是课程总目标之一，从宏观上规定了数学具体的课堂教学目标，但是将课程总目标转化为课堂具体目标需要教师的数学教育智慧，既能实现课程目标，又能满足学生意愿，让学生乐意去学，增强学生学习数学的乐趣、兴趣;第三，从某种意义上说，“三重联系”可以作为体现数学文化价值的一种手段，在数学课堂教学上实现数学文化教育的目的。
【参考文献】
[1]义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2011.
[2]徐文彬.基于“三重联系”的课堂教学设计——以《一元一次方程》单元复习为例[J].江苏教育：中学教学，2013（05）.
[3]徐文彬.如何认识《义务教育数学课程标准》中的三重联系[J].江苏教育：小学教学，2013（02）.
[4]张淑梅，张唯一.初中“用频率估计概率”的教学解析[J].数学通报，2010（01）.
【基金项目】安徽省教育科学规划项目，编号：JG12016
【关键词】三重联系;教学设计;频率的稳定性
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1005-6009（2015）26-0015-03
【作者简介】陈克胜，安徽师范大学数学计算机科学学院（安徽芜湖，241002）副教授，硕士生导师。
高水平的教学设计是保证课堂教学质量和效益的根本性措施之一，同时也反映教师专业化水平。《义务教育数学课程标准（2011年版）》的课程总目标提到：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系”，概称为“三重联系”，作为课程总目标之一，实际上为教师的课堂教学设计指明了方向，同时也架构了数学教学设计的基本内容。由此，可以说“三重联系”为高水平的课堂教学设计提供一个新的视角。
从数学的发展来看，19世纪前，数学发展的动力主要来自于现实中的问题，与之对应的相关数学知识的教学，很自然地将数学与其他学科、数学与生活之间建立了联系，但容易忽视数学知识之间的联系。到了20世纪，数学发展的另一动力来自数学自身内部，特别是罗素悖论的产生使数学家对数学形成了三个不同观点——逻辑主义、直觉主义和形式主义，与之相对应的数学知识的教学容易过于“数学化”“抽象化”。综合考量“三重联系”，为数学教学设计提供了基本思路，下面以“频率的稳定性”为例来进行说明，以供参考。
一、“频率的稳定性”的“三重联系”之分析
1.概率与其他学科和生活之间的二重联系。
概率最早源于赌博问题的研究，与人们的生活紧密联系在一起。1653年，帕斯卡的一位朋友梅雷向其请教赌博中分配赌金的问题，引起帕斯卡的兴趣，帕斯卡和费尔马共同研究，解决了赌博中的问题，他们将掷骰子视为古典概型，后来拉普拉斯给出了古典概率的定义。由赌博而开启了概率的研究，这成为当时数学家研究的动力和兴趣。1657年，荷兰数学家惠更斯出版了《论赌博中的计算》，专门讨论赌博中有关点数的问题，如计算骰子的点数出现的概率。1713年，雅各布·伯努利《猜度术》，将概率知识进行系统化，并由有限样本空间逐步扩展到无限样本空间，得到处理随机现象的大数定律。而现实生活能为理解概率提供大量有趣、启迪思维的例子。总之，在现实生活、其他学科中存在大量的随机现象，为“频率的稳定性”的教学设计提供了丰富的教学资源，包括课题学习的引入、教学中的师生互动、分析以及巩固练习、课外训练等。
2.数学知识之间的联系。
由于概率源自于生活，并用于解决其他学科的问题，内容丰富而有意义，而建立在公理化基础上的概率论对于中学生来说比较抽象，因此，应加强概率有关知识之间的联系。由数学知识之间的联系而获得教学设计的启发，其教学设计除了用丰富的实例引入、分析、归纳“频率的稳定性”定义外，还应关注：（1）概率的古典定义和统计定义的联系;（2）概率的统计定义中关于试验的次数的确定;（3）频率估计概率的基本思想与方法。
3.概率的古典定义和统计定义的联系。
概率的古典定义是由拉普拉斯给出的，它讨论的对象仅限于随机试验中所有可能的结果为有限多且等可能的情形，并且每一事件都是等可能发生，具有先验性，是客观存在的理想值。而概率的统计定义是以伯努利大数定理为理论依据，取频率的稳定值为概率，具有后验性。也就是说，概率的统计定义是利用频率来研究随机事件的概率，只是近似地计算随机事件概率的方法。其优点有：一是这种定义突破了随机试验要满足“事件发生的等可能性”的限制，具有一般性;二是这种定义突破了事件发生所有可能的结果的有限性，而只关注某个事件发生的概率;三是直观性，直观地揭示了概率的含义;四是随机试验并不限于古典概型，需要通过大量试验、重复观察来确定概率，是用来估计概率的一种方法。因此，概率的统计定义主要是具有理论上的价值，很少用它直接计算事件的概率。但也有其弊端：在有限次试验中很难确定频率的稳定值，求概率比较难。因为事件的随机性会导致不同的试验者在有限试验的次数内可能会得到不同的“稳定值”，也就是说在稳定值上下摆动，只有当试验次数无限大时，才能得到稳定值。但在实际中，往往不知概率为何值，只能通过试验的次数充分大，频率才能近似地表示概率。
在教学设计时，教师从中获得的启发是：考量学生已有的认知水平和现实生活的经验，将其纳入到教学设计中来，例如，掷硬币、骰子，可以从检验古典概型有关概率计算的正确性的角度，把概率的古典定义与统计定义联系起来，有助于理解概率的统计定义。
4.概率的统计定义中关于试验的次数。
由频率的稳定性来刻画概率可以通过试验来进行教学，但是频率具有随机性，是一个不断变化的值，需要进行大量的试验反映随机事件的稳定性，即概率是一个理论的确定值。在教学设计时，需要考虑试验的次数，以保证学生直观感受到频率的稳定性能刻画概率，同时又考虑课堂教学时间的有限性。
关于随机事件试验的次数问题的数学说明。假设我们要估计某随机事件A发生的概率，共进行n次试验，将第i次试验的结果用Xi表示（i=1，2，…，n），1表示在第i次试验中随机事件A发生，0表示该随机事件不发生。在n次试验中事件A发生的频率为fnXi，其均值E（fn）=p，方差var（fn）=，实验表明，当n≥100时，事件A发生的频率近似服从正态分布。由中心极限定理，若p=0.5，试验次数n=100，此时=0.1，则有p{fn-p<0.1}≈0.95，即大约有95%的把握保证频率和概率的偏差小于0.1。若精度再提高1位，试验次数要提高100倍，即10000次试验，大约有95%的把握保证频率和概率的偏差小于0.01。 由此，在教学设计时，教师从中获得的启示是：让学生在试验的过程中逐渐增加次数，使学生初步感受到概率的统计定义是在一定量的试验的基础上频率趋于一个稳定值。设计课堂教学时，考虑对学生进行分组，可以2人一组，然后汇总，每组学生试验次数分为两个数量级：100次以下，100次以上，这样保证试验的次数达到一定的量。在此基础上再利用计算机模拟，给出更大数量。将两种途径相互结合，既达到有足够试验次数的目的，又能让学生亲身感受随机现象的规律性。
5.频率估计概率的基本思想和方法。
统计方法的选择依赖于要解决的实际问题和收集数据的方法。频率估计概率涉及统计方法的运用，其基本方法是：两个估计量均为同一个参数的无偏估计，在统计中方差小的估计量更好。假设为了估计事件A发生的概率p做了大量的试验，得到的统计结果如下表。
事件A发生的频率表
记n=n1 n2 … nk，把频率再平均通常有以下两种方法。
加权平均的方法p1=
直接取平均的方法p2=
现在有三个估计量p1、p2和fnk可以用来估计事件A发生的概率P，且它们都是P的无偏估计，分两种情况来讨论它们中哪个估计量最好，即方差最小。
因此，在教学设计中，教师获得的启示是：利用频率估计概率，让学生理解频率与概率的区别与联系，在分析和处理数据时，感受到概率与统计之间的关系。
二、基于“三重联系”的课堂教学设计
基于上述“频率的稳定性”之“三重联系”分析，我们试作如下教学设计，希望能够为初中生切实掌握“频率的稳定性”提供帮助。
1.问题情境引入课题。
在现实生活中，人们经常利用抛掷硬币来决定事情的先后，请同学们想一想：这样做合理吗？硬币正面朝上和反面朝上的可能性相等吗？为什么？
（设计意图：以现实例子来引入课题，其目的是：其一，学生对掷硬币的随机现象已有了一定的认知，并已知道其中的结论，为从统计的意义验证结论奠定基础;其二，现实生活和其他学科存在丰富的随机现象的例子，以引发学生的学习兴趣，让学生感受到学习概率的现实意义。）
2.试验验证知识经验。
请同学们分成小组来验证一下你们的猜想，2人一个小组，分别做三次试验：第一次试验次数为50次，第二次试验次数为200次，第三次试验次数为300次，并分别统计频数和频率，然后请同学们将每个小组的试验数据汇总，统计全班所做试验的频数和频率，并画出统计折线图。请同学们研究其中有什么规律。
教师也可以利用计算机模拟硬币试验，请同学们注意观察在相同试验次数下的频率值，比较一下发现了什么？
（设计意图：由“数学知识之间的联系”启发运用统计知识对经验结论进行验证，其目的是：其一，通过学生亲自动手操作，重在学生亲身体验频率与概率的关系，利于启迪学生内心世界的自我反省与思考;其二，重温统计知识，实现统计与概率知识内在联系，有助于学生体会统计方法的意义，发展数据分析观念，感受随机现象;其三，经历试验过程的比较与研究，有助于学生学会观察、猜想等，提升数学活动能力，学会表达自己的想法;其四，感受计算机在数学研究中的作用;其五，有助于培养学生团结合作的精神。）
展现历史上数学家曾做过的掷硬币试验，利用计算机模拟这些数学家所做试验的次数，比较结果，并做出解释。
（设计意图：其一，让学生再次认识、感受频率的随机性，并由之体会概率的统计定义;其二，展现数学文化的价值，体会数学家的探索精神和研究方法;其三，培养学生对权威有一种勇于批判的精神。）
3.课堂练习巩固所学。
小凡做了5次抛掷均匀硬币的试验，其中有3次正面朝上，2次正面朝下，因此他认为正面朝上的概率大约为■，朝下的概率约为■。你同意他的观点吗？你认为他再多做一些试验，结果还是这样吗？
掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为■，那么，掷100次硬币，你能保证恰好50次正面朝上吗？
（设计意图：将所学的知识用于解释现实生活中的现象与困惑，做到学以致用，反思所学，利于培养学生的科学批判与审视的态度和精神。）
三、一点启示
以上“频率的稳定性”尝试以“三重联系”为数学教学设计提供一种理论指导，构建“频率稳定性”教学设计，从而为教师进行教学设计提供一种新的视角。同时，也给数学教育工作者更多的启示与思考：第一，“三重联系”是以课程总目标的形式规定了教学设计应达到的教学目的，数学教学设计需要整体地考量数学知识内部之间、数学与其他学科、数学与生活的联系，基显著的特点是整体性;第二，“三重联系”是课程总目标之一，从宏观上规定了数学具体的课堂教学目标，但是将课程总目标转化为课堂具体目标需要教师的数学教育智慧，既能实现课程目标，又能满足学生意愿，让学生乐意去学，增强学生学习数学的乐趣、兴趣;第三，从某种意义上说，“三重联系”可以作为体现数学文化价值的一种手段，在数学课堂教学上实现数学文化教育的目的。
【参考文献】
[1]义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2011.
[2]徐文彬.基于“三重联系”的课堂教学设计——以《一元一次方程》单元复习为例[J].江苏教育：中学教学，2013（05）.
[3]徐文彬.如何认识《义务教育数学课程标准》中的三重联系[J].江苏教育：小学教学，2013（02）.
[4]张淑梅，张唯一.初中“用频率估计概率”的教学解析[J].数学通报，2010（01）.
【基金项目】安徽省教育科学规划项目，编号：JG12016