三角函数是高中数学的最重要的内容之一。在新课标高考中，三角函数解答题“跃”于六大解答题之首，或“隐身”于实际应用题中，难度中档，该题既注重三角知识的基础性，突出对三角函数的图象性质和三角恒等变换的考查；又注重三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识。那么在2012年江苏新高考中，三角函数解答题会出现哪些题型呢？愿本文能帮你牢牢hold住这道题。
　　
　　 题型一 三角函数求值问题 
　　【例1】 已知cosα=17，cos（α-β）=1314，且0<β<α<π2．
　　
　　（1） 求tan2α的值；
　　（2） 求β．
　　解析 （1） 由cosα=17，0<α<π2，得sinα=1-cos2α=1-172=437．
　　∴tanα=sinαcosα=437×71=43．于是tan2α=2tanα1-tan2α=2×431-(43)2=-8347．
　　（2） 由0<β<α<π2，得0<α-β<π2．
　　又∵cos(α-β)=1314，
　　∴sin(α-β)=1-cos2(α-β)=1-13142=3314．
　　
　　由β=α-(α-β)，得cosβ=cos［α-(α-β)］=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)
　　=17×1314+437×3314=12，∴β=π3．
　　
　　点拨 ①给角求值问题，这类问题要找非特殊角之间、非特殊角和特殊角之间的联系，化简中尽量减少角的个数、三角函数的名称，降低三角函数的次数。②给值求角问题，有一个三角函数值利用平方关系求另一个三角函数值时，一定要根据角的范围确定开方后的符号。给值求角问题，要合理选择该角的某一三角函数，在该范围内三角函数是单调的，根据已知三角函数值，尽量缩小角的范围。
　　
　　
　　 题型二 三角函数的图象与性质 
　　【例2】 已知函数f(x)=32sinπx+12cosπx,x∈R．
　　
　　（1） 求函数f(x)的最大值和最小值；
　　（2） 如图,函数f(x)在［-1,1］上的图象与x轴的交点从左到右分别为M、N，图象的最高点为P,求PM与PN的夹角的余弦值．
　　
　　解析 (1) ∵f(x)=32sinπx+12cosπx=sinπx+π6，
　　∵x∈R，∴-1≤sinπx+π6≤1，
　　∴函数f(x)的最大值和最小值分别为1，-1．
　　
　　(2) 解法一：令f(x)=sinπx+π6=0得πx+π6=kπ,k∈Z,
　　∵x∈［-1,1］，∴x=-16或x=56，∴M-16,0,N56,0, 
　　由sinπx+π6=1，且x∈［-1,1］得x=13，∴ P13,1,
　　∴PM=-12,-1,PN=12,-1,
　　∴cos〈PM,PN〉=PM•PN|PM|•|PN|=35．
　　
　　解法二：如下图，过点P作PA⊥x轴于A,则|PA|=1,
　　
　　由三角函数的性质知|MN|=12T=1,|PM|=|PN|=12+122=52,
　　
　　由余弦定理得cos〈PM,PN〉=|PM|2+|PN|2-|MN|22|PM|•|PN|=54×2-12×54=35．
　　
　　点拨
　　
　　本例以三角函数图象为背景考查了三角函数性质，三角恒等变换和向量的数量积运算等基础知识，难度不大，但本例第2小题一题双解，值得同学们细细品味与体会。
　　
　　 题型三 三角函数与平面向量的综合 
　　
　　
　　【例3】 已知向量a=(sinx,cosx),b=(sinx,sinx)，c=(-1,0).
　　（1） 若x=π3，求向量a、c的夹角θ；
　　（2） 若x∈-3π8,π4，函数f(x)=λa•b的最大值为12，求实数λ的值.
　　
　　
　　解析 （1） 当x=π3时，a=32,12，所以 cosθ=a•c|a|•|c|=-321×1=-32，
　　又θ∈［0,π］，故θ=5π6.
　　
　　
　　（2） f(x)=λ(sin2x+sinxcosx)=λ2(1-cos2x+sin2x)=λ21+2sin2x-π4，
　　
　　
　　因为x∈-3π8,π4，所以
　　
　　2x-π4∈
　　-π，π4.
　　
　　
　　当λ>0时，fmax(x)=λ21+1=12，即λ=12，当λ<0时，fmax(x)=λ21-2=12，即λ=-1-2，所以λ=12或λ=-1-2.
　　
　　点拨
　　
　　将向量的坐标设计成三角函数形式，再利用向量的坐标运算法则，把问题回归到“纯三角函数”问题，是这类命题的主要特征。
　　
　　 题型四 三角形中的三角函数问题 
　　【例4】 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b2+c2-a2=bc．
　　（1） 求角A的大小；
　　（2） 设函数f(x)=3sinx2cosx2+cos2x2，当f(B)取最大值32时，判断△ABC的形状．
　　
　　
　　解析 （1） 在△ABC中，因为b2+c2-a2=bc，
　　由余弦定理 a2= b2+c2-2bccosA，可得cosA=12．∵ 0　　（2） f(x)=3sinx2cosx2+cos2x2=32sinx+12cosx+12 =sinx+π6+12，
　　∵A=π3，∴B∈0,2π3，∴π6　　∴当B+π6=π2，即B=π3时，f(B)有最大值是32．
　　又∵A=π3，∴C=π3，∴△ABC为等边三角形．
　　
　　点拨
　　
　　求解三角形中的三角函数问题，三角形固有的性质和公式不能忽视，如三角形内角和定理、正弦定理和余弦定理等，它们是求解这类问题的“必要工具”。
　　
　　牛刀小试
　　
　　1. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量m＝1-sinA，127，n＝(cos2A，２sinA)，且m∥n.
　　（1） 求sinA的值；
　　（2） 若b＝2，△ABC的面积为3，求a.
　　
　　2. 南京市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示．经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似地为半径是R的圆面．该圆面的内接四边形ABCD是原棚户区建筑用地，测量可知边界AB=AD=4万米，BC=6万米，CD=2万米．
　　
　　（1） 请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积及圆面的半径R的值；
　　（2） 因地理条件的限制，边界AD、DC不能变更，而边界AB、BC可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在圆弧上设计一点P，使得棚户区改造的新建筑用地APCD的面积最大，并求最大值．
　　
　　
　　【参考答案】
　　
　　1. (1) ∵m∥n，∴127cos2A=(1-sinA)•2sinA，
　　
　　∴6（1-2sin2A）=7sinA(1-sinA)5sin2A+7sinA-6=0，
　　∴sinA=35(sinA=-2舍去).
　　
　　(2) 由S△ABC=12bcsinA=3,b=2,得c=5，又cosA=±45，
　　
　　∴a2=b2+c2-2bccosA=4+25-2×2×5cosA=29-20cosA.
　　当cosA=45时，a2=13a=13；当cosA=-45时，a2=45a=35.
　　
　　
　　2. （1） 因为四边形ABCD内接于圆，所以∠ABC+∠ADC=180°，连接AC，由余弦定理：
　　AC2=42+62-2×4×6×cos∠ABC=42+22-2×2×4cos∠ADC．
　　∴ cos∠ABC =12，
　　∵∠ABC∈(0，π)，故∠ABC=60°．
　　S四边形ABCD=12×4×6×sin60°+12×2×4×sin120°= 83（万平方米）．
　　在△ABC中，由余弦定理 AC2=AB2+BC 2-2AB•BC•cos∠ABC=16+36-2×4×6×12=28，∴ AC=27.
　　
　　由正弦定理asinA=bsinB=2R，
　　
　　∴2R=ACsinB=2732=4213，
　　
　　∴R=2213（万米）．
　　（2） ∵S四边形APCD=S△ADC+S△APC，又S△ADC=12AD•CD•sin120°= 23，设AP=x，CP=y．
　　
　　则S△APC=12xysin60°=34xy.
　　又由余弦定理AC2=x2+y2-2xycos60°
　　
　　=x2+y2-xy= 28．∴x2+y2-xy≥2xy-xy=xy．∴xy≤28，当且仅当x=y时取等号，
　　∴S四边形APCD=23+34xy≤23+34×28=93，∴最大面积为93万平方米．
　　
　　
　　(作者：王佩其，江苏省太仓高级中学)