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勾股定理涉及到几何教学的很多问题。因此，要引导学生全面深刻掌握这方面的知识。
《周髀算经》上是怎样记载勾股定理的？我国古代把直角三角形中较短的一条直角叫做“勾”，把较长的一条直线叫做“股”，把斜边叫做“弦”，《周髀算经》（成书于公元1世纪）中指出：“昔者周公（注：公元前11世纪周武王的大臣）问于商高（注：学者）曰：‘窃闻科大夫善数也，请问古者包牺立周历度。夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？’商高曰：‘数之法，出于方圆。圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五’。”这就是“勾三、股四、弦五”的由来。书中还介绍了公元前7世纪我国已应用了直角三角形中勾平方加上股平方等于弦平方的性质，所以我们把这一定理叫做“勾股定理”。国外把这一定理叫做毕达哥拉斯定理，毕氏是公元前6世纪的希腊人，他自称发现并证明了这一定理，可惜至今无人看到过他的证明。那么，我国数学家是怎样证明勾股定理的呢？
赵爽是我国三国时代东吴的数学家，他的著作《周髀算经注》（公元前3世纪）中有一篇“勾股圆方图注”，其中给出了勾股定理的一般形式：“勾、股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦。”有4个直角三角形和一个小正方形，它们的面积的和应该正好等于大正方形的面积，即化简得到a2+b2=c2。赵爽称此图为“弦图”。关于这个定理，现在看到的国外最早的证明见之于欧几里得的《几何原本》。（公元前3世纪）。他在证明时运用了面积与全等三角形的概念。那么，我国数学家把勾股定理用于代数研究，得到了什么成就？除了32+42=52以外，我们还有62+82=102，52+122=132等等。我们把能形成直角三角形的三条边长的三个正整数，叫做整勾股数组，也叫做勾股弦数。
公元1世纪，我国数学著作（九章算术）中记载了一种求整勾股数组的法则：任意给定两个正整数m，n（m＞n），那么 这三个正整数就是一个整勾股数组。用代数方法很容易证明这一结论。公元3世纪，我国著名数学家刘徽从几何上也证明了这一结论。不难证明，如果上述m，n（m＞n）是互质的奇数，那么用《九章算术》中的法则可以求出所有两两互质的整勾股数组。这也是我们中国古代数学家的一项杰出成就。
有趣的是：除了三元二次方程x2+y2=z2（其中x、y、z都是未知数）有正整数解以外，其他的三元n次方程xn+yn=zn（n为已知正整数，且n＞2）都不可能有正整数解。这一定理叫做费尔马大定理（费尔马是17世纪法国数学家）。叙述勾股定理的逆定理时，要注意些什么？
勾股定理是：直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2。勾股定理的逆定理是：如果三角形的三边长a、b、c有以下面关系：a2+b2=c2。那么这个三角形是直角三角形。在叙述逆定理时，不能简单地把原命题（即勾股定理）的条件和结论颠倒过来，写成：“如果一个三角形的两直角边a、b的平方和，等于斜边c的平方，即a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。”要是这样写，条件和结论就混乱了——条件中说的是“三角形”，那就不能使用了“直角边”、“斜边”等名词。
勾股定理和它的逆定理可以合并成一句话：“一个三角形是直角三角形必须并且只需它的三边长a、b、c满足关系式a2+b2=c2”其中关系式a2+b2=c2表明此三角形的三采边长不全相等，c的值最大，最长的边的平方等于较短的两条边的平方和。勾股定理的逆定理是判断三角形为锐角或钝角的一个简单的方法。若c为最长边，且a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形。如果a2+b2>c2，则△ABC是锐角三角形。如果a2+b2 证法1：同一法。证法的思路是做一个直角三角形，然后证明它和已知三角形全等，从而已知三角形也是直角三角形。构造一个直角三角形A'B'C'，使∠C'=90°，a'=a，b'=b。那么，根据勾股定理，c'2=a'2+b'2=a2+b2=c2，从而c'=c。在△ABC和△A'B'C'中，a=a'，b=b'，c=c'，∴△ABC≌△A'B'C'。因而，∠C=∠C'=90°。（证毕）
证法2：相似三角形。证法的思路是将已知三角形分割成两块，然后证明它们互补的两角相等，从而这两角都是直角。在AB边上截取点D使∠DCB=∠A。在△CDB与△ACB中，∠B=∠B，∠DCB=∠A，∴△CDB∽△ACB（两角对应相等）。∴BC/BA=BD/BC，从而BD=a'2/c。又由CD/AC=CB/AB知，CD=ab/c。另一方面，AD=AB-BD=c-a'2/c=b'2/c（因为c'2=a'2+b'2），在△ACD与△CBD中，DC/AD=（ab/c）/（b'2/c）=a/b，BC/AC=a/b，BD/CD=（a'2/c）/（ab/c）=a/b，∴△ACD∽△CBD（三边对应成比例）。∴∠BDC=∠CDA。而∠BDC+∠CDA=180°，故∠BDC=∠CDA=90°。由于∠ACB=∠CDB，所以∠ACB90°。（证毕）要进行实际应用，那样就事半功倍。
证法3：欧几里德证明。做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD，过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L。∵AF=AC，AB=AD，∠FAB=∠GAD，∴FAB≌ΔGAD。
鉴于篇幅所限，勾股定理的教学只能简单地给大家介绍这么多，在其它资料上，还有很多详细的内容可供参考。
《周髀算经》上是怎样记载勾股定理的？我国古代把直角三角形中较短的一条直角叫做“勾”，把较长的一条直线叫做“股”，把斜边叫做“弦”，《周髀算经》（成书于公元1世纪）中指出：“昔者周公（注：公元前11世纪周武王的大臣）问于商高（注：学者）曰：‘窃闻科大夫善数也，请问古者包牺立周历度。夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？’商高曰：‘数之法，出于方圆。圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五’。”这就是“勾三、股四、弦五”的由来。书中还介绍了公元前7世纪我国已应用了直角三角形中勾平方加上股平方等于弦平方的性质，所以我们把这一定理叫做“勾股定理”。国外把这一定理叫做毕达哥拉斯定理，毕氏是公元前6世纪的希腊人，他自称发现并证明了这一定理，可惜至今无人看到过他的证明。那么，我国数学家是怎样证明勾股定理的呢？
赵爽是我国三国时代东吴的数学家，他的著作《周髀算经注》（公元前3世纪）中有一篇“勾股圆方图注”，其中给出了勾股定理的一般形式：“勾、股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦。”有4个直角三角形和一个小正方形，它们的面积的和应该正好等于大正方形的面积，即化简得到a2+b2=c2。赵爽称此图为“弦图”。关于这个定理，现在看到的国外最早的证明见之于欧几里得的《几何原本》。（公元前3世纪）。他在证明时运用了面积与全等三角形的概念。那么，我国数学家把勾股定理用于代数研究，得到了什么成就？除了32+42=52以外，我们还有62+82=102，52+122=132等等。我们把能形成直角三角形的三条边长的三个正整数，叫做整勾股数组，也叫做勾股弦数。
公元1世纪，我国数学著作（九章算术）中记载了一种求整勾股数组的法则：任意给定两个正整数m，n（m＞n），那么 这三个正整数就是一个整勾股数组。用代数方法很容易证明这一结论。公元3世纪，我国著名数学家刘徽从几何上也证明了这一结论。不难证明，如果上述m，n（m＞n）是互质的奇数，那么用《九章算术》中的法则可以求出所有两两互质的整勾股数组。这也是我们中国古代数学家的一项杰出成就。
有趣的是：除了三元二次方程x2+y2=z2（其中x、y、z都是未知数）有正整数解以外，其他的三元n次方程xn+yn=zn（n为已知正整数，且n＞2）都不可能有正整数解。这一定理叫做费尔马大定理（费尔马是17世纪法国数学家）。叙述勾股定理的逆定理时，要注意些什么？
勾股定理是：直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2。勾股定理的逆定理是：如果三角形的三边长a、b、c有以下面关系：a2+b2=c2。那么这个三角形是直角三角形。在叙述逆定理时，不能简单地把原命题（即勾股定理）的条件和结论颠倒过来，写成：“如果一个三角形的两直角边a、b的平方和，等于斜边c的平方，即a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。”要是这样写，条件和结论就混乱了——条件中说的是“三角形”，那就不能使用了“直角边”、“斜边”等名词。
勾股定理和它的逆定理可以合并成一句话：“一个三角形是直角三角形必须并且只需它的三边长a、b、c满足关系式a2+b2=c2”其中关系式a2+b2=c2表明此三角形的三采边长不全相等，c的值最大，最长的边的平方等于较短的两条边的平方和。勾股定理的逆定理是判断三角形为锐角或钝角的一个简单的方法。若c为最长边，且a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形。如果a2+b2>c2，则△ABC是锐角三角形。如果a2+b2
证法2：相似三角形。证法的思路是将已知三角形分割成两块，然后证明它们互补的两角相等，从而这两角都是直角。在AB边上截取点D使∠DCB=∠A。在△CDB与△ACB中，∠B=∠B，∠DCB=∠A，∴△CDB∽△ACB（两角对应相等）。∴BC/BA=BD/BC，从而BD=a'2/c。又由CD/AC=CB/AB知，CD=ab/c。另一方面，AD=AB-BD=c-a'2/c=b'2/c（因为c'2=a'2+b'2），在△ACD与△CBD中，DC/AD=（ab/c）/（b'2/c）=a/b，BC/AC=a/b，BD/CD=（a'2/c）/（ab/c）=a/b，∴△ACD∽△CBD（三边对应成比例）。∴∠BDC=∠CDA。而∠BDC+∠CDA=180°，故∠BDC=∠CDA=90°。由于∠ACB=∠CDB，所以∠ACB90°。（证毕）要进行实际应用，那样就事半功倍。
证法3：欧几里德证明。做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD，过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L。∵AF=AC，AB=AD，∠FAB=∠GAD，∴FAB≌ΔGAD。
鉴于篇幅所限，勾股定理的教学只能简单地给大家介绍这么多，在其它资料上，还有很多详细的内容可供参考。