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摘要：针对传统PI控制精度不高的问题，采用分数阶PI控制器来实现对数控速度伺服系统的控制。为达到所期望的控制性能和开环增益鲁棒性，在相同的整定规则下，分别设计了分数阶PI（FOPI）控制器和传统的整数阶PI（IOPI）控制器。实验仿真结果表明，FOPI控制器能有效控制系统，在增益鲁棒性和动态响应性方面要优于IOPI控制系统。
关键词：速度伺服系统；FOPI控制器；增益鲁棒性；动态性能；整定规则 文献标识码：A
中图分类号：TP13 文章编号：1009-2374（2015）11-0013-02 DOI：10.13535/j.cnki.11-4406/n.2015.11.007
1 概述
近年來，由于分数阶微积分能更好地用数学的方式解释并描述自然界的很多现象，比如黏弹性现象、阻尼系统、混沌系统、漫反射现象、波传播现象，大量学者涌入分数阶微积分的研究行列。分数阶控制器作为分数阶微积分的一种应用，也越来越引起诸多学者的研究兴趣，主要原因归结于分数阶控制器潜在的应用价值与更好的控制性能。
下式为FOPI控制器的传递函数的一般表达式：
（1）
这里是一个实数，范围为。为了整定FOPI控制器的三个参数，Chen提出了一种Flat Phase整定条件，也就是说系统开环传递函数在截止频率处的相位波特图是平坦的，一旦这个条件满足的话，将会使系统对开环增益变化具有鲁棒性。这一条件可以用下列数学公式来表示：
这里是开环传递函数的截止频率。而G（s）又可由下式表示：
其中是系统开环传递函数，为控制器的传递函数，为被控对象的传递函数。
根据幅值稳定性约束条件，在截止频率处系统的开环传递函数的幅值需满足：
根据相位稳定性约束条件，在截止频率处系统的开环传递函数的相位需满足：
（5）
其中为相位裕度值。
通过（2）、（4）、（5）三个等式约束条件，我们就可以整定FOPI控制器的三个参数。运用已知条件简化（2）、（4）、（5）三个方程，我们可以得到：
根据式（7）和（8），利用图解法求得参数和
，将和代入（6）式，可求出。
2 参数求解实例
作为数控装置和机床的中间连接环节，速度伺服系统是数控系统的重要组成部分，其近似数学模型可以用典型一阶系统来模拟，其传递函数表达式如式（9）：
给定时间常数，截止频率，相位裕度，开环增益分别为。
根据式（7）和（8），利用图解法求得参数
=0.73，5.747。将和代入（6）式，计算求得：。
所以FOPI控制器的传递函数为：
我们可以得到当系统开环增益取K=0.8，K=1，K=1.2时，即增益变化±20%时，FOPI控制系统，IOPI控制系统的单位阶跃响应如图1、图2所示。从图1、图2可以看出，FOPI控制系统，IOPI控制系统均具有增益鲁棒性，但是细微分析一下，FOPI控制系统的增益鲁棒性要略微高于IOPI控制系统的鲁棒性。
在时间常数T、穿越角频率、相位裕度并且开环增益K=1相同的情况下，图3给出了FOPI控制系统、IOPI控制系统的阶跃响应图以及动态性能比较。
从图3可以看出，在上升时间、峰值时间、调节时间、超调量、恢复时间这几个动态性能指标上，FOPI控制系统的性能要高于IOPI控制系统。
3 结论
利用Chen提出的鲁棒分数阶PI控制器原理，详细推导了FOPI控制器的参数整定方程，并利用此方程针对速度伺服系统进行FOPI控制器的设计。仿真结果表明针对速度伺服系统这类模型，FOPI控制系统的鲁棒性，抗干扰能力及动态响应特性要强于IOPI控制系统，从而表明了FOPI控制器设计的有效性。
参考文献
[1] Yang，J.H.，Zhu H.Bifurcation and resonance induced by fractional-order damping and time delay feedback in a Duffing system[J].Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2013，18（5）.
[2] Tavakoli-Kakhki，M.，Haeri，M.，Tavazoei M.S. Study on control input energy efficiency of fractional order control systems[J].IEEE Journal on Emerging and Selected in Circuits and Systems，2013，3（3）.
[3] Vinagre，B.，M.，Petras，I.，Podlubny，I.，et al.Using fractional order adjustment rules and fractional order reference models in model reference adaptive control[J].Nonlinear Dynamic，2002，（29）.
[4] Luo，Y.，Chen，Y.Q.，Wang，C.Y.，et al.Tuning Fractional Order Proportional Integral Controllers for Fractional Order Systems[J].Journal of Process Control，2010，20（7）.
作者简介：郭勇（1985-），男，一汽-大众汽车有限公司技术开发电子电器科科长，工程师，研究方向：汽车电动车窗检测与测试。
（责任编辑：周 琼）
关键词：速度伺服系统；FOPI控制器；增益鲁棒性；动态性能；整定规则 文献标识码：A
中图分类号：TP13 文章编号：1009-2374（2015）11-0013-02 DOI：10.13535/j.cnki.11-4406/n.2015.11.007
1 概述
近年來，由于分数阶微积分能更好地用数学的方式解释并描述自然界的很多现象，比如黏弹性现象、阻尼系统、混沌系统、漫反射现象、波传播现象，大量学者涌入分数阶微积分的研究行列。分数阶控制器作为分数阶微积分的一种应用，也越来越引起诸多学者的研究兴趣，主要原因归结于分数阶控制器潜在的应用价值与更好的控制性能。
下式为FOPI控制器的传递函数的一般表达式：
（1）
这里是一个实数，范围为。为了整定FOPI控制器的三个参数，Chen提出了一种Flat Phase整定条件，也就是说系统开环传递函数在截止频率处的相位波特图是平坦的，一旦这个条件满足的话，将会使系统对开环增益变化具有鲁棒性。这一条件可以用下列数学公式来表示：
这里是开环传递函数的截止频率。而G（s）又可由下式表示：
其中是系统开环传递函数，为控制器的传递函数，为被控对象的传递函数。
根据幅值稳定性约束条件，在截止频率处系统的开环传递函数的幅值需满足：
根据相位稳定性约束条件，在截止频率处系统的开环传递函数的相位需满足：
（5）
其中为相位裕度值。
通过（2）、（4）、（5）三个等式约束条件，我们就可以整定FOPI控制器的三个参数。运用已知条件简化（2）、（4）、（5）三个方程，我们可以得到：
根据式（7）和（8），利用图解法求得参数和
，将和代入（6）式，可求出。
2 参数求解实例
作为数控装置和机床的中间连接环节，速度伺服系统是数控系统的重要组成部分，其近似数学模型可以用典型一阶系统来模拟，其传递函数表达式如式（9）：
给定时间常数，截止频率，相位裕度，开环增益分别为。
根据式（7）和（8），利用图解法求得参数
=0.73，5.747。将和代入（6）式，计算求得：。
所以FOPI控制器的传递函数为：
我们可以得到当系统开环增益取K=0.8，K=1，K=1.2时，即增益变化±20%时，FOPI控制系统，IOPI控制系统的单位阶跃响应如图1、图2所示。从图1、图2可以看出，FOPI控制系统，IOPI控制系统均具有增益鲁棒性，但是细微分析一下，FOPI控制系统的增益鲁棒性要略微高于IOPI控制系统的鲁棒性。
在时间常数T、穿越角频率、相位裕度并且开环增益K=1相同的情况下，图3给出了FOPI控制系统、IOPI控制系统的阶跃响应图以及动态性能比较。
从图3可以看出，在上升时间、峰值时间、调节时间、超调量、恢复时间这几个动态性能指标上，FOPI控制系统的性能要高于IOPI控制系统。
3 结论
利用Chen提出的鲁棒分数阶PI控制器原理，详细推导了FOPI控制器的参数整定方程，并利用此方程针对速度伺服系统进行FOPI控制器的设计。仿真结果表明针对速度伺服系统这类模型，FOPI控制系统的鲁棒性，抗干扰能力及动态响应特性要强于IOPI控制系统，从而表明了FOPI控制器设计的有效性。
参考文献
[1] Yang，J.H.，Zhu H.Bifurcation and resonance induced by fractional-order damping and time delay feedback in a Duffing system[J].Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2013，18（5）.
[2] Tavakoli-Kakhki，M.，Haeri，M.，Tavazoei M.S. Study on control input energy efficiency of fractional order control systems[J].IEEE Journal on Emerging and Selected in Circuits and Systems，2013，3（3）.
[3] Vinagre，B.，M.，Petras，I.，Podlubny，I.，et al.Using fractional order adjustment rules and fractional order reference models in model reference adaptive control[J].Nonlinear Dynamic，2002，（29）.
[4] Luo，Y.，Chen，Y.Q.，Wang，C.Y.，et al.Tuning Fractional Order Proportional Integral Controllers for Fractional Order Systems[J].Journal of Process Control，2010，20（7）.
作者简介：郭勇（1985-），男，一汽-大众汽车有限公司技术开发电子电器科科长，工程师，研究方向：汽车电动车窗检测与测试。
（责任编辑：周 琼）