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摘 要：本文介绍了针对农村初中学生数学学习的特点、从初中数学有效教学的实践经验中总结整理出“问题解决、当堂过关”的课堂教学设计。分析了“问题解决、当堂过关”教学设计的五个特征和相应的设计要求。并从实践角度阐述了以删繁就简、动静结合、立竿见影等方式进行教学设计的应用策略。
关键词：问题解决；当堂过关；有效教学
一、“问题解决、当堂过关”的课堂背景
“问题解决、当堂过关”从字面上看更多针对个体教学，为何要在集体教学中关注整体乃至个体的即时困惑，笔者就现今教学背景进行了探究与反思。
（一）教学理论的演变与教学意识的革新
自从班级教学制度形成以来，人们一直在思考如何开发出普遍适用的教学方式（模式）来保持班级教学的高效率。从赫尔巴特学派的五段教学法到凯洛夫的六段教学法，及深受其影响的“组织教学、复习旧课、讲授新课、复习巩固、布置作业——五步教学法”至今仍非常流行。随着“教师中心、教材中心、课堂中心”受到进步主义教育的批判后，有效教学开始朝着建构多元化教学模式的方向发展，人们逐渐重视学生的个体差异，不再以不变的模式适用于所有的课堂和学生。有效教学逐渐关注如何通过教学促进学生个体的学习和发展。
（二）学生的学习状态与能力分析
七年级新生入学几周后，在数学学习上一些问题开始出现。首先是课堂上，一些学生刚进校时的追求上进的激情已有所下降，有些学生开始显露出滥竽充数的状态；还有一部分学生从小学以来学习习惯不好，听课的集中注意力不能持久，在课堂的中期就开始开小差；其次是课后的复习和作业远远达不到教师预先的要求，班里开始出现作业抄袭现象，屡禁不止。这一方面固然是因为学生积习难改，良好的学习习惯一时难以养成。另一方面，学生从小学的语、数为主的作业过渡到语、数、英、科、社五门并重。及内容的难度也有所增加，消耗学生大量课余时间和精力，就算是学习态度较好的学生也有顾此失彼的现象。
针对学生数学学习能力不强，学习自觉性不足，学习时间不多的现实，教师必须要提高课堂教学的效率。经过一段时间的思考，开始从少布置作业到基本不布置每日作业，改为每周一张练习卷，每日的作业尽量在课堂上完成，逐渐形成了“问题解决、当堂过关”的课堂教学设计。
二、“问题解决、当堂过关”教学设计的五个特征
“问题解决、当堂过关”教学设计关注即时课堂教学而促进学生保持和持续良好的学习状态，应具有以下五个特征。
（1）清晰教学。
（2）多样化教学。
（3）任务导向。
（4）引导学生投入学习过程。
（5）确保学生成功率。
这与鲍里奇在《有效教学方法》一书中提到有效教师的五大特征不谋而合。
（一）清晰教学
清晰教学是指教师授课语言应精炼，重点突出，目标清晰，逻辑性强，使学生能按逻辑的顺序逐步理解。
“问题解决、当堂过关”教学设计要求教师在15分钟左右的时间内把课堂的知识点呈现出来，并让学生理解掌握知识点的来源；必然要求教师在课前精心备课，查阅准备一个单元计划，弄清本节课需要哪些先前的学习内容，将来的课时所需的先前学习内容在本节课体现了多少；在讲解必须删繁就简，重点突出，目标清晰。
（二）多样化教学
多样化教学是指用多种方式呈现课程，应用多样化的教学手段授课。
“问题解决、当堂过关”教学设计要求教师在问题阶段使用挑战性的问题吸引学生的注意来开始一堂课；在例题阶段，通过目光接触，热情赞扬，四处走动等鼓励每个学生积极思考发表思路；整个课堂要求教师掌握好通过听讲思考，讨论思考，独立思考，共同反思这些变化的呈现方式来进行的节奏；这样充分锻炼了教师多样化教学的能力。
（三）任务导向
任务导向是指教师授课把多少课堂时间用于教授教学任务规定的学术性学科。
教师教授特定课题的时间越多，学生的学习机会就越多。“问题解决、当堂过关”教学设计模式本身的程序要求教师每一节课都自觉或不自觉的思考一些问题，例如：
1.我讲课、提问用了多少时间？鼓励学生咨询或独立思考又用了多长时间？
2.我组织教学并使学生们做好学习准备用了多长时间？
3.我评估学生行为用了多长时间？
以此并对自己的教学行为作出反思和调整。
（四）引导学生投入学习过程
引导学生投入学习过程是指教师要引导学生主动参加教学活动，不仅仅是增加学生的学习科目的时间，毕竟有时候学生似乎在學习而其实他们很可能正在走神。
“问题解决、当堂过关”教学设计通过步骤的改变，能让教师通过努力较好地让学生积极思考，讨论交流，独立作业而投入学习。
（五）确保学生的成功率
确保学生的成功率意为教师要在有限的时间内，让学生获得更多的发展，在每组教学刺激后，要安排练习或问题讨论，使大多数学生获得成功的体验。
“问题解决、当堂过关”教学设计模式的一个主要特点是它的测试环节和反馈环节，要求和促使教师充分的了解学生掌握学生的学习进展，在此基础上选择和确定合适的测试题以在每一节课的测试中让大多数学生通过努力获得成功的体验。
综上分析，“问题解决、当堂过关”教学设计应具有的五个特征，不仅对教师提出了更高的备课要求和教学要求，同时促进了教师教学能力，让教师成为一个高效的教师，学生具有高效的学习。
三、“问题解决、当堂过关”的操作模式
（二）各环节的分析与说明
（1）问题
步骤1的“问题”可以是当前国内外课程改革中提倡的方式——基于问题的数学学习（PBL）中的真實的或源于生活的问题，如你能说出生活中具有平行线形象的实际例子吗？小杰买了单价为2元和1.2元的贺卡若干张，花了10.8元，问这两种贺卡各买了多少张等；但更多的是因为数学学科的特殊性——数学不同科学等研究的是现实生活的真实问题，数学学科比较依赖逻辑推理，提出的问题是为学科知识服务的。但是教师在对每一课的教学内容进行深入思考后提出的问题是简洁的，有针对性的，统领性的，在解决问题的过程中和问题解决后得出的结论中都蕴含着课堂学习的目标和要求。 例如：
在学习《二元一次方程》这一节，先回忆什么是一元一次方程。提出问题：是否仿照一元一次方程来定义二元一次方程？
在学习《平行线判定》时提出问题：平行于同一条直线的两条直线一定平行吗？垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗？如果在同一平面内呢？
（2）例题
步骤2的例题的讲解不同于传统的教师为主讲，而是学生自由发表思路，教师在学生出现困难冷场时加以点拨，或者在学生共同完成后，对其疏忽之处加以提醒或提示更簡洁的方法，最后做好解题思路的总结。
（3）测试
步骤3的测试题由易到难，有直接应用公式结论或概念的认知，有例题的模仿，也有需要综合知识点或灵活应用结论的思考题。适应不同层次的学生的学习需求。测试题用多媒体或导学案给出，可以控制每个题的答题时间，也方便教师根据上课具体情况对测试题作出取舍。
（4）反馈
步骤4的反馈成绩以10分为满分，做好记录，作为学期总评分中的平时分（30%）评分依据。测试题做在学校定制的活页作业纸上，方便学生互相批改，也易于学生整理保存。
根据课堂具体情况，步骤4反馈可以放到下一节课的步骤1之前去；若内容较多，步骤3测试来不及进行，也可以放到下一节课进行。
课后的习题精选后分配在例题和测试题中，课后一般不布置作业。作为作业补充，每周一张练习卷，内容为本周4课时的知识点，在上一周周五或本周周一发放，在本周五或下一周周一上交。
教学实例：
内容：浙教版七年级下册62-63页《同底数幂的乘法》第一课时
步骤1：问题的提出和解答。
教师准备好测试卷和彩色粉笔。
师：光年是长度单位，1光年是指光经过一年所行的距离，光的速度大约是3×105km/s，若一年以365天计算，则1光年大约是多少千米？
生：100×365×24×60×60×3×105
师：根据乘方的意义，以及有理数的乘法，请完成下列问题：
（1）23×22是多少个2相乘？
23×22=（2×2×2）×（2×2）==2（）=2（）+（）
生：2×2×2×2×2，5，3，2
师：（2）102×105=（）×（）==10（）=10（）+（）
生：10×10，10×10×10×10×10，10×10×10×10×10×10×10，7，2，5
师：（3）a4·a3=（）·（）==a（）=a（）+（）
生：a·a·a·a，a·a·a，a·a·a·a·a·a·a，7，4，3。
师：am·an=（）（）==a（）+（）
生：（4）a·a·...·a（共m个），a·a·...·a（共n个），a·a·...·a（共m+n个），m，n
师：这样我们就得到同底数幂的乘法法则了，谁来总结一下？
生：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。am·an=am+n（m，n都是正整数）
设计意图：
从学生感兴趣的问题出发，吸引学生的注意力，通过问答让学生自己形成和得出同底数幂相乘的法则，而不是教师直接给出定义；通过问题的分析，引导学生不知不觉中抓住了课堂的重点：明确同底数幂相乘的关键是底数不变，指数相加。问题由易到难，也符合学生的认知规律。
步骤2：例题解答
例题1：计算下列各式，结果用幂的形式表示。
（1）78×73 （2）（-2）8×（-2）7 （3）64×6
（4）x3·x5 （5）32×（-3）5 （6）（a-b）2·（a-b）3
解答过程；
师：第（1）能否直接用法则？底数是多少？指数分别是多少和多少？结果是多少？
生A：能，底数是7，指数分别是8和3，结果是711
师：第（2）题底数相同吗？是多少？结果等于多少？注意什么问题？
生B：相同，是-2，结果等于（-2）15
师：（-2）15还能化吗？
生B：有点不知所措。
师：负数的奇次幂是什么数？负数的偶次幂是什么数？所以（-2）15还可以怎样化？
生B：负数，正数。-215。
师：第（3）题底数是多少？指数分别是多少？
生C：底数是6，指数分别是4和0。
师：第二个6上面没标出指数是0吗？什么指数省略不写？
生C：第二个6上的指数不是0，应该是1。算出结果应该等于65。
师：第（5）题的底数是什么？能否直接用公式来做？如果不能，能不能把底数化成相同？
生D：底数分别是3和-3，不能直接用公式，（化相同不知怎么化）
师：有谁能化吗？
生E：可以把32化成（-3）2，因为他们相等。这样两个底数都是-3，就可以用公式了。
师：非常棒！能不能把-3化成3？（教师展示化的过程）
师：（6）小题与前面几道有什么不同？怎么解决？
生F：前面几道的底数是数或字母，而第（6）小题的底数是多项式。只要把a-b看成整体不动即可，所以結果应该等于（a-b）5。
设计意图和课后反思：
例题通过对同底数的各种类型题型的举例，让学生更灵活的学会运用法则和公式。题目的设计也由浅入深，让学生易于理解与接受。当底数相同时，学生易接受，但当底数是互为相反数时，需要转化为同底数，当底数是字母且是多项式时，学生就很会出错。如（a-b）5·（b-a）6，所以老师在上课时一定要有意的安排有梯度的问题，让学生学得顺理成章。不会感到生硬。 步骤3：测试
1.运用同底数幂的乘法法则计算下列各式，并用幂的形式表示结果（每题10分）分
（1）3×35
（2）104×105
（3）（-3）3×（-3）2
（4）am·an·ak
（5）（5）（-5）2×（-5）3×（-5）4
（6）（x+y）3（x+y）
（7）（7）（-11）4×11
（8）74×（-7）3
（9）（x+y）3（y+x）
（10）（x-y）3（y-x）2
設计意图：
本节的重点是学会用同底数幂相乘的公式来计算，所以①、②、③、④、⑤、⑥都是直接用公式来做，保证绝大部分学生拿60分不成问题。而这节课的难点是把底数是互为相反数的要化为同底数。又从学生所熟悉的数字入手安排⑦和⑧让中等学生也能拿到这20分。而字母出现是学生能用加法交换律，所以第⑨学生也不会感到难，而第⑩的转化是让优生有用武之地，同时让中等生感到挑战，也会注重分析时的实效性。
2.若b>0，且bx=4，by=5，求bx+y的值。（20分）
设计意图：
这是一道附加题，设计的目的是一方面为了让优生不至于基础题做好没事做闲着等后进生。从而更大限度的利用好各类学生的上课时间。同时这题具有逆向思维的能力培养，是优生学习数学的一种很重要的能力，让他们也感到有一定的挑战性。
四、“问题解决、当堂过关”教学设计的应用策略
（一）以“删繁就简”的教学方式帮助学生迅速理解知识结构
“开门见山”、“删繁就简三秋树”，如果把数学教学内容比喻成一棵树的话，教师组织教学就是和学生一起把握这棵树。从枝叶到树干或者从树干到枝叶都是可行的教学设计方法。
实践表明农村初中的学生很容易从枝叶扯到天空中去而不是逐渐去把握树干。把教学主体知识放在课堂教学开始后的十多分钟以后，他们的注意力集中时间差不多耗尽了。因此“开门见山”是上选，到课堂教学开始15分钟时（第一时间段结束）宣布“课程内容结束”，学生的注意力集中程度还是令人满意的。这也同时要求教师在课前花费更多的时间和精力去备课，找出一堂课的“树干”在那里？是什么？怎样根据学生的水平和思维特点去讲解？至于“枝叶”问题，可以在例题和测试中提及和补充。
教学实例：
教学内容：《同底数幂的乘法》（见上面具体案例）
设计思路：
在这节课上，“删繁就简”理解同底数幂的法则的数字到字母的简单推导过程，从而马上例题是应用同底数幂乘法的法则和公式，紧紧抓住同底数幂乘法法则这一“树干”。然后通过例题和测试使“枝叶”逐渐丰满。根据学生的水平，在本节课不再插入有关文字题的理解与计算，书本中的例2：我国“天河南1A”超级计算机的实测运算速度达到每秒2.566千万亿次，如果按这个速度工作一整天，那么它能运算多少次？这节课就可以不提及，也不是这节课的重点，因为对家村大部分学生来说文字理解就有很大困难。所以就应果断的删除。
（二）以动静结合的课堂节奏帮助学生调节思维疲劳
学生上课注意力不集中是学不好数学的重要因素之一，也是教师最头痛的现象。然而排除教师授课方式不佳，学生主观上不重视等因素外，更有心理学上的深层次的原因。心理学研究表明，成人注意力完全集中的持续时间不会超过20分钟。你会不承认这一点是因为你自己都无法觉察到自己开小差了，开小差的时间大概只有几秒或不到一秒。因此和学生交谈问他为何课堂上经常开小差，他会回答他自己也不知道为什么或回答无法控制自己。农村初中的学生更甚，他们在小学缺乏集中注意力的训练，在集中注意力这一点上，他们很幼稚。
“问题解决，当堂过关”的课堂设计把课堂40分钟分成了四块时间段：第一时间段要求学生静下心集中注意力，积极思考。而第二时间段和教师一起解决例题时，可以在座位上大声发表见解或和旁边同学讨论思路，由静而动；第三时间段又要求独立完成测试，由动到静；最后第四时间段，批改试卷时又相对“自由”的由静到动。这样整个课堂动静结合，既达到了课堂集中注意力的要求，又给了忍不住要开小差的学生一定的“机会”。
（三）以“立竿见影”式的课堂反馈激励学生持续学习
初中学生没有高中学生的懂事和意志，学习数学的积极性一方面在于教师讲课是否生动有趣吸引他们的注意力，另一方面在于他们是否能在课堂上找到成功感。
虽然多数学生小学高年级阶段就对数学学习充满失败感，但是进入初中后，他们仍会努力和尝试一段时间。由于他们薄弱的数学基础和普遍缺少持续学习的耐力，所以他们中的大多数同学很容易在单元测试和学期测试遭受挫败。他们更需要的是教师的认可和不断地鼓励，需要每次课堂上都能获得“立竿见影”式的“回报”。
“问题解决，当堂过关”中的当堂测试和反馈环节较好地符合了学生的心理特点。因为每节课测试题都有很强的针对性和明显的梯度，只要学生认真上好一堂课的前半部分，他们通常能在测试中取得自己满意的成绩。及时反馈还体现在课堂的各个时段之间的衔接上：学生如果认真听了第一时间段的内容，就在第二时间段拥有发言权；第二时间段认真听课，则测试就有会有满意的成绩；在反馈阶段就会拥有成功感。
因为测试的梯度明显，班级里数学较好的学生也有机会展现他们的长处，各个层次的学生都有努力的余地，都能在课堂上体会到自己的优势，体会成功感，提高学习的积极性。
总之教学设计应充分体现学生为主体，一切重在因材施教、因势利導、应生而变。
参考文献：
[1]《数学教育学导论》张奠宙，李士錡，李俊编著，高等教育出版社
[2]《有效教学方法》（第四版）[美]加里·D.鲍里奇，江苏教育出版社
[3]《数学教育中的建构主义：一个哲学的审视》谢明初著，华东师范大学出版社
[4]《数学》范良火，浙江教育出版社
关键词：问题解决；当堂过关；有效教学
一、“问题解决、当堂过关”的课堂背景
“问题解决、当堂过关”从字面上看更多针对个体教学，为何要在集体教学中关注整体乃至个体的即时困惑，笔者就现今教学背景进行了探究与反思。
（一）教学理论的演变与教学意识的革新
自从班级教学制度形成以来，人们一直在思考如何开发出普遍适用的教学方式（模式）来保持班级教学的高效率。从赫尔巴特学派的五段教学法到凯洛夫的六段教学法，及深受其影响的“组织教学、复习旧课、讲授新课、复习巩固、布置作业——五步教学法”至今仍非常流行。随着“教师中心、教材中心、课堂中心”受到进步主义教育的批判后，有效教学开始朝着建构多元化教学模式的方向发展，人们逐渐重视学生的个体差异，不再以不变的模式适用于所有的课堂和学生。有效教学逐渐关注如何通过教学促进学生个体的学习和发展。
（二）学生的学习状态与能力分析
七年级新生入学几周后，在数学学习上一些问题开始出现。首先是课堂上，一些学生刚进校时的追求上进的激情已有所下降，有些学生开始显露出滥竽充数的状态；还有一部分学生从小学以来学习习惯不好，听课的集中注意力不能持久，在课堂的中期就开始开小差；其次是课后的复习和作业远远达不到教师预先的要求，班里开始出现作业抄袭现象，屡禁不止。这一方面固然是因为学生积习难改，良好的学习习惯一时难以养成。另一方面，学生从小学的语、数为主的作业过渡到语、数、英、科、社五门并重。及内容的难度也有所增加，消耗学生大量课余时间和精力，就算是学习态度较好的学生也有顾此失彼的现象。
针对学生数学学习能力不强，学习自觉性不足，学习时间不多的现实，教师必须要提高课堂教学的效率。经过一段时间的思考，开始从少布置作业到基本不布置每日作业，改为每周一张练习卷，每日的作业尽量在课堂上完成，逐渐形成了“问题解决、当堂过关”的课堂教学设计。
二、“问题解决、当堂过关”教学设计的五个特征
“问题解决、当堂过关”教学设计关注即时课堂教学而促进学生保持和持续良好的学习状态，应具有以下五个特征。
（1）清晰教学。
（2）多样化教学。
（3）任务导向。
（4）引导学生投入学习过程。
（5）确保学生成功率。
这与鲍里奇在《有效教学方法》一书中提到有效教师的五大特征不谋而合。
（一）清晰教学
清晰教学是指教师授课语言应精炼，重点突出，目标清晰，逻辑性强，使学生能按逻辑的顺序逐步理解。
“问题解决、当堂过关”教学设计要求教师在15分钟左右的时间内把课堂的知识点呈现出来，并让学生理解掌握知识点的来源；必然要求教师在课前精心备课，查阅准备一个单元计划，弄清本节课需要哪些先前的学习内容，将来的课时所需的先前学习内容在本节课体现了多少；在讲解必须删繁就简，重点突出，目标清晰。
（二）多样化教学
多样化教学是指用多种方式呈现课程，应用多样化的教学手段授课。
“问题解决、当堂过关”教学设计要求教师在问题阶段使用挑战性的问题吸引学生的注意来开始一堂课；在例题阶段，通过目光接触，热情赞扬，四处走动等鼓励每个学生积极思考发表思路；整个课堂要求教师掌握好通过听讲思考，讨论思考，独立思考，共同反思这些变化的呈现方式来进行的节奏；这样充分锻炼了教师多样化教学的能力。
（三）任务导向
任务导向是指教师授课把多少课堂时间用于教授教学任务规定的学术性学科。
教师教授特定课题的时间越多，学生的学习机会就越多。“问题解决、当堂过关”教学设计模式本身的程序要求教师每一节课都自觉或不自觉的思考一些问题，例如：
1.我讲课、提问用了多少时间？鼓励学生咨询或独立思考又用了多长时间？
2.我组织教学并使学生们做好学习准备用了多长时间？
3.我评估学生行为用了多长时间？
以此并对自己的教学行为作出反思和调整。
（四）引导学生投入学习过程
引导学生投入学习过程是指教师要引导学生主动参加教学活动，不仅仅是增加学生的学习科目的时间，毕竟有时候学生似乎在學习而其实他们很可能正在走神。
“问题解决、当堂过关”教学设计通过步骤的改变，能让教师通过努力较好地让学生积极思考，讨论交流，独立作业而投入学习。
（五）确保学生的成功率
确保学生的成功率意为教师要在有限的时间内，让学生获得更多的发展，在每组教学刺激后，要安排练习或问题讨论，使大多数学生获得成功的体验。
“问题解决、当堂过关”教学设计模式的一个主要特点是它的测试环节和反馈环节，要求和促使教师充分的了解学生掌握学生的学习进展，在此基础上选择和确定合适的测试题以在每一节课的测试中让大多数学生通过努力获得成功的体验。
综上分析，“问题解决、当堂过关”教学设计应具有的五个特征，不仅对教师提出了更高的备课要求和教学要求，同时促进了教师教学能力，让教师成为一个高效的教师，学生具有高效的学习。
三、“问题解决、当堂过关”的操作模式
（二）各环节的分析与说明
（1）问题
步骤1的“问题”可以是当前国内外课程改革中提倡的方式——基于问题的数学学习（PBL）中的真實的或源于生活的问题，如你能说出生活中具有平行线形象的实际例子吗？小杰买了单价为2元和1.2元的贺卡若干张，花了10.8元，问这两种贺卡各买了多少张等；但更多的是因为数学学科的特殊性——数学不同科学等研究的是现实生活的真实问题，数学学科比较依赖逻辑推理，提出的问题是为学科知识服务的。但是教师在对每一课的教学内容进行深入思考后提出的问题是简洁的，有针对性的，统领性的，在解决问题的过程中和问题解决后得出的结论中都蕴含着课堂学习的目标和要求。 例如：
在学习《二元一次方程》这一节，先回忆什么是一元一次方程。提出问题：是否仿照一元一次方程来定义二元一次方程？
在学习《平行线判定》时提出问题：平行于同一条直线的两条直线一定平行吗？垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗？如果在同一平面内呢？
（2）例题
步骤2的例题的讲解不同于传统的教师为主讲，而是学生自由发表思路，教师在学生出现困难冷场时加以点拨，或者在学生共同完成后，对其疏忽之处加以提醒或提示更簡洁的方法，最后做好解题思路的总结。
（3）测试
步骤3的测试题由易到难，有直接应用公式结论或概念的认知，有例题的模仿，也有需要综合知识点或灵活应用结论的思考题。适应不同层次的学生的学习需求。测试题用多媒体或导学案给出，可以控制每个题的答题时间，也方便教师根据上课具体情况对测试题作出取舍。
（4）反馈
步骤4的反馈成绩以10分为满分，做好记录，作为学期总评分中的平时分（30%）评分依据。测试题做在学校定制的活页作业纸上，方便学生互相批改，也易于学生整理保存。
根据课堂具体情况，步骤4反馈可以放到下一节课的步骤1之前去；若内容较多，步骤3测试来不及进行，也可以放到下一节课进行。
课后的习题精选后分配在例题和测试题中，课后一般不布置作业。作为作业补充，每周一张练习卷，内容为本周4课时的知识点，在上一周周五或本周周一发放，在本周五或下一周周一上交。
教学实例：
内容：浙教版七年级下册62-63页《同底数幂的乘法》第一课时
步骤1：问题的提出和解答。
教师准备好测试卷和彩色粉笔。
师：光年是长度单位，1光年是指光经过一年所行的距离，光的速度大约是3×105km/s，若一年以365天计算，则1光年大约是多少千米？
生：100×365×24×60×60×3×105
师：根据乘方的意义，以及有理数的乘法，请完成下列问题：
（1）23×22是多少个2相乘？
23×22=（2×2×2）×（2×2）==2（）=2（）+（）
生：2×2×2×2×2，5，3，2
师：（2）102×105=（）×（）==10（）=10（）+（）
生：10×10，10×10×10×10×10，10×10×10×10×10×10×10，7，2，5
师：（3）a4·a3=（）·（）==a（）=a（）+（）
生：a·a·a·a，a·a·a，a·a·a·a·a·a·a，7，4，3。
师：am·an=（）（）==a（）+（）
生：（4）a·a·...·a（共m个），a·a·...·a（共n个），a·a·...·a（共m+n个），m，n
师：这样我们就得到同底数幂的乘法法则了，谁来总结一下？
生：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。am·an=am+n（m，n都是正整数）
设计意图：
从学生感兴趣的问题出发，吸引学生的注意力，通过问答让学生自己形成和得出同底数幂相乘的法则，而不是教师直接给出定义；通过问题的分析，引导学生不知不觉中抓住了课堂的重点：明确同底数幂相乘的关键是底数不变，指数相加。问题由易到难，也符合学生的认知规律。
步骤2：例题解答
例题1：计算下列各式，结果用幂的形式表示。
（1）78×73 （2）（-2）8×（-2）7 （3）64×6
（4）x3·x5 （5）32×（-3）5 （6）（a-b）2·（a-b）3
解答过程；
师：第（1）能否直接用法则？底数是多少？指数分别是多少和多少？结果是多少？
生A：能，底数是7，指数分别是8和3，结果是711
师：第（2）题底数相同吗？是多少？结果等于多少？注意什么问题？
生B：相同，是-2，结果等于（-2）15
师：（-2）15还能化吗？
生B：有点不知所措。
师：负数的奇次幂是什么数？负数的偶次幂是什么数？所以（-2）15还可以怎样化？
生B：负数，正数。-215。
师：第（3）题底数是多少？指数分别是多少？
生C：底数是6，指数分别是4和0。
师：第二个6上面没标出指数是0吗？什么指数省略不写？
生C：第二个6上的指数不是0，应该是1。算出结果应该等于65。
师：第（5）题的底数是什么？能否直接用公式来做？如果不能，能不能把底数化成相同？
生D：底数分别是3和-3，不能直接用公式，（化相同不知怎么化）
师：有谁能化吗？
生E：可以把32化成（-3）2，因为他们相等。这样两个底数都是-3，就可以用公式了。
师：非常棒！能不能把-3化成3？（教师展示化的过程）
师：（6）小题与前面几道有什么不同？怎么解决？
生F：前面几道的底数是数或字母，而第（6）小题的底数是多项式。只要把a-b看成整体不动即可，所以結果应该等于（a-b）5。
设计意图和课后反思：
例题通过对同底数的各种类型题型的举例，让学生更灵活的学会运用法则和公式。题目的设计也由浅入深，让学生易于理解与接受。当底数相同时，学生易接受，但当底数是互为相反数时，需要转化为同底数，当底数是字母且是多项式时，学生就很会出错。如（a-b）5·（b-a）6，所以老师在上课时一定要有意的安排有梯度的问题，让学生学得顺理成章。不会感到生硬。 步骤3：测试
1.运用同底数幂的乘法法则计算下列各式，并用幂的形式表示结果（每题10分）分
（1）3×35
（2）104×105
（3）（-3）3×（-3）2
（4）am·an·ak
（5）（5）（-5）2×（-5）3×（-5）4
（6）（x+y）3（x+y）
（7）（7）（-11）4×11
（8）74×（-7）3
（9）（x+y）3（y+x）
（10）（x-y）3（y-x）2
設计意图：
本节的重点是学会用同底数幂相乘的公式来计算，所以①、②、③、④、⑤、⑥都是直接用公式来做，保证绝大部分学生拿60分不成问题。而这节课的难点是把底数是互为相反数的要化为同底数。又从学生所熟悉的数字入手安排⑦和⑧让中等学生也能拿到这20分。而字母出现是学生能用加法交换律，所以第⑨学生也不会感到难，而第⑩的转化是让优生有用武之地，同时让中等生感到挑战，也会注重分析时的实效性。
2.若b>0，且bx=4，by=5，求bx+y的值。（20分）
设计意图：
这是一道附加题，设计的目的是一方面为了让优生不至于基础题做好没事做闲着等后进生。从而更大限度的利用好各类学生的上课时间。同时这题具有逆向思维的能力培养，是优生学习数学的一种很重要的能力，让他们也感到有一定的挑战性。
四、“问题解决、当堂过关”教学设计的应用策略
（一）以“删繁就简”的教学方式帮助学生迅速理解知识结构
“开门见山”、“删繁就简三秋树”，如果把数学教学内容比喻成一棵树的话，教师组织教学就是和学生一起把握这棵树。从枝叶到树干或者从树干到枝叶都是可行的教学设计方法。
实践表明农村初中的学生很容易从枝叶扯到天空中去而不是逐渐去把握树干。把教学主体知识放在课堂教学开始后的十多分钟以后，他们的注意力集中时间差不多耗尽了。因此“开门见山”是上选，到课堂教学开始15分钟时（第一时间段结束）宣布“课程内容结束”，学生的注意力集中程度还是令人满意的。这也同时要求教师在课前花费更多的时间和精力去备课，找出一堂课的“树干”在那里？是什么？怎样根据学生的水平和思维特点去讲解？至于“枝叶”问题，可以在例题和测试中提及和补充。
教学实例：
教学内容：《同底数幂的乘法》（见上面具体案例）
设计思路：
在这节课上，“删繁就简”理解同底数幂的法则的数字到字母的简单推导过程，从而马上例题是应用同底数幂乘法的法则和公式，紧紧抓住同底数幂乘法法则这一“树干”。然后通过例题和测试使“枝叶”逐渐丰满。根据学生的水平，在本节课不再插入有关文字题的理解与计算，书本中的例2：我国“天河南1A”超级计算机的实测运算速度达到每秒2.566千万亿次，如果按这个速度工作一整天，那么它能运算多少次？这节课就可以不提及，也不是这节课的重点，因为对家村大部分学生来说文字理解就有很大困难。所以就应果断的删除。
（二）以动静结合的课堂节奏帮助学生调节思维疲劳
学生上课注意力不集中是学不好数学的重要因素之一，也是教师最头痛的现象。然而排除教师授课方式不佳，学生主观上不重视等因素外，更有心理学上的深层次的原因。心理学研究表明，成人注意力完全集中的持续时间不会超过20分钟。你会不承认这一点是因为你自己都无法觉察到自己开小差了，开小差的时间大概只有几秒或不到一秒。因此和学生交谈问他为何课堂上经常开小差，他会回答他自己也不知道为什么或回答无法控制自己。农村初中的学生更甚，他们在小学缺乏集中注意力的训练，在集中注意力这一点上，他们很幼稚。
“问题解决，当堂过关”的课堂设计把课堂40分钟分成了四块时间段：第一时间段要求学生静下心集中注意力，积极思考。而第二时间段和教师一起解决例题时，可以在座位上大声发表见解或和旁边同学讨论思路，由静而动；第三时间段又要求独立完成测试，由动到静；最后第四时间段，批改试卷时又相对“自由”的由静到动。这样整个课堂动静结合，既达到了课堂集中注意力的要求，又给了忍不住要开小差的学生一定的“机会”。
（三）以“立竿见影”式的课堂反馈激励学生持续学习
初中学生没有高中学生的懂事和意志，学习数学的积极性一方面在于教师讲课是否生动有趣吸引他们的注意力，另一方面在于他们是否能在课堂上找到成功感。
虽然多数学生小学高年级阶段就对数学学习充满失败感，但是进入初中后，他们仍会努力和尝试一段时间。由于他们薄弱的数学基础和普遍缺少持续学习的耐力，所以他们中的大多数同学很容易在单元测试和学期测试遭受挫败。他们更需要的是教师的认可和不断地鼓励，需要每次课堂上都能获得“立竿见影”式的“回报”。
“问题解决，当堂过关”中的当堂测试和反馈环节较好地符合了学生的心理特点。因为每节课测试题都有很强的针对性和明显的梯度，只要学生认真上好一堂课的前半部分，他们通常能在测试中取得自己满意的成绩。及时反馈还体现在课堂的各个时段之间的衔接上：学生如果认真听了第一时间段的内容，就在第二时间段拥有发言权；第二时间段认真听课，则测试就有会有满意的成绩；在反馈阶段就会拥有成功感。
因为测试的梯度明显，班级里数学较好的学生也有机会展现他们的长处，各个层次的学生都有努力的余地，都能在课堂上体会到自己的优势，体会成功感，提高学习的积极性。
总之教学设计应充分体现学生为主体，一切重在因材施教、因势利導、应生而变。
参考文献：
[1]《数学教育学导论》张奠宙，李士錡，李俊编著，高等教育出版社
[2]《有效教学方法》（第四版）[美]加里·D.鲍里奇，江苏教育出版社
[3]《数学教育中的建构主义：一个哲学的审视》谢明初著，华东师范大学出版社
[4]《数学》范良火，浙江教育出版社