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[摘 要] 研究一元线性回归问题的可视化教学案例。基于GeoGebra平台，通过一个具体的实际教学案例研究不同函数模型拟合效果、函数拟合的残差比较等，实现一元线性回归问题的教学可视化，并在与传统教学设计对比后得出可视化教学具有有效增强教学效果、提高学生学习积极性的结论。
[关 键 词] 教学设计;GeoGebra;可视化
[中图分类号] G712 [文献标志码] A [文章編号] 2096-0603（2021）45-0158-02
对于初识统计学问题的职业学校学生来说，回归分析问题的学习对初等函数知识要求较高，且具有计算量较大、思维抽象的特点。GeoGebra是一款动态数学软件，同时具备代数变量运算、统计概率以及3D绘图等实用功能。GeoGebra软件通过便捷计算代数系统和智能指令输入系统，真正实现了数与形的融合，将抽象的数据关系可视化为可具体感知的图像信息，激发中职生数学的学习兴趣，提升学生的数学核心素养。
一、教材解读
（一）教学目标与教学重难点
“一元线性回归”是江苏职业学校文化基础课数学第十章第八节的内容。其教学重点是了解一元线性回归的基本思想与方法，难点是理解回归模型建立的基本步骤。
（二）传统教学设计流程
茶水销售问题：商店为了解茶水销售量与最低气温之间的关系，随机统计并制作了某六天的销售量（单位：杯）与当天最低气温（单位：℃）的对照表（见表1）。
若某一天最低气温为-5℃，能否估计这天商店卖出茶水的杯数？
在教材中，以此题作为引入问题，要求建立茶水销售量y关于气温x的一元线性回归方程。从传统教学设计的角度，此题包括以下三个问题的讨论与解决：（1）作出热茶销售量与气温的散点图，根据散点图建立它们间的函数关系;（2）建立以温度为自变量、茶水销售杯数为因变量的一元线性回归模型，计算残差并利用残差进行数据分析;（3）计算W（a，b），并利用最小二乘法对建立的模型进行分析，判断能否较好地刻画温度和茶水销售量间的数量关系，最终生成一元线性回归方程。
二、基于GeoGebra平台的教学过程
GeoGebra软件具有数据统计与分析、函数绘图和强大的代数运算功能，故我们利用GeoGebra软件，针对该课题实施教学活动。
（一）建立一元线性回归模型环节
1.绘制散点图
启动GeoGebra软件后，在主菜单栏中的“视图”选项里单击“表格区”，则在界面右侧弹出表格区。然后，在表格区输入表1中的“最低气温”“茶水销售量”及对应数量。接着，框选数据，通过右键弹出对话框，选择对话框中的“创建”—“点列”栏目。此时，绘图区内生成数据散点图，即生成点列为l1。
教师在生成散点图后，再呈现教材中的散点图，由学生对两张图片进行对比，分析两张图片的区别，再总结汇报，教师进行点评。学生会发现教材中的坐标系的纵轴已经进行了缩放，散点分布失真。那么，散点分布的规律到底满足什么样的特征？仅仅依靠直观印象是不能做出正确的判断的，由此学生探究的愿望渐浓，期待进行下一步的探究。
2.建立一次函数模型环节
散点图生成后教师指导学生观察其特征，回顾已掌握的函数图像，由学生猜想并尝试建立回归模型。在小组讨论后汇报的过程中，大部分学生都能得出“散点图分布在一条直线附近”的结论，也会有一部分学生猜想二次函数、幂函数的情况。针对这一情况，教师要及时给予表扬，引导学生先尝试建立一次函数回归模型，并将其他情况作为拓展任务暂不展开。
首先，教师指导学生在指令栏里输入“多项式拟合”，弹出“多项式拟合（<点列1>，<多项式次数>）”指令提示。
接着，将其中“<点列1>，<多项式次数>”改为“l1，1”，并点击回车后，此时在绘图区中生成一次函数图像f（x），同时在代数区内显示函数f（x）=-1.71x+58.86，在计算机生成一次回归函数后，教师则呈现回归直线的数学定义：用直线方程近似表示的相关关系叫作线性关系，这条直线成为回归直线，其中a，b称为回归系数。学生回答出计算机生成的回归系数为“a=1.71，b=58.86”。
3.一次函数模型残差分析环节
教师指导学生在指令区内输入“残差图”，弹出“残差图（<点列>，<函数>）”，将其改为“残差图（l1，f（x））”，则在绘图区内呈现出一次函数模型的残差图。（如图1所示）。
在残差图的直观演示下，教师引导学生将残差与方差进行对比，促进学生对残差这一概念的理解。然后，教师再借助残差图，简要介绍残差的平方和表达式以及求解回归系数的最小二乘法。最后，给出一元回归直线的系数计算公式。
（二）回归模型拓展环节
1.建立二次函数、幂函数模型环节
教师依据学生猜想的另外两种回归模型：二次函数与幂函数模型，指导学生自主完成计算机绘图任务。首先，教师指导学生在指令栏里输入“多项式拟合”，弹出“多项式拟合（<点列1>，<多项式次数>）”指令提示。接着，将其中“<点列1>，<多项式次数>”改为“l1，2”，并点击回车，此时绘图区中生成二次函数的函数图像g（x），并且代数区内会呈现函数g（x）=0.06x2-3.4x+65.52。然后，在指令栏里输入“幂函数”，弹出“幂函数拟合（<第一象限点列1>）”指令提示。接着，将其中“<第一象限点列1>”改为“l1”，并点击回车，此时在绘图区中生成幂函数图像h（x），同时在代数区内显示函数h（x）=72.34x-0.35。 2.不同函数模型拟合效果的比较
教师指导学生作出二次函数与幂函数模型的残差图。通过学生先观察、讨论，再分析比较，发现二次函数模型的残差分布于x轴附近，残差绝对值也较小;幂函数模型残差在x轴附近分布较为分散，即残差绝对值较大，所以得出结论：二次函数模型拟合较幂函数模型好。但学生也会提出质疑：“仅凭直观感知，没有计算”是不能作为充分条件的。
因此，教师顺势指导学生利用R2值验证猜测结论。
首先，在指令栏里输入关键词“可决系数”，提示“可决系数R方（<点列1>，<函数>），将其中“<点列1>，<函数>”改为“l1，f（x）”，单击回车键后，在代数区内显示a=0.91（即R2=0.91）。
然后，在指令栏里输入关键词“可决系数”，提示“可决系数R方（<点列1>，<函数>），将其中“<点列1>，
<函数>”改為“l1，g（x）”，并单击回车键，在代数区内显示b=0.99（即R2=0.99）。
最后，在指令栏里输入关键词“可决系数”，提示“可决系数R方（<点列1>，<函数>），将其中“<点列1>，
<函数>”改为“l1，h（x）”，再单击回车键，在代数区内显示c=0.88（即R2=0.88）。
在对三种函数拟合情况的“可决系数”进行比较分析时，教师可以向学生明确R2越大表示拟合效果越好。
观察函数的图像与相应R2值的大小对比，师生可以发现二次函数模型拟合的效果最佳，经比较甚至比教材中提供的一次函数模型拟合的效果更为精密，但是幂函数模型的拟合效果是三者中最差的。再将三种模型刻画在同一坐标系之中则更具视觉直观性（如图2所示）。故而可以借助二次函数解析式对-5℃的情况预测小卖部卖出茶水的杯数。
三、两种教学设计效果分析
基于GeoGebra软件的教学设计，给课堂教学创设了一个学生大胆猜想、自主探索、即时生成的学习情境。首先，本次课的设计节省了学生手动作图及计算的时间，学生参与思考、交流讨论的意识得到加强。其次，相比传统的教学设计，本次设计拓展了二次函数与幂函数模型的探究，这产生于GeoGebra软件可视化效果作用下的课堂即时生成。最后，相比较传统教学设计中直接引入残差平方值的计算，GeoGebra软件中残差图的运用更具直观性，有利于学生从直观感知过渡到理性认知，进一步进行针对几种函数模型进行主动解构与对比。所以，本课题的教学设计中生成的二次函数拟合程度较好的结论，是相对于教材中一次函数模型更加合理的一种函数模型的呈现，是一种机智的教学生成。
参考文献：
[1]张志勇.高中数学可视化教学：原则、途径与策略：基于GeoGebra平台[J].数学通报，2018，57（7）：21-24，28.
[2]张维忠，唐慧荣.可视化教学内容设计的五大原则[J].电化教育研究，2010（10）：99-102.
[3]李红美，王镇国，韦俊楠.面向移动终端课堂互动信息的可视化分析：以高中数学为例[J].现代教育技术，2017，27（2）：113-119.
◎编辑 郑晓燕
[关 键 词] 教学设计;GeoGebra;可视化
[中图分类号] G712 [文献标志码] A [文章編号] 2096-0603（2021）45-0158-02
对于初识统计学问题的职业学校学生来说，回归分析问题的学习对初等函数知识要求较高，且具有计算量较大、思维抽象的特点。GeoGebra是一款动态数学软件，同时具备代数变量运算、统计概率以及3D绘图等实用功能。GeoGebra软件通过便捷计算代数系统和智能指令输入系统，真正实现了数与形的融合，将抽象的数据关系可视化为可具体感知的图像信息，激发中职生数学的学习兴趣，提升学生的数学核心素养。
一、教材解读
（一）教学目标与教学重难点
“一元线性回归”是江苏职业学校文化基础课数学第十章第八节的内容。其教学重点是了解一元线性回归的基本思想与方法，难点是理解回归模型建立的基本步骤。
（二）传统教学设计流程
茶水销售问题：商店为了解茶水销售量与最低气温之间的关系，随机统计并制作了某六天的销售量（单位：杯）与当天最低气温（单位：℃）的对照表（见表1）。
若某一天最低气温为-5℃，能否估计这天商店卖出茶水的杯数？
在教材中，以此题作为引入问题，要求建立茶水销售量y关于气温x的一元线性回归方程。从传统教学设计的角度，此题包括以下三个问题的讨论与解决：（1）作出热茶销售量与气温的散点图，根据散点图建立它们间的函数关系;（2）建立以温度为自变量、茶水销售杯数为因变量的一元线性回归模型，计算残差并利用残差进行数据分析;（3）计算W（a，b），并利用最小二乘法对建立的模型进行分析，判断能否较好地刻画温度和茶水销售量间的数量关系，最终生成一元线性回归方程。
二、基于GeoGebra平台的教学过程
GeoGebra软件具有数据统计与分析、函数绘图和强大的代数运算功能，故我们利用GeoGebra软件，针对该课题实施教学活动。
（一）建立一元线性回归模型环节
1.绘制散点图
启动GeoGebra软件后，在主菜单栏中的“视图”选项里单击“表格区”，则在界面右侧弹出表格区。然后，在表格区输入表1中的“最低气温”“茶水销售量”及对应数量。接着，框选数据，通过右键弹出对话框，选择对话框中的“创建”—“点列”栏目。此时，绘图区内生成数据散点图，即生成点列为l1。
教师在生成散点图后，再呈现教材中的散点图，由学生对两张图片进行对比，分析两张图片的区别，再总结汇报，教师进行点评。学生会发现教材中的坐标系的纵轴已经进行了缩放，散点分布失真。那么，散点分布的规律到底满足什么样的特征？仅仅依靠直观印象是不能做出正确的判断的，由此学生探究的愿望渐浓，期待进行下一步的探究。
2.建立一次函数模型环节
散点图生成后教师指导学生观察其特征，回顾已掌握的函数图像，由学生猜想并尝试建立回归模型。在小组讨论后汇报的过程中，大部分学生都能得出“散点图分布在一条直线附近”的结论，也会有一部分学生猜想二次函数、幂函数的情况。针对这一情况，教师要及时给予表扬，引导学生先尝试建立一次函数回归模型，并将其他情况作为拓展任务暂不展开。
首先，教师指导学生在指令栏里输入“多项式拟合”，弹出“多项式拟合（<点列1>，<多项式次数>）”指令提示。
接着，将其中“<点列1>，<多项式次数>”改为“l1，1”，并点击回车后，此时在绘图区中生成一次函数图像f（x），同时在代数区内显示函数f（x）=-1.71x+58.86，在计算机生成一次回归函数后，教师则呈现回归直线的数学定义：用直线方程近似表示的相关关系叫作线性关系，这条直线成为回归直线，其中a，b称为回归系数。学生回答出计算机生成的回归系数为“a=1.71，b=58.86”。
3.一次函数模型残差分析环节
教师指导学生在指令区内输入“残差图”，弹出“残差图（<点列>，<函数>）”，将其改为“残差图（l1，f（x））”，则在绘图区内呈现出一次函数模型的残差图。（如图1所示）。
在残差图的直观演示下，教师引导学生将残差与方差进行对比，促进学生对残差这一概念的理解。然后，教师再借助残差图，简要介绍残差的平方和表达式以及求解回归系数的最小二乘法。最后，给出一元回归直线的系数计算公式。
（二）回归模型拓展环节
1.建立二次函数、幂函数模型环节
教师依据学生猜想的另外两种回归模型：二次函数与幂函数模型，指导学生自主完成计算机绘图任务。首先，教师指导学生在指令栏里输入“多项式拟合”，弹出“多项式拟合（<点列1>，<多项式次数>）”指令提示。接着，将其中“<点列1>，<多项式次数>”改为“l1，2”，并点击回车，此时绘图区中生成二次函数的函数图像g（x），并且代数区内会呈现函数g（x）=0.06x2-3.4x+65.52。然后，在指令栏里输入“幂函数”，弹出“幂函数拟合（<第一象限点列1>）”指令提示。接着，将其中“<第一象限点列1>”改为“l1”，并点击回车，此时在绘图区中生成幂函数图像h（x），同时在代数区内显示函数h（x）=72.34x-0.35。 2.不同函数模型拟合效果的比较
教师指导学生作出二次函数与幂函数模型的残差图。通过学生先观察、讨论，再分析比较，发现二次函数模型的残差分布于x轴附近，残差绝对值也较小;幂函数模型残差在x轴附近分布较为分散，即残差绝对值较大，所以得出结论：二次函数模型拟合较幂函数模型好。但学生也会提出质疑：“仅凭直观感知，没有计算”是不能作为充分条件的。
因此，教师顺势指导学生利用R2值验证猜测结论。
首先，在指令栏里输入关键词“可决系数”，提示“可决系数R方（<点列1>，<函数>），将其中“<点列1>，<函数>”改为“l1，f（x）”，单击回车键后，在代数区内显示a=0.91（即R2=0.91）。
然后，在指令栏里输入关键词“可决系数”，提示“可决系数R方（<点列1>，<函数>），将其中“<点列1>，
<函数>”改為“l1，g（x）”，并单击回车键，在代数区内显示b=0.99（即R2=0.99）。
最后，在指令栏里输入关键词“可决系数”，提示“可决系数R方（<点列1>，<函数>），将其中“<点列1>，
<函数>”改为“l1，h（x）”，再单击回车键，在代数区内显示c=0.88（即R2=0.88）。
在对三种函数拟合情况的“可决系数”进行比较分析时，教师可以向学生明确R2越大表示拟合效果越好。
观察函数的图像与相应R2值的大小对比，师生可以发现二次函数模型拟合的效果最佳，经比较甚至比教材中提供的一次函数模型拟合的效果更为精密，但是幂函数模型的拟合效果是三者中最差的。再将三种模型刻画在同一坐标系之中则更具视觉直观性（如图2所示）。故而可以借助二次函数解析式对-5℃的情况预测小卖部卖出茶水的杯数。
三、两种教学设计效果分析
基于GeoGebra软件的教学设计，给课堂教学创设了一个学生大胆猜想、自主探索、即时生成的学习情境。首先，本次课的设计节省了学生手动作图及计算的时间，学生参与思考、交流讨论的意识得到加强。其次，相比传统的教学设计，本次设计拓展了二次函数与幂函数模型的探究，这产生于GeoGebra软件可视化效果作用下的课堂即时生成。最后，相比较传统教学设计中直接引入残差平方值的计算，GeoGebra软件中残差图的运用更具直观性，有利于学生从直观感知过渡到理性认知，进一步进行针对几种函数模型进行主动解构与对比。所以，本课题的教学设计中生成的二次函数拟合程度较好的结论，是相对于教材中一次函数模型更加合理的一种函数模型的呈现，是一种机智的教学生成。
参考文献：
[1]张志勇.高中数学可视化教学：原则、途径与策略：基于GeoGebra平台[J].数学通报，2018，57（7）：21-24，28.
[2]张维忠，唐慧荣.可视化教学内容设计的五大原则[J].电化教育研究，2010（10）：99-102.
[3]李红美，王镇国，韦俊楠.面向移动终端课堂互动信息的可视化分析：以高中数学为例[J].现代教育技术，2017，27（2）：113-119.
◎编辑 郑晓燕