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【摘要】 数学理解是指对数学知识、数学思想、数学方法及有关数学知识的背景等的理解. 也就是学生学习数学知识时，只有当这部分知识已被学生接受，并成为学生自身知识体系的一部分时，那才是数学理解. 我们认为，数学理解是指学习者联系自己已有的知识和经验，通过数学学习活动，认识数学学习对象的外部表征，并构建相应的心理表象，然后经过思维加工，打破原有的认知平衡，将数学对象的心理表象重新加以解释，重新建构其意义，从而把新的学习内容纳入已有的认知结构，逐步认识数学对象的本质特征和规律的一种思维活动.
【关键词】 数学理解；材料；体验
数学理解是对数学知识、数学方法和有关数学知识背景的理解. 通过阅读《为理解而教学》《试论数学理解的两种类型》《数学认知理解的研究综述》和《对数学理解的再认识》，我对什么是数学理解有了新认识，理解是在新的场景中灵活运用理论和概念的能力. 数学理解就是指学生在已有数学知识和经验的基础上，建立知识的恰当心理表征，逐步形成丰富的、融会贯通的知识网络的思维过程. 理解有两种模式：工具性理解和关系性理解. 所谓工具性理解就是学生知道概念、公式等是什么，知道怎样做；关系性理解就是指知道概念、公式的由来，知道新知识与原有知识的关系，并能把它纳入到原有的知识体系中，构建完整的知识网络，也就是我们常说的不但要让学生“知其然，还要知其所以然”.
结合《数学课程标准（2011年）》将教学目标分为：了解、理解、掌握、应用四个层次. 理解作为一个层次被解释为：对概念和规律不仅能够说出是什么，而且能够知道它是怎么得出来的，它与其他概念之间的联系，有什么用途. 我们认为，数学理解是指学习者联系自己已有的知识和经验，通过数学学习活动，认识数学学习对象的外部表征，并构建相应的心理表象，然后经过思维加工，打破原有的认知平衡，将数学对象的心理表象重新加以解释，重新建构其意义，从而把新的学习内容纳入已有的认知结构，逐步认识数学对象的本质特征和规律的一种思维活动.
一、对理解的维度和水平的认知和运用
概念是形成数学知识体系的基本要素，是数学基础知识的核心，是学生学习数学的基石. 正确地理解、掌握数学概念更是学好数学的前提和保障，有利于学生在学习中形成完整的、清晰的、系統的数学知识体系. 为了更好的将数学理解的相关理论运用到教学之中，尝试着用一节北师大版五年级上册“分数再认识”一课进行实践与理解，因为“分数再认识”是一节概念教学的课，可以非常清晰地将数学理解展现出来.
美国课程研究专家威金斯和麦克泰伊将理解划分为六个维度——解释、释义、应用、洞察、移情和自知. 理解的八个水平：事实、计算、联系、分辨、表达、转化、推理、应用，基于对分数理解深度剖析，将分数的认知水平和维度进行了划分. 没有实践的理论是空虚的，没有理论的实践是盲目的. 要上好一节课、研究好一节课，需要理论的指导，理论指导维度的研究是希望理论能够直接指导课堂教学实践，也包括能够使课堂教学实践操作具有理论背景. 这个维度的研究中，除了一般的教育学、心理学的理论对这节课的全部或局部进行指导外，主要研究应用数学教育理论设计或解释整节课或某一环节. 特别是莱什提出的数学学习的五种表征转化对数学概念理解的意义和作用.
表征转化过程的框架是：操作模式、实际生活情景、文字符号、口语符号、图像（静态的形象模式）之间的相互转化的过程，互相影响. 上述多元表征及相互转化还可以作为概念理解的评价框架. 当我们说学生理解了数学概念时，在一定程度上是指他和他能够理解与概念有关的多种不同的表述. 我们把这一理论用于“分数再认识”教学中并设计了教学过程.
二、依托对教材的横、纵向梳理选择教学路径
我发现分数这一概念可以从比率、运作、商、度量四个方面理解整体和部分之间的关系，这四个路径可以解决等值分数、乘法、解决问题、加法等维度为切入点，发现如果在一节课上，将分数的所有路径都走到、体验到是不可能的，应该根据学生实际情况和已有的经验有目的地选择路径，而且分数的再认识不是一两节课所能完成的事情，这应是一个长期的过程，学生在六年级学习完比的认识后，才是分数认识的完成，所以在课堂上我选择的是走比率和运作这两条路径来帮助学生理解分数.
我的教学流程如下：猜测口香糖的数量；找1张纸的■；找2张纸的■，理解部分与整体的关系；画图表示部分和整体的关系；用分数的理解解决口香糖数量的问题；梳理、巩固部分和整体的关系，区分量率.
三、深入思考并挖掘问题背后更深的因素
（一）材料的丰富性
在小学阶段，儿童掌握分数的概念感觉并不太难，但奇怪的是，为什么常常有中学生还不理解分数？事实上，真正理解分数绝不那么简单，因为对分数应有多维、多元的理解. 例如■，它只是代表分数概念的符号或者语言. 一般说来，只有学生经历并体验了把一个整体平均分为几个部分，所关注的部分与整体之间的关系可以用一个新的数来表示之后，才可以给出分数的符号表示，并建立行为与符号之间的一一对应关系. 只有经历这样的过程，学生才能逐步地理解分数概念. 在分数再认识的过程中，一个非常重要的转化过程，就是帮助学生将离散的量转化成单一的量，从学生关注数量到关注整体，关注分数，关注关系. 现在感觉分数再认识对于学生而言是件难事. 再有，分数的单位“1”也就是整体，应给学生提供多样性的，例如：平面的图像、立体的图形、点子图、大小一样的和大小不一样的、可以拼接的和不可以拼接的……让学生充分感受分数整体的丰富性，单位“1”的单一化到单位“1”的多元化，都可以转化成单一的量. 看成一个整体，更有利于理解“部分—整体”之间的关系.
（二）分数的含义需要借助多种直观模型理解
在小学阶段主要学习“行为的分数”. 教材中往往以学生熟悉的日常事物与活动为模型，建立分数的概念，例如我的课堂中是借助口香糖、纸条、图片. 面积模型：用纸条面积来理解“部分—整体”之间的关系. 本节课我是让学生借助长方形纸条模型来理解“部分—整体”，取其中的一份或几份（涂上阴影）认识分数，这些直观模型即为分数的面积模型. 因为对于平均分学生有丰富的经验，对他们认识分数的面积模型，从“部分—整体”的角度认识分数显得直观且必要. 但对于分数的面积模型，在我的课堂教学中，也发现一些问题：（1）学生习惯于由图形语言到符号语言表达的转换，但符号和图形语言的转化显得很困难，从而造成了对“部分—整体”之间的关系理解不到位. （2）纸条作为面积模型显得很单一，不能让学生体会到关于分数单位“1”的丰富性.（3）我设计的课缺失了用集合来表示分数. 有研究者认为：这也是“部分—整体”的一种形式，与分数的面积模型联系密切，甚至几乎没有区别，但学生在理解上难度更大. 关键是“整体1”不再真正是一个整体，而是把几个物体看作“一个整体”，作为一个“单位”，所取的一份也不是一个，可能是几个作为一份. 学生对离散量的集合的“部分—整體”的理解不如对“面积模型”的理解，这也说明学生为什么从分数初步认识到分数再认识中，从关注数量到关注份数这一跳跃显得如此困难.
综上所述，在“分数再认识”一课中，学生有效地理解分数，理解“部分—整体”之间的关系，应采取多种模型的支撑.
（三）体验学习在教学中的作用
从教育学的角度看，体验是指学生在学习过程中对教材内容内化后，在特定的教育情境中内心反省、内在反应或内在感受. 感悟是在认知、理解、体验基础上的自我觉醒，是人对生活意义的内在追问. 从心理学的角度看，感悟既有感性认识的成分，又有情感的成分，既是认识的过程，又是实践的过程. 感悟的核心是人的自我意识的觉醒.
在这节课的设计过程中，我们不断地在给学生提供体验和思考的机会和空间，给学生动手、动脑的时间和空间，但上完此节课后，我深入地思考后发现，正是因为教学中有了找一张纸的■这一环节，才使后面找2张纸的■，120朵花的■，学生顺理成章的都把离散的量转换成连续单一的量，表面上看学生通过动手操作，图形语言、符号语言、文字语言的转化，对分数加深了理解，殊不知，就是因为这小小的环节，掩盖了学生多少思考、解决的过程，我们人为地扫清了学生在认识分数过程中思维成长上的障碍、阻力和困难，学生在这一过程中失去了体验和思考的价值. 所以，学生要做什么才能达到学习的目的，才能达到数学理解，数学教学中，要选择好适当的路径和适当体验操作环节.数学概念理解课堂的整体思路：循序渐进，提出挑战性问题，不是让学生看明白到明白，而是让学生经历了到明白，让学生经历过程，给学生空间的大小和引导的时机决定学生能走多远，学生走多远，也就意味着学生理解得有多深. 这样的数学理解给学生带来的才是巨大的变化.
综上所述，在教学中要从数学理解的理论出发，关注学生理解的维度和水平，在实际的教学中，我们教师要做一个理论和课堂设计的铺路者，在课堂教学中让学生成为一个自主学习的修路者.
【关键词】 数学理解；材料；体验
数学理解是对数学知识、数学方法和有关数学知识背景的理解. 通过阅读《为理解而教学》《试论数学理解的两种类型》《数学认知理解的研究综述》和《对数学理解的再认识》，我对什么是数学理解有了新认识，理解是在新的场景中灵活运用理论和概念的能力. 数学理解就是指学生在已有数学知识和经验的基础上，建立知识的恰当心理表征，逐步形成丰富的、融会贯通的知识网络的思维过程. 理解有两种模式：工具性理解和关系性理解. 所谓工具性理解就是学生知道概念、公式等是什么，知道怎样做；关系性理解就是指知道概念、公式的由来，知道新知识与原有知识的关系，并能把它纳入到原有的知识体系中，构建完整的知识网络，也就是我们常说的不但要让学生“知其然，还要知其所以然”.
结合《数学课程标准（2011年）》将教学目标分为：了解、理解、掌握、应用四个层次. 理解作为一个层次被解释为：对概念和规律不仅能够说出是什么，而且能够知道它是怎么得出来的，它与其他概念之间的联系，有什么用途. 我们认为，数学理解是指学习者联系自己已有的知识和经验，通过数学学习活动，认识数学学习对象的外部表征，并构建相应的心理表象，然后经过思维加工，打破原有的认知平衡，将数学对象的心理表象重新加以解释，重新建构其意义，从而把新的学习内容纳入已有的认知结构，逐步认识数学对象的本质特征和规律的一种思维活动.
一、对理解的维度和水平的认知和运用
概念是形成数学知识体系的基本要素，是数学基础知识的核心，是学生学习数学的基石. 正确地理解、掌握数学概念更是学好数学的前提和保障，有利于学生在学习中形成完整的、清晰的、系統的数学知识体系. 为了更好的将数学理解的相关理论运用到教学之中，尝试着用一节北师大版五年级上册“分数再认识”一课进行实践与理解，因为“分数再认识”是一节概念教学的课，可以非常清晰地将数学理解展现出来.
美国课程研究专家威金斯和麦克泰伊将理解划分为六个维度——解释、释义、应用、洞察、移情和自知. 理解的八个水平：事实、计算、联系、分辨、表达、转化、推理、应用，基于对分数理解深度剖析，将分数的认知水平和维度进行了划分. 没有实践的理论是空虚的，没有理论的实践是盲目的. 要上好一节课、研究好一节课，需要理论的指导，理论指导维度的研究是希望理论能够直接指导课堂教学实践，也包括能够使课堂教学实践操作具有理论背景. 这个维度的研究中，除了一般的教育学、心理学的理论对这节课的全部或局部进行指导外，主要研究应用数学教育理论设计或解释整节课或某一环节. 特别是莱什提出的数学学习的五种表征转化对数学概念理解的意义和作用.
表征转化过程的框架是：操作模式、实际生活情景、文字符号、口语符号、图像（静态的形象模式）之间的相互转化的过程，互相影响. 上述多元表征及相互转化还可以作为概念理解的评价框架. 当我们说学生理解了数学概念时，在一定程度上是指他和他能够理解与概念有关的多种不同的表述. 我们把这一理论用于“分数再认识”教学中并设计了教学过程.
二、依托对教材的横、纵向梳理选择教学路径
我发现分数这一概念可以从比率、运作、商、度量四个方面理解整体和部分之间的关系，这四个路径可以解决等值分数、乘法、解决问题、加法等维度为切入点，发现如果在一节课上，将分数的所有路径都走到、体验到是不可能的，应该根据学生实际情况和已有的经验有目的地选择路径，而且分数的再认识不是一两节课所能完成的事情，这应是一个长期的过程，学生在六年级学习完比的认识后，才是分数认识的完成，所以在课堂上我选择的是走比率和运作这两条路径来帮助学生理解分数.
我的教学流程如下：猜测口香糖的数量；找1张纸的■；找2张纸的■，理解部分与整体的关系；画图表示部分和整体的关系；用分数的理解解决口香糖数量的问题；梳理、巩固部分和整体的关系，区分量率.
三、深入思考并挖掘问题背后更深的因素
（一）材料的丰富性
在小学阶段，儿童掌握分数的概念感觉并不太难，但奇怪的是，为什么常常有中学生还不理解分数？事实上，真正理解分数绝不那么简单，因为对分数应有多维、多元的理解. 例如■，它只是代表分数概念的符号或者语言. 一般说来，只有学生经历并体验了把一个整体平均分为几个部分，所关注的部分与整体之间的关系可以用一个新的数来表示之后，才可以给出分数的符号表示，并建立行为与符号之间的一一对应关系. 只有经历这样的过程，学生才能逐步地理解分数概念. 在分数再认识的过程中，一个非常重要的转化过程，就是帮助学生将离散的量转化成单一的量，从学生关注数量到关注整体，关注分数，关注关系. 现在感觉分数再认识对于学生而言是件难事. 再有，分数的单位“1”也就是整体，应给学生提供多样性的，例如：平面的图像、立体的图形、点子图、大小一样的和大小不一样的、可以拼接的和不可以拼接的……让学生充分感受分数整体的丰富性，单位“1”的单一化到单位“1”的多元化，都可以转化成单一的量. 看成一个整体，更有利于理解“部分—整体”之间的关系.
（二）分数的含义需要借助多种直观模型理解
在小学阶段主要学习“行为的分数”. 教材中往往以学生熟悉的日常事物与活动为模型，建立分数的概念，例如我的课堂中是借助口香糖、纸条、图片. 面积模型：用纸条面积来理解“部分—整体”之间的关系. 本节课我是让学生借助长方形纸条模型来理解“部分—整体”，取其中的一份或几份（涂上阴影）认识分数，这些直观模型即为分数的面积模型. 因为对于平均分学生有丰富的经验，对他们认识分数的面积模型，从“部分—整体”的角度认识分数显得直观且必要. 但对于分数的面积模型，在我的课堂教学中，也发现一些问题：（1）学生习惯于由图形语言到符号语言表达的转换，但符号和图形语言的转化显得很困难，从而造成了对“部分—整体”之间的关系理解不到位. （2）纸条作为面积模型显得很单一，不能让学生体会到关于分数单位“1”的丰富性.（3）我设计的课缺失了用集合来表示分数. 有研究者认为：这也是“部分—整体”的一种形式，与分数的面积模型联系密切，甚至几乎没有区别，但学生在理解上难度更大. 关键是“整体1”不再真正是一个整体，而是把几个物体看作“一个整体”，作为一个“单位”，所取的一份也不是一个，可能是几个作为一份. 学生对离散量的集合的“部分—整體”的理解不如对“面积模型”的理解，这也说明学生为什么从分数初步认识到分数再认识中，从关注数量到关注份数这一跳跃显得如此困难.
综上所述，在“分数再认识”一课中，学生有效地理解分数，理解“部分—整体”之间的关系，应采取多种模型的支撑.
（三）体验学习在教学中的作用
从教育学的角度看，体验是指学生在学习过程中对教材内容内化后，在特定的教育情境中内心反省、内在反应或内在感受. 感悟是在认知、理解、体验基础上的自我觉醒，是人对生活意义的内在追问. 从心理学的角度看，感悟既有感性认识的成分，又有情感的成分，既是认识的过程，又是实践的过程. 感悟的核心是人的自我意识的觉醒.
在这节课的设计过程中，我们不断地在给学生提供体验和思考的机会和空间，给学生动手、动脑的时间和空间，但上完此节课后，我深入地思考后发现，正是因为教学中有了找一张纸的■这一环节，才使后面找2张纸的■，120朵花的■，学生顺理成章的都把离散的量转换成连续单一的量，表面上看学生通过动手操作，图形语言、符号语言、文字语言的转化，对分数加深了理解，殊不知，就是因为这小小的环节，掩盖了学生多少思考、解决的过程，我们人为地扫清了学生在认识分数过程中思维成长上的障碍、阻力和困难，学生在这一过程中失去了体验和思考的价值. 所以，学生要做什么才能达到学习的目的，才能达到数学理解，数学教学中，要选择好适当的路径和适当体验操作环节.数学概念理解课堂的整体思路：循序渐进，提出挑战性问题，不是让学生看明白到明白，而是让学生经历了到明白，让学生经历过程，给学生空间的大小和引导的时机决定学生能走多远，学生走多远，也就意味着学生理解得有多深. 这样的数学理解给学生带来的才是巨大的变化.
综上所述，在教学中要从数学理解的理论出发，关注学生理解的维度和水平，在实际的教学中，我们教师要做一个理论和课堂设计的铺路者，在课堂教学中让学生成为一个自主学习的修路者.