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分组分解法是分解因式的重要方法之一,下面举例介绍分组分解因式的九种技巧.
一、观系数,易分组
例1分解因式:3 + 2 + 2 + 2.
分析:多项式中的一、三两项,二、四两项的系数之比都为,把它们分别结合,易于分解.
解:原式=(3 + 2) + 2 + 2
=(2 + 2) + (2 + 2)
=(2 + 2)( + 1).
二、忆公式,助分组
例2分解因式:294 + 42.
分析:多项式中的第一、三、四项结合起来恰好是完全平方公式,再运用平方差公式即可完成分解.
解:原式=(24 + 42)9
=(2)232
=(2 + 3)( 23) .
三、看次数,利分组
例3 分解因式:2 ++ 24.
分析:把次数相同的项分别结合起来,有利于分解.
解:原式=(2 ++ 2)( + )4
=( + )23( + )4
=( ++ 1)( + 4).
四、先展开,再分组
例4分解因式:( + )2 + ()2.
分析:多项式只有“两项”,且中间以“+”号连接,若把括号展开后再分组,问题就迎刃而解了.
解:原式=22 + 2 + 22 + 222 + 22
=(22 + 22)+(22+ 22)
=2(2 + 2) + 2(2 + 2)
=(2+ 2)(2 + 2).
五、选“主元”,巧分组
例5分解因式:225 + 22+ 75 + 3.
分析:以“ ”为主元,重新分组.
解:原式= 22+(75) + (225 + 3)
= 22 + (75) + (1)(23)
= [2(1)][(23)]
= (2 + 1)(2 + 3).
六、配方后,妙分组
例6分解因式:22+ 2 + 43.
分析:将多项式分别配成关于、的完全平方式,再用平方差公式进行分解.
解:原式= (2 + 2 + 1)(24 + 4) = ( + 1)2(2)2
=( + 1 + 2)( + 1 + 2)
=( + 1)( + 3).
七、先换元,后分组
例7 分解因式:(1)2 + ( + 2)( + 2).
分析:若直接展开,项数太多,不利于分解,不妨设 += , =,再进行分组,就能化难为易.
解:设 += , = ,则
原式=(1)2+(2)(2)
= 12 + 2+222 + 4
=(22 + 2)(22)+ 1
= ( + )2-2( +)+ 1
=( + 1)2 = [(1)(1)]2
=[(1)(1)]2 = (1)2(1)2.
八、先整体,再分组
例8 分解因式:(25)(252)24.
分析:解答此题时,若先展开括号,整理后再分组,将会很麻烦.观察此题两括号内都有25,因此可把25看作一个整体,然后来解.
解:原式 = (25)[(25)2]24
= (25)2(25)24
= (256)(25 + 4)
= (6)( +1)(4)(1).
九、添拆项,促分组
例9 分解因式:(1)4 +4.
分析:将4 +4改写成4+ 4242 + 4,然后分组分解.
解:原式= 4 + 4242+ 4 = (4 + 42 + 4)42
=(2 + 2)2(2)2 = (2 + 2 + 2)(22x + 2).
(2)4 + 3 + 6 2+5 + 5.
分析:把62拆为2 + 52,使分组能够顺利进行.
解:原式=(4 + 3 + 2)+(52 + 5 + 5)
=2(2 ++ 1) + 5(2 ++ 1)
=(2 ++ 1)(2 + 5).
说明:添、拆项是分解因式时常用的技巧,至于添、拆哪一项,要因题而定. 添、拆项后要进行适当分组,再用熟悉的分组分解法来解决问题.
注:“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
一、观系数,易分组
例1分解因式:3 + 2 + 2 + 2.
分析:多项式中的一、三两项,二、四两项的系数之比都为,把它们分别结合,易于分解.
解:原式=(3 + 2) + 2 + 2
=(2 + 2) + (2 + 2)
=(2 + 2)( + 1).
二、忆公式,助分组
例2分解因式:294 + 42.
分析:多项式中的第一、三、四项结合起来恰好是完全平方公式,再运用平方差公式即可完成分解.
解:原式=(24 + 42)9
=(2)232
=(2 + 3)( 23) .
三、看次数,利分组
例3 分解因式:2 ++ 24.
分析:把次数相同的项分别结合起来,有利于分解.
解:原式=(2 ++ 2)( + )4
=( + )23( + )4
=( ++ 1)( + 4).
四、先展开,再分组
例4分解因式:( + )2 + ()2.
分析:多项式只有“两项”,且中间以“+”号连接,若把括号展开后再分组,问题就迎刃而解了.
解:原式=22 + 2 + 22 + 222 + 22
=(22 + 22)+(22+ 22)
=2(2 + 2) + 2(2 + 2)
=(2+ 2)(2 + 2).
五、选“主元”,巧分组
例5分解因式:225 + 22+ 75 + 3.
分析:以“ ”为主元,重新分组.
解:原式= 22+(75) + (225 + 3)
= 22 + (75) + (1)(23)
= [2(1)][(23)]
= (2 + 1)(2 + 3).
六、配方后,妙分组
例6分解因式:22+ 2 + 43.
分析:将多项式分别配成关于、的完全平方式,再用平方差公式进行分解.
解:原式= (2 + 2 + 1)(24 + 4) = ( + 1)2(2)2
=( + 1 + 2)( + 1 + 2)
=( + 1)( + 3).
七、先换元,后分组
例7 分解因式:(1)2 + ( + 2)( + 2).
分析:若直接展开,项数太多,不利于分解,不妨设 += , =,再进行分组,就能化难为易.
解:设 += , = ,则
原式=(1)2+(2)(2)
= 12 + 2+222 + 4
=(22 + 2)(22)+ 1
= ( + )2-2( +)+ 1
=( + 1)2 = [(1)(1)]2
=[(1)(1)]2 = (1)2(1)2.
八、先整体,再分组
例8 分解因式:(25)(252)24.
分析:解答此题时,若先展开括号,整理后再分组,将会很麻烦.观察此题两括号内都有25,因此可把25看作一个整体,然后来解.
解:原式 = (25)[(25)2]24
= (25)2(25)24
= (256)(25 + 4)
= (6)( +1)(4)(1).
九、添拆项,促分组
例9 分解因式:(1)4 +4.
分析:将4 +4改写成4+ 4242 + 4,然后分组分解.
解:原式= 4 + 4242+ 4 = (4 + 42 + 4)42
=(2 + 2)2(2)2 = (2 + 2 + 2)(22x + 2).
(2)4 + 3 + 6 2+5 + 5.
分析:把62拆为2 + 52,使分组能够顺利进行.
解:原式=(4 + 3 + 2)+(52 + 5 + 5)
=2(2 ++ 1) + 5(2 ++ 1)
=(2 ++ 1)(2 + 5).
说明:添、拆项是分解因式时常用的技巧,至于添、拆哪一项,要因题而定. 添、拆项后要进行适当分组,再用熟悉的分组分解法来解决问题.
注:“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”