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设R是一个环,f是R到自身的一个映射,Mn(R)和Tn(R)分别是R上n阶矩阵空间和n阶上三角矩阵空间.如果A∈M n(R)(或A∈Tn(R)),映射A→f(A)=(f(a ij))保持逆矩阵,则称f为R上n阶矩阵空间(或R上n阶上三角矩阵空间)保持逆矩阵的函数.证明了对于整环R到自身的一个映射f,下列条件等价:1)f是R上n阶矩阵空间保持逆矩阵的函数;2)f是R上n阶上三角矩阵空间保持逆矩阵的函数;3)f=f(1)δ,其中f(1)2=1且δ是R的一个非零自同态.