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一、利用几何直观证明不等式
数形结合、数形相互转换是数学的重要思想.许多不等式都有较强的几何背景，如能在教学中利用其几何背景数形结合地进行证明,将给学生直观、新颖的感觉,有利于培养其创造性思维.现就此举几道高考和竞赛试题说明.
例1 证明对任意的正实数不等式恒成立.
分析:从形式观察内在式子的结构，可知是以为两边长，所夹角的三角形中角所对的边长，所以上面不等式可转化为三角形两边之和大于第三边的问题.
二、利用函数凸性证明不等式
函数凸性是函数在区问上变化的整体性态，具有由各种确定的不等关系式刻画的重要性质，是研究不等式的重要方法之一．对于某些不等式，我们可以巧妙地构造凸函数，利用函数凸性加以证明。高中《数学》(一上)P.102页B组第3⑵题若“=x2+ax+b则”介绍了上、下凸函数基本知识,为一些简单函数凸性的判断及利用函数的凸性证明不等式提供了有利的工具。
一般地，对于函数，若任意,恒有，则称为内的上凸函数;若不等号反向，称为内的下凸函数；当且仅当时等号成立，称为内的严格上(下)凸函数代数解释：上凸函数即“平均数”的函数值不小于函数值的平均数
?的函数，下凸函数反之。
几何直观:上凸函数其图像的弧线AB位于线段AB的上方，下凸函数反之.
凸函数性质有如下推广形式:若函数在区间上凸，则内任意的都有，当且仅当 时等号成立(下凸函数不等号反向)．
由凸函数的定义(或结合函数图像的特征)可确定一些简单函数的凸性，如,，等是上凸函数;等是下凸函数．中学阶段一些较复杂的不等式证明，可利用上述函数的凸性得到证明.
例 3 设≥1，求证：．
证明原不等式即为，构造上的严格上凸函数，则，
即成立．
注利用分析法是此类根式不等式的惯常证法．但借助函数凸性，自然、贴切，也为一些根式不等式的证明提供了一种直观、简洁、易懂的方法.
三、利用导数证明不等式
导数已列入中学数学教学内容,利用导数证明不等式,就是利用不等式与函数之间的紧密联系，将不等式的部分或全部投射到函数上，直接或等价变形后,结合不等式的结构特征，构造相应的函数，通过导数运算判断出函数的单调性，或利用导数运算来求函数的最值，将不等式的证明转化为函数问题，即转化为比较函数值大小，或函数值在给定区间内恒成立等.现举例说明如下:
3.1 在不等式中突出主元,以主元为自变量构造函数，将不等式转化为函数在给定区间内恒成立问题,然后利用导数证明.
分析: 待证不等式中两个平行元素,本例以为主元构造函数证明.
证明: 先证左边不等式.构造函数,
故原不等式左边即转化为证明当时,; 因为
,当时，，故函数在上单调递增，再由和得.
再证右边不等式:构造函数,原不等式右边即转化为证明当时。；因，函数在上单调递减，由,得，又..
综合以上可知原不等式成立.
3.2 增量换元,以新元为自变量构造函数,将不等式转化为函数的最值或单调性问题,利用导数来求证.
例5 已知.
求证：.
分析：这是课本一道习题,根据题目结构特点有许多不同的证明方法,但根据函数与不等式的联系，通过换元法构造函数，利用导数来证
明，让人耳目一新.
证明：设，则有,以为主元构造函数:
，则其导数,可知，函数是增函数；而
，，由增函数的定义知，，即。
3.3 将不等式恒等变形,将其结构变形统一根据整体特征构造相应的函数，利用导数求证.
例6 已知
四、利用增量代换证明不等式
增量代换顾名思义就是中学数学不等式证明常用代换法中的一种，也是很重要的方法之一。熟练运用和掌握增量法可以拓展视野、增强创新意识.使问题化难为简，对于提高解题能力也大有裨益.下面仅就人教版全日制普通高级中学教科书第二册(上)中颇具典型的几道题加以说明.
4、1利用命题“若a>b,则”
例7已知是正数，且,求证
(第二册(上)Pl2例3).
证明:不妨设，令
一般地，当给出的关系式时，我们可将表示为,其中为增量.这样的代换称为和增量代换，它给出了不等量、间的等量关系，从而应用恒等变形的手段进行某些不等式的运算，达到降低运算量、顺利解决问题的目的。一般地，若题设中出现关系式，则可用和增量代换法证之.
4、2利用命题“若a>b>0,则”
当给出的关系式时，我们可以将表示为或的形式，这样的代换称为积增量代换.
例8 设,比较与 的大小.
(第二册(上)P30复习参考题六第9题).
证明：因，则可设,
因此
由以上两道例题可以看出:用增量法证明不等式比起课本中给出的比较法、综合法及分析法毫不逊色，熟练运用增量法可以拓展视野,使问题简单化，对于提高解题能力是大有裨益的。
（作者单位：湖南省新田县陶岭中学）
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数形结合、数形相互转换是数学的重要思想.许多不等式都有较强的几何背景，如能在教学中利用其几何背景数形结合地进行证明,将给学生直观、新颖的感觉,有利于培养其创造性思维.现就此举几道高考和竞赛试题说明.
例1 证明对任意的正实数不等式恒成立.
分析:从形式观察内在式子的结构，可知是以为两边长，所夹角的三角形中角所对的边长，所以上面不等式可转化为三角形两边之和大于第三边的问题.
二、利用函数凸性证明不等式
函数凸性是函数在区问上变化的整体性态，具有由各种确定的不等关系式刻画的重要性质，是研究不等式的重要方法之一．对于某些不等式，我们可以巧妙地构造凸函数，利用函数凸性加以证明。高中《数学》(一上)P.102页B组第3⑵题若“=x2+ax+b则”介绍了上、下凸函数基本知识,为一些简单函数凸性的判断及利用函数的凸性证明不等式提供了有利的工具。
一般地，对于函数，若任意,恒有，则称为内的上凸函数;若不等号反向，称为内的下凸函数；当且仅当时等号成立，称为内的严格上(下)凸函数代数解释：上凸函数即“平均数”的函数值不小于函数值的平均数
?的函数，下凸函数反之。
几何直观:上凸函数其图像的弧线AB位于线段AB的上方，下凸函数反之.
凸函数性质有如下推广形式:若函数在区间上凸，则内任意的都有，当且仅当 时等号成立(下凸函数不等号反向)．
由凸函数的定义(或结合函数图像的特征)可确定一些简单函数的凸性，如,，等是上凸函数;等是下凸函数．中学阶段一些较复杂的不等式证明，可利用上述函数的凸性得到证明.
例 3 设≥1，求证：．
证明原不等式即为，构造上的严格上凸函数，则，
即成立．
注利用分析法是此类根式不等式的惯常证法．但借助函数凸性，自然、贴切，也为一些根式不等式的证明提供了一种直观、简洁、易懂的方法.
三、利用导数证明不等式
导数已列入中学数学教学内容,利用导数证明不等式,就是利用不等式与函数之间的紧密联系，将不等式的部分或全部投射到函数上，直接或等价变形后,结合不等式的结构特征，构造相应的函数，通过导数运算判断出函数的单调性，或利用导数运算来求函数的最值，将不等式的证明转化为函数问题，即转化为比较函数值大小，或函数值在给定区间内恒成立等.现举例说明如下:
3.1 在不等式中突出主元,以主元为自变量构造函数，将不等式转化为函数在给定区间内恒成立问题,然后利用导数证明.
分析: 待证不等式中两个平行元素,本例以为主元构造函数证明.
证明: 先证左边不等式.构造函数,
故原不等式左边即转化为证明当时,; 因为
,当时，，故函数在上单调递增，再由和得.
再证右边不等式:构造函数,原不等式右边即转化为证明当时。；因，函数在上单调递减，由,得，又..
综合以上可知原不等式成立.
3.2 增量换元,以新元为自变量构造函数,将不等式转化为函数的最值或单调性问题,利用导数来求证.
例5 已知.
求证：.
分析：这是课本一道习题,根据题目结构特点有许多不同的证明方法,但根据函数与不等式的联系，通过换元法构造函数，利用导数来证
明，让人耳目一新.
证明：设，则有,以为主元构造函数:
，则其导数,可知，函数是增函数；而
，，由增函数的定义知，，即。
3.3 将不等式恒等变形,将其结构变形统一根据整体特征构造相应的函数，利用导数求证.
例6 已知
四、利用增量代换证明不等式
增量代换顾名思义就是中学数学不等式证明常用代换法中的一种，也是很重要的方法之一。熟练运用和掌握增量法可以拓展视野、增强创新意识.使问题化难为简，对于提高解题能力也大有裨益.下面仅就人教版全日制普通高级中学教科书第二册(上)中颇具典型的几道题加以说明.
4、1利用命题“若a>b,则”
例7已知是正数，且,求证
(第二册(上)Pl2例3).
证明:不妨设，令
一般地，当给出的关系式时，我们可将表示为,其中为增量.这样的代换称为和增量代换，它给出了不等量、间的等量关系，从而应用恒等变形的手段进行某些不等式的运算，达到降低运算量、顺利解决问题的目的。一般地，若题设中出现关系式，则可用和增量代换法证之.
4、2利用命题“若a>b>0,则”
当给出的关系式时，我们可以将表示为或的形式，这样的代换称为积增量代换.
例8 设,比较与 的大小.
(第二册(上)P30复习参考题六第9题).
证明：因，则可设,
因此
由以上两道例题可以看出:用增量法证明不等式比起课本中给出的比较法、综合法及分析法毫不逊色，熟练运用增量法可以拓展视野,使问题简单化，对于提高解题能力是大有裨益的。
（作者单位：湖南省新田县陶岭中学）
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”