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【摘 要】数学课堂教学的逆向设计，是评价先于设计、以教学目标为起点、培育学生数学核心素养的教学范式。以“函数的单调性”教学为例，通过明确预期结果、确定评估策略、设计核心任务问题串等策略，体现出素养目标可视化、学习过程可控化、教学实施序列化的结构体系，对数学课堂教学做出有益的探索。
【关键词】逆向设计;教学评价;高中数学
【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2021）71-0033-04
【作者简介】王琳，江苏省常州市田家炳高级中学（江苏常州，213000）教师，高级教师，常州市骨干教师。
传统的教学设计一般是教师根据自身的教学经验，利用教材来组织教学。教学经验固然不可或缺，但其大多呈现出碎片化、零散性的特征，往往依赖于教师个人对教学的理解，导致课堂教学缺乏系统化和概括化的目标来引领教学研究的方向。同时，教材本身不是课程标准，和教学目标也互不隶属，现阶段的数学教学更关注数学核心素养的达成与否。反思了传统设计的不足之后，两位美国学者Grant Wiggins 和Jay McTighe提出了“逆向设计”（Backward Design）这一理念，逆向设计是一种“理解性教学”（Understanding by Design），强调评价先于设计，重视知识的发生和形成过程，强调思维理解，重视推理论证。
一、逆向设计的课堂教学特征
逆向设计的课堂教学特征可概括为：教学目标源于课程标准，教学评估先于教学设计。“为理解而教”是数学课堂逆向设计的重要特征，表现为三种教学形态。一是数学核心素养与教学目标深度融合。逆向设计是一种“理解性教学”，强调教学应走出解释教材的老路与误区，关注所教学生的学习基础，在学生的“最近发展区”内优化教学目标，把学情作为设计的基点，发展学生的数学核心素养。二是强调“理解性教学”是逆向设计的根基。在保证学生掌握知识的基础之上，建构学生解释、判断、应用、推理、想象和认知等能力，让学生深度理解数学知识，发展数学思维，并将数学知识及思维应用于生活情境，提升其问题解决能力。三是突出目标与“教、学、评”的统一性。以理解为特征的逆向教学设计，强调教学目标、过程和评价的一致性，以核心素养、课程标准为导向，强化元认知监控，引导学生主动体验与探究，培育学生的自主学习能力，使学习进程中评价与理解相互渗透，突出学生是课堂教学中真正的主人的理念。
二、逆向设计的教学策略
教学逆向设计强调以数学核心素养为依据，从预期教学结果思考、设计教学方案。为实现教学目标、达成学习实效，逆向教学设计从教学评价出发，指向数学核心素养，针对教学目标，实现对教材的二次开发，将教学评估进行细化和量化，统整课堂教学活动;以学生为中心、以数学思维培育为手段科学论证教学;活动设计上强化合作探究，教学动态生成、学生主动反馈，以师生协作完善教学闭环，不断调整和优化数学课堂。
1.明确预期结果。
在此阶段，教师实施“三研读”的教学策略，即“研读课标、研读教材、研读学情”，深度研习数学课程标准，全面理解数学教材内容，精准把握学生的学习领悟能力与知识理解水平。根据数学课标要求，列出教学驱动性问题，例如让学生认识什么、体会什么、掌握什么，教学中的大概念如何把握，是否需要设计思维进阶性问题，如何推进层次学习，等等。目标引领、任务驱动，站在学生立场，以学习为中心，让逆向设计目标进一步层次化和精准化，让学生的学与教师的教进行有效连接。
2.确定评估方式。
评估方式前置是逆向教学设计与传统教学设计最显著的差别。课堂教学中，如何确认学生的学习是否真正达到教学设计的预期？教师需以“评价”和“证据链”为工具，关注学生的整个学习过程。教学中，教师应注意多维互动，恰当使用多种评价，采用问题链的形式让学生主动思考，使学生在目标引领下掌握数学知识的迁移和应用。同时，以学业水平质量监测标准与评价效能为指导，关注学生学习的“最近发展区”，评估与汇总“最近发展区”内与学习目标相关的因素，尽可能多地使用表现性评价。教师观察课堂中学生的学习表现与预期成果之间的差距，学生主动运用元认知监控，师生之间适时进行动态评估与调整，确保学习目标的达成。
3.设计核心任务。
在此阶段，教师应思考设计怎样的学习活动序列能帮助学生实现预期目标？应坚持三原则：一是活动设计以学生学习为中心，让学生站在课堂中央，将学习与生活实践相联系，使学生在真实情境中学习;二是用问题链串联课堂教学，让学生经历数学概念与规律的探究过程，引导学生“知情意行”合一;三是规划“目标与教、学、评实施路径”的一致性，引导学生主动学习、独立思考，促进学生的质疑能力与判断能力的形成，实现数学知识的内化与迁移、思维能力的递进、思维品质的层级提升，从而为教学目标的达成提供强有力的保障。
三、逆向设计的教学案例
根据逆向教学设计过程的三個阶段，笔者选择苏教版数学必修1“函数的单调性”一节进行逆向教学设计，尝试进行理解性教学。
1.明确预期的学习结果。
首先，从课标分析。《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》对本节内容提出明确要求：从代数运算和函数图象两方面揭示函数单调性;能用符号语言描述函数单调性的定义，并理解其作用和实际意义。其次，从教材分析。“函数的单调性”是学生接触的函数的第一个性质，苏教版教材的编排是从气温图象出发，进行数学抽象和思维概括，通过枚举事例来巩固新知。再次，从学情分析。学生在学习函数基本性质之前，已经初步具备使用图象判断函数的能力，如正比例函数和一次函数等简单函数的变化趋势，但对如何用符号语言描述函数单调性的定义仍有困难。一般来说，在基础知识方面，是让学生从形与数两方面理解函数的单调性概念，初步掌握利用函数图象和单调性的定义判断、证明函数单调性的方法，了解函数单调区间的概念;在思维发展层面，让学生参与探究函数单调性定义的过程，渗透“数形结合”的数学思想和方法，让学生感受学习数学的乐趣，培养学生的观察、归纳、抽象等思维能力。 那么，如何针对函数的单调性设计教学中的“引导性问题”呢？可以直接选取生活情境，让学生在真实的教学情境中理解函数的单调性。教学任务如下：如图1所示，气温θ是关于时间的函数，记为θ = f （t），请同学们观察这个气温变化图，随着时间的推移，气温有怎样的升降变化规律？引导学生进行合作讨论：如何使用一个标准的数学概念来描述这一现象。让学生自然地联想到“函数的单调性”这一教学主题。
2.确定对学习目标的评估方式。
在此阶段，如何选择可靠的、适当的评价证据来说明学生的学习目标达成与否呢？教师可以运用“基于‘理解’的教学六维度”对学生进行考查，即从解释、判断、推理、应用、想象和认知这六个方面来观察学生是否真正领悟“函数单调性”。将探究任务进行如下分解：
一是引导学生从数和形两方面观察和研究一次函数、二次函数、反比例函数，描述函数的变化趋势，提升数学核心素养中的“直观想象”素养。这属于“解释”与“想象”的维度，可以针对本课题中“函数单调性”这一本原性问题，向学生提问：观察教材中的函数图象，请你思考，该函数为什么会出现这种变化趋势？你能用数学符号语言准确叙述出这一变化趋势吗？
二是让学生借助这一具体函数的图象，经历由文字语言到数学符号语言的探究过程，这属于数学核心素养中的“数学抽象”。对具体事例中函数的单调性能抽象概括出其概念，是“理解”中“判断”与“推理"维度的体现。教师让学生主动建构函数及其图象特点，同时鼓励学生相互倾听、多元表达，尝试用自己的语言描述图象的变化趋势，概括函数单调性的定义。
三是观察学生能否利用函数图象直接写出函数的单调区间;能否利用函数单调性的定义，证明一次函数、二次函数和反比例函数在给定区间的单调性。提升学生数学素养中的逻辑推理能力，这属于“认知”与“应用”的维度。在教学中，学生通过主动学习，知道如何用符号语言表达数学概念的意义，体会学习数学概念的一般思路和方法。观察学生能否使用代数运算来证明函数的单调性，从而上升到研究数学概念的一般方法，进行经验概括与思维内化，为迁移至新的情境中解决问题奠定方法论基础。深化学生对概念本质的理解，感悟知识的内部结构和外部联系，培养学生的创新能力。
3.设计教学活动，整合教学核心任务。
确定学习目标与评价方法之后，实施教学策略的思路如下：直观感知、文字描述、定性描述（抽象定义）、定量描述（代数运算）、实践迁移（策略运用）。教学任务以“问题串”的形式展开，围绕学习目标，以“学习评价”和“证据链”为工具，关注学生的探究过程与学习效能，具体如下：
探究任务1：观察图2中函数的图象，指出其“升”“降”趋势。
探究任务2：填写下列表格（见表1），你能从变量<f：＼教育8本书＼江苏教育2021＼江苏教育10期＼中学10期＼中学10期图片＼课程与教学，4.5P，重视理解的高中数学逆向教学设计（修）2-4D5B＼image7.pdf>与 f （x）数值的变化情况得出函数 f （x）=x2图象的“上升”与“下降”情况吗？（学生活动、讨论）
探究任務3：如何利用符号化的数学语言描述“在区间（0，+∞）上，随着自变量x的增大，相应的 f （x）的值也增大”呢？（学生活动、讨论）
探究任务4：（1）对于函数y = f （x），在x∈（0，+∞）上，满足：x1=1时， f （x1）=1;x2=3时， f （x2）=9。是否能说明在区间（0，+∞）上，函数值随x的增大而增大？（师生共研）
（2）对于函数y=f （x），在x∈（0，+∞）上有10000个数，当x1 （3）对于函数y=f （x），在x∈（0，+∞）上任取两个值x1，x2，当x1 探究任务5：在函数f （x）=x2的图象上还可以观察到，在y轴的左侧函数图象自左而右是下降的。类比增函数的定义，你能概括出减函数的定义吗？（教师板书减函数的定义）
探究任务6：判断下列命题的正误。
（1）f （x）=x2在R上是单调增函数;（2）f （x）= [1x]在定义域内是单调减函数;（3）定义在R上的函数f （x）满足f （2）< f （1），则函数f （x）在区间（1，2）上是单调减函数。
探究任务7：如图3是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f （x）的图象，根据图象分别说出函数的单调增区间及单调减区间。
探究任务8：用定义证明函数f （x）= - [4x]在区间（0，+∞）上是增函数。（师生共研，教师板书，并归纳出证明函数单调性的一般步骤）
以上“问题串”的设计遵循概念教学的一般过程，任务1和任务2根据任务情境，依据学生已有的认知经验，设置“引导性问题”。任务3、任务4和任务5是概念探究的关键环节，即在特定的背景下探究概念的外延与内涵，在问题探究的基础上呈现出“函数单调性”的定义。为了使“问题串”的设计更加完整，任务6辨析概念，即通过设计非概念情境中的“反例变式”，对概念进行多角度的辨析与理解。任务7和任务8帮助学生认识数学概念之间的联系，让学生深入理解函数单调性概念的表征体系。以上设计，更重要的是让学生在具体的探究任务的学习过程中，体会数形结合、分类讨论的数学思想，强化了学生对函数单调性概念及其数学符号语言的认知，激发了学生的主观能动性和学习效能感。
重视理解的逆向教学设计，以教学评价为基点，从教学目标出发，重新规划了学生的学习方向，重视课标、学情与文本内容的统一，对学生的学习过程进行阶梯式设计，变革了教师的教学理念与教学方式。它不仅关注教师的教学设计理念，更以评价任务为抓手，合理搭建教学脚手架，注重对学生思维的提升，强化学生对学习的理解，充分体现出学生是课堂教学的主体，有利于学生对数学概念、方法、思想的深入理解，使其自主思考和独立精神得到体现，实现对学生数学核心素养的培育。
【参考文献】
[1]夏繁军.关注数学“持久理解”，促进学生深度学习[J].中学数学教学参考，2016（Z1）：29-33.
[2]余叶军.逆向教学设计：核心素养背景下初中数学的重要取向[J].数学教学通讯，2019（5）：39-40.
[3]葛玉华.“UbD”理论指引下的数学逆向教学设计[J].数学教学通讯，2019（34）：3-4.
[4]高园梅. 提升课堂教学中教—学—评一致性的策略研究——以小学数学课堂教学为例[D].重庆：西南大学，2020.
【关键词】逆向设计;教学评价;高中数学
【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2021）71-0033-04
【作者简介】王琳，江苏省常州市田家炳高级中学（江苏常州，213000）教师，高级教师，常州市骨干教师。
传统的教学设计一般是教师根据自身的教学经验，利用教材来组织教学。教学经验固然不可或缺，但其大多呈现出碎片化、零散性的特征，往往依赖于教师个人对教学的理解，导致课堂教学缺乏系统化和概括化的目标来引领教学研究的方向。同时，教材本身不是课程标准，和教学目标也互不隶属，现阶段的数学教学更关注数学核心素养的达成与否。反思了传统设计的不足之后，两位美国学者Grant Wiggins 和Jay McTighe提出了“逆向设计”（Backward Design）这一理念，逆向设计是一种“理解性教学”（Understanding by Design），强调评价先于设计，重视知识的发生和形成过程，强调思维理解，重视推理论证。
一、逆向设计的课堂教学特征
逆向设计的课堂教学特征可概括为：教学目标源于课程标准，教学评估先于教学设计。“为理解而教”是数学课堂逆向设计的重要特征，表现为三种教学形态。一是数学核心素养与教学目标深度融合。逆向设计是一种“理解性教学”，强调教学应走出解释教材的老路与误区，关注所教学生的学习基础，在学生的“最近发展区”内优化教学目标，把学情作为设计的基点，发展学生的数学核心素养。二是强调“理解性教学”是逆向设计的根基。在保证学生掌握知识的基础之上，建构学生解释、判断、应用、推理、想象和认知等能力，让学生深度理解数学知识，发展数学思维，并将数学知识及思维应用于生活情境，提升其问题解决能力。三是突出目标与“教、学、评”的统一性。以理解为特征的逆向教学设计，强调教学目标、过程和评价的一致性，以核心素养、课程标准为导向，强化元认知监控，引导学生主动体验与探究，培育学生的自主学习能力，使学习进程中评价与理解相互渗透，突出学生是课堂教学中真正的主人的理念。
二、逆向设计的教学策略
教学逆向设计强调以数学核心素养为依据，从预期教学结果思考、设计教学方案。为实现教学目标、达成学习实效，逆向教学设计从教学评价出发，指向数学核心素养，针对教学目标，实现对教材的二次开发，将教学评估进行细化和量化，统整课堂教学活动;以学生为中心、以数学思维培育为手段科学论证教学;活动设计上强化合作探究，教学动态生成、学生主动反馈，以师生协作完善教学闭环，不断调整和优化数学课堂。
1.明确预期结果。
在此阶段，教师实施“三研读”的教学策略，即“研读课标、研读教材、研读学情”，深度研习数学课程标准，全面理解数学教材内容，精准把握学生的学习领悟能力与知识理解水平。根据数学课标要求，列出教学驱动性问题，例如让学生认识什么、体会什么、掌握什么，教学中的大概念如何把握，是否需要设计思维进阶性问题，如何推进层次学习，等等。目标引领、任务驱动，站在学生立场，以学习为中心，让逆向设计目标进一步层次化和精准化，让学生的学与教师的教进行有效连接。
2.确定评估方式。
评估方式前置是逆向教学设计与传统教学设计最显著的差别。课堂教学中，如何确认学生的学习是否真正达到教学设计的预期？教师需以“评价”和“证据链”为工具，关注学生的整个学习过程。教学中，教师应注意多维互动，恰当使用多种评价，采用问题链的形式让学生主动思考，使学生在目标引领下掌握数学知识的迁移和应用。同时，以学业水平质量监测标准与评价效能为指导，关注学生学习的“最近发展区”，评估与汇总“最近发展区”内与学习目标相关的因素，尽可能多地使用表现性评价。教师观察课堂中学生的学习表现与预期成果之间的差距，学生主动运用元认知监控，师生之间适时进行动态评估与调整，确保学习目标的达成。
3.设计核心任务。
在此阶段，教师应思考设计怎样的学习活动序列能帮助学生实现预期目标？应坚持三原则：一是活动设计以学生学习为中心，让学生站在课堂中央，将学习与生活实践相联系，使学生在真实情境中学习;二是用问题链串联课堂教学，让学生经历数学概念与规律的探究过程，引导学生“知情意行”合一;三是规划“目标与教、学、评实施路径”的一致性，引导学生主动学习、独立思考，促进学生的质疑能力与判断能力的形成，实现数学知识的内化与迁移、思维能力的递进、思维品质的层级提升，从而为教学目标的达成提供强有力的保障。
三、逆向设计的教学案例
根据逆向教学设计过程的三個阶段，笔者选择苏教版数学必修1“函数的单调性”一节进行逆向教学设计，尝试进行理解性教学。
1.明确预期的学习结果。
首先，从课标分析。《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》对本节内容提出明确要求：从代数运算和函数图象两方面揭示函数单调性;能用符号语言描述函数单调性的定义，并理解其作用和实际意义。其次，从教材分析。“函数的单调性”是学生接触的函数的第一个性质，苏教版教材的编排是从气温图象出发，进行数学抽象和思维概括，通过枚举事例来巩固新知。再次，从学情分析。学生在学习函数基本性质之前，已经初步具备使用图象判断函数的能力，如正比例函数和一次函数等简单函数的变化趋势，但对如何用符号语言描述函数单调性的定义仍有困难。一般来说，在基础知识方面，是让学生从形与数两方面理解函数的单调性概念，初步掌握利用函数图象和单调性的定义判断、证明函数单调性的方法，了解函数单调区间的概念;在思维发展层面，让学生参与探究函数单调性定义的过程，渗透“数形结合”的数学思想和方法，让学生感受学习数学的乐趣，培养学生的观察、归纳、抽象等思维能力。 那么，如何针对函数的单调性设计教学中的“引导性问题”呢？可以直接选取生活情境，让学生在真实的教学情境中理解函数的单调性。教学任务如下：如图1所示，气温θ是关于时间的函数，记为θ = f （t），请同学们观察这个气温变化图，随着时间的推移，气温有怎样的升降变化规律？引导学生进行合作讨论：如何使用一个标准的数学概念来描述这一现象。让学生自然地联想到“函数的单调性”这一教学主题。
2.确定对学习目标的评估方式。
在此阶段，如何选择可靠的、适当的评价证据来说明学生的学习目标达成与否呢？教师可以运用“基于‘理解’的教学六维度”对学生进行考查，即从解释、判断、推理、应用、想象和认知这六个方面来观察学生是否真正领悟“函数单调性”。将探究任务进行如下分解：
一是引导学生从数和形两方面观察和研究一次函数、二次函数、反比例函数，描述函数的变化趋势，提升数学核心素养中的“直观想象”素养。这属于“解释”与“想象”的维度，可以针对本课题中“函数单调性”这一本原性问题，向学生提问：观察教材中的函数图象，请你思考，该函数为什么会出现这种变化趋势？你能用数学符号语言准确叙述出这一变化趋势吗？
二是让学生借助这一具体函数的图象，经历由文字语言到数学符号语言的探究过程，这属于数学核心素养中的“数学抽象”。对具体事例中函数的单调性能抽象概括出其概念，是“理解”中“判断”与“推理"维度的体现。教师让学生主动建构函数及其图象特点，同时鼓励学生相互倾听、多元表达，尝试用自己的语言描述图象的变化趋势，概括函数单调性的定义。
三是观察学生能否利用函数图象直接写出函数的单调区间;能否利用函数单调性的定义，证明一次函数、二次函数和反比例函数在给定区间的单调性。提升学生数学素养中的逻辑推理能力，这属于“认知”与“应用”的维度。在教学中，学生通过主动学习，知道如何用符号语言表达数学概念的意义，体会学习数学概念的一般思路和方法。观察学生能否使用代数运算来证明函数的单调性，从而上升到研究数学概念的一般方法，进行经验概括与思维内化，为迁移至新的情境中解决问题奠定方法论基础。深化学生对概念本质的理解，感悟知识的内部结构和外部联系，培养学生的创新能力。
3.设计教学活动，整合教学核心任务。
确定学习目标与评价方法之后，实施教学策略的思路如下：直观感知、文字描述、定性描述（抽象定义）、定量描述（代数运算）、实践迁移（策略运用）。教学任务以“问题串”的形式展开，围绕学习目标，以“学习评价”和“证据链”为工具，关注学生的探究过程与学习效能，具体如下：
探究任务1：观察图2中函数的图象，指出其“升”“降”趋势。
探究任务2：填写下列表格（见表1），你能从变量<f：＼教育8本书＼江苏教育2021＼江苏教育10期＼中学10期＼中学10期图片＼课程与教学，4.5P，重视理解的高中数学逆向教学设计（修）2-4D5B＼image7.pdf>与 f （x）数值的变化情况得出函数 f （x）=x2图象的“上升”与“下降”情况吗？（学生活动、讨论）
探究任務3：如何利用符号化的数学语言描述“在区间（0，+∞）上，随着自变量x的增大，相应的 f （x）的值也增大”呢？（学生活动、讨论）
探究任务4：（1）对于函数y = f （x），在x∈（0，+∞）上，满足：x1=1时， f （x1）=1;x2=3时， f （x2）=9。是否能说明在区间（0，+∞）上，函数值随x的增大而增大？（师生共研）
（2）对于函数y=f （x），在x∈（0，+∞）上有10000个数，当x1
探究任务6：判断下列命题的正误。
（1）f （x）=x2在R上是单调增函数;（2）f （x）= [1x]在定义域内是单调减函数;（3）定义在R上的函数f （x）满足f （2）< f （1），则函数f （x）在区间（1，2）上是单调减函数。
探究任务7：如图3是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f （x）的图象，根据图象分别说出函数的单调增区间及单调减区间。
探究任务8：用定义证明函数f （x）= - [4x]在区间（0，+∞）上是增函数。（师生共研，教师板书，并归纳出证明函数单调性的一般步骤）
以上“问题串”的设计遵循概念教学的一般过程，任务1和任务2根据任务情境，依据学生已有的认知经验，设置“引导性问题”。任务3、任务4和任务5是概念探究的关键环节，即在特定的背景下探究概念的外延与内涵，在问题探究的基础上呈现出“函数单调性”的定义。为了使“问题串”的设计更加完整，任务6辨析概念，即通过设计非概念情境中的“反例变式”，对概念进行多角度的辨析与理解。任务7和任务8帮助学生认识数学概念之间的联系，让学生深入理解函数单调性概念的表征体系。以上设计，更重要的是让学生在具体的探究任务的学习过程中，体会数形结合、分类讨论的数学思想，强化了学生对函数单调性概念及其数学符号语言的认知，激发了学生的主观能动性和学习效能感。
重视理解的逆向教学设计，以教学评价为基点，从教学目标出发，重新规划了学生的学习方向，重视课标、学情与文本内容的统一，对学生的学习过程进行阶梯式设计，变革了教师的教学理念与教学方式。它不仅关注教师的教学设计理念，更以评价任务为抓手，合理搭建教学脚手架，注重对学生思维的提升，强化学生对学习的理解，充分体现出学生是课堂教学的主体，有利于学生对数学概念、方法、思想的深入理解，使其自主思考和独立精神得到体现，实现对学生数学核心素养的培育。
【参考文献】
[1]夏繁军.关注数学“持久理解”，促进学生深度学习[J].中学数学教学参考，2016（Z1）：29-33.
[2]余叶军.逆向教学设计：核心素养背景下初中数学的重要取向[J].数学教学通讯，2019（5）：39-40.
[3]葛玉华.“UbD”理论指引下的数学逆向教学设计[J].数学教学通讯，2019（34）：3-4.
[4]高园梅. 提升课堂教学中教—学—评一致性的策略研究——以小学数学课堂教学为例[D].重庆：西南大学，2020.