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[摘 要]建立直流力矩电机驱动的位置随动系统状态空间数学模型，分别运用状态反馈及LQ最优调节器对控制系统进行优化并经仿真验证，状态反馈控制器具有更为优越的性能。
[关键词]位置随动系统；状态反馈；LQ最优控制器；simulink
中图分类号：TP275 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2015）38-0194-02
引言
随着机电一体化技术的快速发展，位置随动系统已成为现代工业领域中不可缺少的一部分，是电力拖动自动控制系统的一个重要分支。在实际系统中通常采用位置环、速度环和电流环三环控制系统，其基本思想是先选择调节器的结构，以确保系统的稳定性，同时满足所需要的稳态精度；再选择调节器的参数，以满足动态性能指标[1]。
传统设计法基于经典控制理论，将系统看成一个“黑盒”，仅反映输入输出的因果关系，而本文通过建立位置随动系统状态空间矩阵，对内部状态变化进行观测和分析，通过比较状态反馈和LQ最优控制设计方法，对随动系统的控制器设计进行研究。
1 基于状态空间的位置随动系统建模
位置随动系统常选择力矩电机作为执行元件，对力矩电机的建模是系统设计的重要组成部分。本文选择直流有刷力矩电机为研究对象，其工作原理是由输入的电枢电压在电枢回路中产生电流，与激磁磁通相互作用后产生电磁转矩，以拖动负载运动，根据基本理论可知[2，3]：
电枢回路电压平衡方程：
（1.1）
电磁转矩方程：
（1.2）
电动机轴上的转矩平衡方程：
（1.3）
上述式中，是电枢反电势，，是反电势系数，方向与电枢电压相反。是电动机转矩系数；是电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数，通常忽略；是电动机和负载折合到电动机轴上的转动惯量。
经整理可得到；
（1.4）
取电流和转速为状态变量，控制电压为输入变量，可得状态方程如下：
（1.5）
本文采用电机直驱系统，传动比为1，设位置与电压转换系数及系统开环增益均为1，可得：
（1.6）
式中：为给定位置。
又因为 （1.7）
取电流、跟踪位置和速度为状态变量，给定位置为输入，跟踪位置为输出，可得连续域扩展状态方程：
（1.8）
建立状态空间数学模型后，即可根据现代控制理论对系统进行设计。
2 基于状态空间模型的控制器设计方法
建立位置随动系统数学模型后，即可采用系统极点配置和LQ指标最优调节器进行设计，实现对系统的控制。
2.1 状态反馈系统设计法
利用状态反馈任意配置闭环极点的充要条件是被控系统可控，即系统可控矩阵S=[A AB … An-1 B]满秩。
如式1.8所示系统可控性矩阵为
（2.1）
解得，系统可控性矩阵满秩，满足闭环极点任意配置的充要条件。
设连续域状态反馈矩阵为，则电动机输入电压为，得到位置随动闭环系统状态方程为
（2.3）
反馈矩阵可以通过极点配置求解，建立状态反馈随动控制系统的结构图如图1所示。
2.2 LQ最优调节器设计法
已知系统方程如式（1.8）所示，可引入最优控制的性能指标，即设计一个输入量，使得
（2.4）
最小，其中和分别为状态变量和输入变量的加权矩阵，这样的控制问题称为线性二次型（LQ）最优控制问题。
由LQ最优控制理论可知，若想最小化，则控制信号应该为
（2.5）
其中，为对称矩阵，满足黎卡提微分方程
（2.6）
可见最优控制量取决于黎卡提微分方程的解和状态变量。
在稳态情况下，黎卡提微分方程的解将趋于常数矩阵，使得，此时黎卡提微分方程将简化成
（2.7）
求解出微分黎卡提方程可得，进而得反馈矩阵，得出状态反馈下的闭环系统的状态方程为。
3 算法仿真结果
某直流力矩电动机电枢回路总电阻，电枢电感，反电势系数，电动机转矩系数，。经过对状态反馈控制器和LQ指标最优调节器算法的参数设计，通过Matlab实现两种算法的效果。
原系统输入分别对单位阶跃响应和5Hz单位正弦信号的响应曲线如图2.（a）和2.（b）所示，系統加状态反馈控制器后分别对单位阶跃响应和5Hz单位正弦信号的响应如图2.（c）和2.（d）所示，系统加LQ最优调节器后分别对单位阶跃响应和5Hz单位正弦信号的响应如图2.（e）和2.（f）所示。
通过仿真曲线，可看出采用配置合适极点的状态反馈控制器后，系统响应时间明显提高，基本无超调，对正弦信号有非常良好的跟踪效果，尤其适用于精确位置随动系统；采用LQ最优调节器后，系统响应时间、超调量均有改善，对正弦信号可正常跟踪，但与状态反馈控制器相比，效果略差，具体指标如表1所示。
4 结束语
本文引用电流、速度和位置作为状态变量，建立了位置随动系统的状态空间模型，在此基础上采用状态反馈控制器实现闭环极点任意配置的方法设计了控制器，系统性能大幅提高；同时采用LQ最优调节器设计了控制器，系统性能有所改善。
通过比较两种设计方法，使系统性能指标达到优化。LQ最优控制器加权矩阵的选取很大程度影响系统的最优解，但关于状态变量及输入的加权矩阵的定性设置更为方便；状态反馈控制的极点配置中，关于极点的选取需要一定的工程经验知识，可以定量的给出了系统的特性。
从仿真结果来看，状态反馈控制器更适用于对位置精度要求更高的随动系统。通过本文为状态空间的随动控制系统的设计和实际应用提供了理论依据。
参考文献
[1] 陈伯时.电力拖动自动控制系统（第三版）[M]，北京：机械工业出版社，2012，59～61.
[2] 胡寿松.自动控制原理（第五版）[M]，北京：科学出版社，2007，21～23.
[3] 刘煜.一种位置随动控制系统的建模与仿真研究[J]，弹箭与制导学报，2005（3）：123～125.
[4] 薛定宇.控制系统计算机辅助设计—MATLAB语言与应用（第二版）[M]，北京：清华大学出版社，2006， 92～93.
[关键词]位置随动系统；状态反馈；LQ最优控制器；simulink
中图分类号：TP275 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2015）38-0194-02
引言
随着机电一体化技术的快速发展，位置随动系统已成为现代工业领域中不可缺少的一部分，是电力拖动自动控制系统的一个重要分支。在实际系统中通常采用位置环、速度环和电流环三环控制系统，其基本思想是先选择调节器的结构，以确保系统的稳定性，同时满足所需要的稳态精度；再选择调节器的参数，以满足动态性能指标[1]。
传统设计法基于经典控制理论，将系统看成一个“黑盒”，仅反映输入输出的因果关系，而本文通过建立位置随动系统状态空间矩阵，对内部状态变化进行观测和分析，通过比较状态反馈和LQ最优控制设计方法，对随动系统的控制器设计进行研究。
1 基于状态空间的位置随动系统建模
位置随动系统常选择力矩电机作为执行元件，对力矩电机的建模是系统设计的重要组成部分。本文选择直流有刷力矩电机为研究对象，其工作原理是由输入的电枢电压在电枢回路中产生电流，与激磁磁通相互作用后产生电磁转矩，以拖动负载运动，根据基本理论可知[2，3]：
电枢回路电压平衡方程：
（1.1）
电磁转矩方程：
（1.2）
电动机轴上的转矩平衡方程：
（1.3）
上述式中，是电枢反电势，，是反电势系数，方向与电枢电压相反。是电动机转矩系数；是电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数，通常忽略；是电动机和负载折合到电动机轴上的转动惯量。
经整理可得到；
（1.4）
取电流和转速为状态变量，控制电压为输入变量，可得状态方程如下：
（1.5）
本文采用电机直驱系统，传动比为1，设位置与电压转换系数及系统开环增益均为1，可得：
（1.6）
式中：为给定位置。
又因为 （1.7）
取电流、跟踪位置和速度为状态变量，给定位置为输入，跟踪位置为输出，可得连续域扩展状态方程：
（1.8）
建立状态空间数学模型后，即可根据现代控制理论对系统进行设计。
2 基于状态空间模型的控制器设计方法
建立位置随动系统数学模型后，即可采用系统极点配置和LQ指标最优调节器进行设计，实现对系统的控制。
2.1 状态反馈系统设计法
利用状态反馈任意配置闭环极点的充要条件是被控系统可控，即系统可控矩阵S=[A AB … An-1 B]满秩。
如式1.8所示系统可控性矩阵为
（2.1）
解得，系统可控性矩阵满秩，满足闭环极点任意配置的充要条件。
设连续域状态反馈矩阵为，则电动机输入电压为，得到位置随动闭环系统状态方程为
（2.3）
反馈矩阵可以通过极点配置求解，建立状态反馈随动控制系统的结构图如图1所示。
2.2 LQ最优调节器设计法
已知系统方程如式（1.8）所示，可引入最优控制的性能指标，即设计一个输入量，使得
（2.4）
最小，其中和分别为状态变量和输入变量的加权矩阵，这样的控制问题称为线性二次型（LQ）最优控制问题。
由LQ最优控制理论可知，若想最小化，则控制信号应该为
（2.5）
其中，为对称矩阵，满足黎卡提微分方程
（2.6）
可见最优控制量取决于黎卡提微分方程的解和状态变量。
在稳态情况下，黎卡提微分方程的解将趋于常数矩阵，使得，此时黎卡提微分方程将简化成
（2.7）
求解出微分黎卡提方程可得，进而得反馈矩阵，得出状态反馈下的闭环系统的状态方程为。
3 算法仿真结果
某直流力矩电动机电枢回路总电阻，电枢电感，反电势系数，电动机转矩系数，。经过对状态反馈控制器和LQ指标最优调节器算法的参数设计，通过Matlab实现两种算法的效果。
原系统输入分别对单位阶跃响应和5Hz单位正弦信号的响应曲线如图2.（a）和2.（b）所示，系統加状态反馈控制器后分别对单位阶跃响应和5Hz单位正弦信号的响应如图2.（c）和2.（d）所示，系统加LQ最优调节器后分别对单位阶跃响应和5Hz单位正弦信号的响应如图2.（e）和2.（f）所示。
通过仿真曲线，可看出采用配置合适极点的状态反馈控制器后，系统响应时间明显提高，基本无超调，对正弦信号有非常良好的跟踪效果，尤其适用于精确位置随动系统；采用LQ最优调节器后，系统响应时间、超调量均有改善，对正弦信号可正常跟踪，但与状态反馈控制器相比，效果略差，具体指标如表1所示。
4 结束语
本文引用电流、速度和位置作为状态变量，建立了位置随动系统的状态空间模型，在此基础上采用状态反馈控制器实现闭环极点任意配置的方法设计了控制器，系统性能大幅提高；同时采用LQ最优调节器设计了控制器，系统性能有所改善。
通过比较两种设计方法，使系统性能指标达到优化。LQ最优控制器加权矩阵的选取很大程度影响系统的最优解，但关于状态变量及输入的加权矩阵的定性设置更为方便；状态反馈控制的极点配置中，关于极点的选取需要一定的工程经验知识，可以定量的给出了系统的特性。
从仿真结果来看，状态反馈控制器更适用于对位置精度要求更高的随动系统。通过本文为状态空间的随动控制系统的设计和实际应用提供了理论依据。
参考文献
[1] 陈伯时.电力拖动自动控制系统（第三版）[M]，北京：机械工业出版社，2012，59～61.
[2] 胡寿松.自动控制原理（第五版）[M]，北京：科学出版社，2007，21～23.
[3] 刘煜.一种位置随动控制系统的建模与仿真研究[J]，弹箭与制导学报，2005（3）：123～125.
[4] 薛定宇.控制系统计算机辅助设计—MATLAB语言与应用（第二版）[M]，北京：清华大学出版社，2006， 92～93.