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“走进图形世界”是同学们进入初中后第一个接触到的几何章节，从我们生活的现实世界出发，认识各种各样基本的几何图形、几何体，无论多么复杂的现实世界其实都是由简单的几何图形、几何体组成的.在探索图形世界时，遇到难题，如果能够正确把握数学中的思想方法，则能开阔思路，达到事半功倍的效果，接下来讲一讲几种数学思想方法在解决本章重难点问题中的作用.
例1 如图所示，大圆的半径是2厘米，以大圆半径为直径在上下两侧画了两个半圆，求图中阴影部分的面积.
【分析】将图中右下方位置的半个小圆旋转到左上方位置的半个小圆处，所以图中阴影部分的面积等于大圆面积的一半，大圆的半径是2厘米.
解：S阴影=[12]S半圆=[12]π×22=2π（平方厘米）.
故答案为：2π（平方厘米）.
【点评】此题阴影部分的面积是一个不规则图形，仔细观察两个小半圆，它们的直径相等，所以面积也相等，于是我们想到把右下方位置的半个小圆（阴影部分）绕点O顺时针旋转180° 到左上方位置的半个小圆（空白部分）处，从而阴影部分就变成了半个大圆.在求解图形面积时，经常会遇到此类不能直接求或图形不规则的问题，我们需要换个角度去解决问题，通过分割（添辅助线）、变动（平移、旋转、翻折等）其中某部分图形的位置把不规则图形转化成几个规则图形面积和、差的形式来进行计算.此题还利用了图形三种运动变换：平移、旋转、翻折，其基本性质：不改变运动前后图形的大小和形状.因此，图形的运动变换不改变图形面积的大小.
例2 探究学习：正方体切一刀（用平面去截），剩下的部分有几个面？几条棱？几个顶点？
【分析】截后剩余的几何体形状有多种情况，关键看这一刀是如何切的，切面可能是三角形、四边形、五边形或六边形，在分类讨论时要找准这一分类依据，再逐层探究，并力求最简化.
① 7个面，15条棱，10个顶点；
② 7个面，13条棱，8个顶点；
③ 7个面，14条棱，9个顶点；
④ 7个面，12条棱，7个顶点；
⑤ 7个面，15条棱，10个顶点；
⑥ 6个面，12条棱，8个顶点；
⑦ 6个面，12条棱，8个顶点；
⑧ 5个面，9条棱，6个顶点；
⑨ 7个面，13条棱，8个顶点；
⑩ 7个面，14条棱，9个顶点；
11 6个面，12条棱，8个顶点；
12 7个面，15条棱，10个顶点；
13 4个面，6条棱，4个顶点.
综上所述：（1）当有7个面时，有12条棱，7个顶点；或13条棱，8个顶点；或14条棱，9个顶点；或15条棱，10个顶点.（2）当有6个面时，有12条棱，8个顶点.（3）当有5个面时，有9条棱，6个顶点.（4）当有4个面时，有6条棱，4个顶点.
【点评】本题考查用一个平面去截几何体，需要同学们有很强的空间想象能力，很具有挑战性，截面的形状是分类讨论的关键. 截面是三角形的有：①②③④13；截面是四边形的有：⑤⑥⑦⑧⑨；截面是五边形的有：⑩11；截面是六边形的是：12.在以边数不同的多边形截面作为分类依据时，还要结合截面顶点恰好是多少正方体顶点的个数再分级深入进行更细致的讨论. 此题的归纳部分是解题的重中之重，虽然分类讨论有很多种情况，但其中有一些是重复出现的，归纳时我们要科学罗列.
对于这类有较大难度的题型，大家在完成思考后最好再用萝卜、橡皮泥之类的模拟正方体切一切，真实的操作不仅能让你体会到切面必须是一个平面，还能让你验证自己的猜想是否正确，分类讨论是否全面.
例3 如图，一只蜘蛛在油桶的点A处，点B处有一只苍蝇，蜘蛛想要过去把苍蝇吃掉，那么蜘蛛应走怎样的路线才能在最短时间捕获苍蝇呢？
【分析】首先将圆柱侧面展开成矩形，再在矩形的长上找到点B的对应点B′，也就是矩形长的中点，最后连接AB′，线段AB′的长度即为所求最短距离.
解：
【点评】这个问题的本质是在圆柱的侧面上寻找路线，而圆柱的侧面是一个曲面，在曲面上找到的路线就是曲线，大家目前所掌握的经验不足以求解曲线的长度，那么怎样才能把曲面、曲线的问题转化成平面、线段的问题解决呢？大部分同学在学过简单几何体的展开与折叠内容后自然会联想到去展开圆柱的侧面，这里寻找点B的对应点B′是解决问题的重点也是难点，很多人极易误认为B′是矩形的顶点.突破这一难点的关键是，圆柱侧面展开后，圆柱上、下两底面的圆周长为矩形上、下的两条长边，而点B在展开后是在矩形长边的中点位置.此外，本题得以解决还依赖于这样一个基本事实：两点之间，线段最短.
例4 用7个小正方体堆在水平桌面上，堆出的几何体主视图和左视图如下，则小正方体的堆放共有 种不同方式？
【分析】此题小正方体的个数是固定的，但只有两个视图不能确定小正方体堆放的位置，我们需要寻找堆放的规律.由于满足条件的方式太多，没办法一一列举，我们需要建构解决这类问题的模型.
解：根据主视图和左视图，我们发现俯视图是4×2（长×宽）的矩形，这里标注3的位置，其垂直位置是必须要堆放3个小正方体的，剩下的我们用字母a，b，c，d，e，f，g来表示其垂直位置上小正方体的个数.
然后我们要考虑余下来的4个小正方体如何摆放. 在（a，d）两位置中必须摆放1个，（b，e）两位置中必须摆放1个，（c，g）两位置中必须摆放1个，剩余的1个小正方体在底层留下来的四个空位中任选一个，于是小正方体摆放的方式一共是2×2×2×4=32种.
【点评】此类三视图问题蕴含着构建数学模型、用字母代表数、排列与组合等复杂的数学活动，这是本章“走进图形世界”的难点内容，学有余力的同学，不妨尝试用这样的方法解决类似的题目，肯定能找到解决问题的诀窍，收获成功的喜悦.
同学们看完以上四例，能否很快与相应的数学思想联系起来？用微信扫描二维码，查看你的答案是否正确.
（作者单位：江苏省常州市新北区吕墅中学）
例1 如图所示，大圆的半径是2厘米，以大圆半径为直径在上下两侧画了两个半圆，求图中阴影部分的面积.
【分析】将图中右下方位置的半个小圆旋转到左上方位置的半个小圆处，所以图中阴影部分的面积等于大圆面积的一半，大圆的半径是2厘米.
解：S阴影=[12]S半圆=[12]π×22=2π（平方厘米）.
故答案为：2π（平方厘米）.
【点评】此题阴影部分的面积是一个不规则图形，仔细观察两个小半圆，它们的直径相等，所以面积也相等，于是我们想到把右下方位置的半个小圆（阴影部分）绕点O顺时针旋转180° 到左上方位置的半个小圆（空白部分）处，从而阴影部分就变成了半个大圆.在求解图形面积时，经常会遇到此类不能直接求或图形不规则的问题，我们需要换个角度去解决问题，通过分割（添辅助线）、变动（平移、旋转、翻折等）其中某部分图形的位置把不规则图形转化成几个规则图形面积和、差的形式来进行计算.此题还利用了图形三种运动变换：平移、旋转、翻折，其基本性质：不改变运动前后图形的大小和形状.因此，图形的运动变换不改变图形面积的大小.
例2 探究学习：正方体切一刀（用平面去截），剩下的部分有几个面？几条棱？几个顶点？
【分析】截后剩余的几何体形状有多种情况，关键看这一刀是如何切的，切面可能是三角形、四边形、五边形或六边形，在分类讨论时要找准这一分类依据，再逐层探究，并力求最简化.
① 7个面，15条棱，10个顶点；
② 7个面，13条棱，8个顶点；
③ 7个面，14条棱，9个顶点；
④ 7个面，12条棱，7个顶点；
⑤ 7个面，15条棱，10个顶点；
⑥ 6个面，12条棱，8个顶点；
⑦ 6个面，12条棱，8个顶点；
⑧ 5个面，9条棱，6个顶点；
⑨ 7个面，13条棱，8个顶点；
⑩ 7个面，14条棱，9个顶点；
11 6个面，12条棱，8个顶点；
12 7个面，15条棱，10个顶点；
13 4个面，6条棱，4个顶点.
综上所述：（1）当有7个面时，有12条棱，7个顶点；或13条棱，8个顶点；或14条棱，9个顶点；或15条棱，10个顶点.（2）当有6个面时，有12条棱，8个顶点.（3）当有5个面时，有9条棱，6个顶点.（4）当有4个面时，有6条棱，4个顶点.
【点评】本题考查用一个平面去截几何体，需要同学们有很强的空间想象能力，很具有挑战性，截面的形状是分类讨论的关键. 截面是三角形的有：①②③④13；截面是四边形的有：⑤⑥⑦⑧⑨；截面是五边形的有：⑩11；截面是六边形的是：12.在以边数不同的多边形截面作为分类依据时，还要结合截面顶点恰好是多少正方体顶点的个数再分级深入进行更细致的讨论. 此题的归纳部分是解题的重中之重，虽然分类讨论有很多种情况，但其中有一些是重复出现的，归纳时我们要科学罗列.
对于这类有较大难度的题型，大家在完成思考后最好再用萝卜、橡皮泥之类的模拟正方体切一切，真实的操作不仅能让你体会到切面必须是一个平面，还能让你验证自己的猜想是否正确，分类讨论是否全面.
例3 如图，一只蜘蛛在油桶的点A处，点B处有一只苍蝇，蜘蛛想要过去把苍蝇吃掉，那么蜘蛛应走怎样的路线才能在最短时间捕获苍蝇呢？
【分析】首先将圆柱侧面展开成矩形，再在矩形的长上找到点B的对应点B′，也就是矩形长的中点，最后连接AB′，线段AB′的长度即为所求最短距离.
解：
【点评】这个问题的本质是在圆柱的侧面上寻找路线，而圆柱的侧面是一个曲面，在曲面上找到的路线就是曲线，大家目前所掌握的经验不足以求解曲线的长度，那么怎样才能把曲面、曲线的问题转化成平面、线段的问题解决呢？大部分同学在学过简单几何体的展开与折叠内容后自然会联想到去展开圆柱的侧面，这里寻找点B的对应点B′是解决问题的重点也是难点，很多人极易误认为B′是矩形的顶点.突破这一难点的关键是，圆柱侧面展开后，圆柱上、下两底面的圆周长为矩形上、下的两条长边，而点B在展开后是在矩形长边的中点位置.此外，本题得以解决还依赖于这样一个基本事实：两点之间，线段最短.
例4 用7个小正方体堆在水平桌面上，堆出的几何体主视图和左视图如下，则小正方体的堆放共有 种不同方式？
【分析】此题小正方体的个数是固定的，但只有两个视图不能确定小正方体堆放的位置，我们需要寻找堆放的规律.由于满足条件的方式太多，没办法一一列举，我们需要建构解决这类问题的模型.
解：根据主视图和左视图，我们发现俯视图是4×2（长×宽）的矩形，这里标注3的位置，其垂直位置是必须要堆放3个小正方体的，剩下的我们用字母a，b，c，d，e，f，g来表示其垂直位置上小正方体的个数.
然后我们要考虑余下来的4个小正方体如何摆放. 在（a，d）两位置中必须摆放1个，（b，e）两位置中必须摆放1个，（c，g）两位置中必须摆放1个，剩余的1个小正方体在底层留下来的四个空位中任选一个，于是小正方体摆放的方式一共是2×2×2×4=32种.
【点评】此类三视图问题蕴含着构建数学模型、用字母代表数、排列与组合等复杂的数学活动，这是本章“走进图形世界”的难点内容，学有余力的同学，不妨尝试用这样的方法解决类似的题目，肯定能找到解决问题的诀窍，收获成功的喜悦.
同学们看完以上四例，能否很快与相应的数学思想联系起来？用微信扫描二维码，查看你的答案是否正确.
（作者单位：江苏省常州市新北区吕墅中学）