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类比法是从特殊到特殊的推理，在归纳、演绎、类比这三种逻辑推理中，类比是富有创造性的一种方法。运用类比法的时候，研究对象范围内没有相应的一般原理，因而不受现成原理的约束，相反，它可以在更广泛的范围中提供种种可能的新原理，供人们去探索和验证，因此从本质上讲，类比法是一种发现探究的方法而不是验证的方法。数学家G•波利亚说：“类比是一个伟大的引路人。”在数学的教学与研究中，类比是进行合情推理的一种非常重要的思维方法。在我们平时的学习与生活中处处充满着类比，可以说，类比是探索问题、解决问题与发现新结果的一种卓有成效的思维方法。在数学研究中，类比是发现概念、方法、定理和公式的重要手段，也是开拓新领域和创造数学新分支的重要途径。学生在数学的学习中应该学会运用这种独特的思维方法，教师在教学过程中则应努力培养学生运用类比方法进行合情推理的能力。
一、在新授课教学中运用类比方法，培养学生思维的创造性
在数学教材中，很多新知识都是在原有知识的基础上发展而来的，因而在这些新知识中多少都会带有旧知识的痕迹。在新授课时，通过对旧知识的回忆类比给学生创造“最佳思维环境”可以使学生猜想出新授知识的内容、结构、研究思想与方法，激发学习的积极性，变被动听课为主动探究。
在数学的立体几何部分教学中，许多概念、公理、定理都可以与平面几何中的相近内容进行类比。如讲授空间的两直线的位置关系时，首先启发学生回顾平面内两条直线的位置关系进行类比联想：先由平面中两条直线的位置关系：平行或相交。设问：空间中两条直线的位置关系是否也是只有平行与相交两种呢？然后出示教具让学生通过观察进行联想、类比，引出异面直线的定义，归纳出空间直线的位置关系：相交、平行、异面。讲授二面角时，先回顾初中平面几何中角的概念、表示方法，进行类比联想：平面内从一点出发的两条射线组成的图形叫做角。在空间如何定义两个平面相交形成的“角”呢？然后利用图形进行观察、类比，引出二面角的定义、表示方法。虽然这样类比的结论不完全正确，但它却教会了学生一种探索问题的方法，这也正是目前我们要把学生从“学会”转化为“会学”的一种有益的尝试和手段。
二、运用类比方法温故知新
类比是从旧知识推出新知识的一种思考方法，也是人们联想的思维工具。在学习数学的立体几何部分时，对出现的新问题与平面几何的有关知识进行类比，大胆猜想，可以发现新知识，从而温故知新。如在学习三棱锥的体积时，教师应引导学生与三角形的面积进行类比：因为三角形的底边长a对应三棱锥的底面积S，三角形底边上的高h对应三棱锥的底面S上的高H，而二维空间里的三角形的面积公式A= ah，所以由类比方法推测，三维空间里的三棱锥的体积应为v= SH；正三角形的内心把高分成2∶1，可以与正四面体内切球的球心把高分成3∶1进行类比；证明三角形面积公式可以把三角形补成一个平行四边形，三角形的面积是平行四边形的面积的一半；类似的，要求三棱锥的体积，应把它补全成一个三棱柱，然后分割成三个等体积的三棱锥，这就是课本上的方法。如果我们教师运用类比的方法引导学生进行思考，那么他们对这种方法的理解就会毫无困难。另外，梯形的中位线公式L= （a+b）可以与台体的中截面面积公式S = （S +S ）进行类比，这样可以加深学生的记忆。
三、通过类比发现解题的思维方法
类比不仅是一种从特殊到特殊的推理方法，还是一种探索解题思路、猜测问题答案或结论的一种有效的方法。这对数学教学中培养学生的创新能力和创造性思维能力有着极其重要的作用，教学中应引起足够的重视。如下两例就是通过类比发现解题思路的思维方法。
1.在数学的立体几何部分教学中，有这样的一个问题曾难倒了许多学生：“求证正四面体A—BCD内的任意一点P到各个面的距离之和等于常数。”其实，只要与平面几何的问题类比：“求证等边三角形内的任意一点P到三角形的三边的距离之和等于常数。”由于平面几何中该命题的证明可采用“面积法”，类似的，这个立体几何问题应采用“体积法”，于是问题迎刃而解。
2.当我们遇到一个较为生疏的难题而又无从下手的时候，如果能从构造一个类似的熟悉问题的解答过程中得到启发，那么就很有可能悟出原问题的解法。下面的这个问题是非常典型的：“设A={1，2，3，4，5}，B={6，7，8}从A到B的映射中，满足：f（1）≤f（2）≤f（3）≤f（4）≤f（5）的映射一共有多少个？”乍看起来，有些学生感到这个问题好像无从下手。你见过一个类似的问题吗？启发学生进行对比联想：“方程x+y+z+u=100总共有多少组正整数解？”这个问题你是怎么解决的？立即有学生想到：相当于用三块隔板将100个排成一列的相同的小球分成四部分，每部分至少有一个球，有多少种方法？显然是有C种方法。由此，从A到B的映射，共分为三类：①五对一的映射有C个。②五对二的映射，先把1、2、3、4、5用隔板分成两部分，这两部分而分别与6、7、8中选出两个元素对应，共有CC个。③五对三的映射，先1、2、3、4、5用两块板分成三部分，分别对应6、7、8三个元素，共有CC个。因此这样的映射总共有21个，问题获解。
数学发展史上大胆的、令人惊奇的类比，天天在进行着：曲与直的类比，有限与无限的类比，数与式的类比，数与形的类比，平面与空间的类比……一般来说，差别愈大的对象间的类比，风险也愈大，那么，自然地导致重大发现的可能性也愈大。在数学教学中，如果能够灵活地运用类比，从而使学生也会运用类比，将会对学生学习数学、运用数学解决实际问题乃至学生的思维方式产生深远的影响。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
一、在新授课教学中运用类比方法，培养学生思维的创造性
在数学教材中，很多新知识都是在原有知识的基础上发展而来的，因而在这些新知识中多少都会带有旧知识的痕迹。在新授课时，通过对旧知识的回忆类比给学生创造“最佳思维环境”可以使学生猜想出新授知识的内容、结构、研究思想与方法，激发学习的积极性，变被动听课为主动探究。
在数学的立体几何部分教学中，许多概念、公理、定理都可以与平面几何中的相近内容进行类比。如讲授空间的两直线的位置关系时，首先启发学生回顾平面内两条直线的位置关系进行类比联想：先由平面中两条直线的位置关系：平行或相交。设问：空间中两条直线的位置关系是否也是只有平行与相交两种呢？然后出示教具让学生通过观察进行联想、类比，引出异面直线的定义，归纳出空间直线的位置关系：相交、平行、异面。讲授二面角时，先回顾初中平面几何中角的概念、表示方法，进行类比联想：平面内从一点出发的两条射线组成的图形叫做角。在空间如何定义两个平面相交形成的“角”呢？然后利用图形进行观察、类比，引出二面角的定义、表示方法。虽然这样类比的结论不完全正确，但它却教会了学生一种探索问题的方法，这也正是目前我们要把学生从“学会”转化为“会学”的一种有益的尝试和手段。
二、运用类比方法温故知新
类比是从旧知识推出新知识的一种思考方法，也是人们联想的思维工具。在学习数学的立体几何部分时，对出现的新问题与平面几何的有关知识进行类比，大胆猜想，可以发现新知识，从而温故知新。如在学习三棱锥的体积时，教师应引导学生与三角形的面积进行类比：因为三角形的底边长a对应三棱锥的底面积S，三角形底边上的高h对应三棱锥的底面S上的高H，而二维空间里的三角形的面积公式A= ah，所以由类比方法推测，三维空间里的三棱锥的体积应为v= SH；正三角形的内心把高分成2∶1，可以与正四面体内切球的球心把高分成3∶1进行类比；证明三角形面积公式可以把三角形补成一个平行四边形，三角形的面积是平行四边形的面积的一半；类似的，要求三棱锥的体积，应把它补全成一个三棱柱，然后分割成三个等体积的三棱锥，这就是课本上的方法。如果我们教师运用类比的方法引导学生进行思考，那么他们对这种方法的理解就会毫无困难。另外，梯形的中位线公式L= （a+b）可以与台体的中截面面积公式S = （S +S ）进行类比，这样可以加深学生的记忆。
三、通过类比发现解题的思维方法
类比不仅是一种从特殊到特殊的推理方法，还是一种探索解题思路、猜测问题答案或结论的一种有效的方法。这对数学教学中培养学生的创新能力和创造性思维能力有着极其重要的作用，教学中应引起足够的重视。如下两例就是通过类比发现解题思路的思维方法。
1.在数学的立体几何部分教学中，有这样的一个问题曾难倒了许多学生：“求证正四面体A—BCD内的任意一点P到各个面的距离之和等于常数。”其实，只要与平面几何的问题类比：“求证等边三角形内的任意一点P到三角形的三边的距离之和等于常数。”由于平面几何中该命题的证明可采用“面积法”，类似的，这个立体几何问题应采用“体积法”，于是问题迎刃而解。
2.当我们遇到一个较为生疏的难题而又无从下手的时候，如果能从构造一个类似的熟悉问题的解答过程中得到启发，那么就很有可能悟出原问题的解法。下面的这个问题是非常典型的：“设A={1，2，3，4，5}，B={6，7，8}从A到B的映射中，满足：f（1）≤f（2）≤f（3）≤f（4）≤f（5）的映射一共有多少个？”乍看起来，有些学生感到这个问题好像无从下手。你见过一个类似的问题吗？启发学生进行对比联想：“方程x+y+z+u=100总共有多少组正整数解？”这个问题你是怎么解决的？立即有学生想到：相当于用三块隔板将100个排成一列的相同的小球分成四部分，每部分至少有一个球，有多少种方法？显然是有C种方法。由此，从A到B的映射，共分为三类：①五对一的映射有C个。②五对二的映射，先把1、2、3、4、5用隔板分成两部分，这两部分而分别与6、7、8中选出两个元素对应，共有CC个。③五对三的映射，先1、2、3、4、5用两块板分成三部分，分别对应6、7、8三个元素，共有CC个。因此这样的映射总共有21个，问题获解。
数学发展史上大胆的、令人惊奇的类比，天天在进行着：曲与直的类比，有限与无限的类比，数与式的类比，数与形的类比，平面与空间的类比……一般来说，差别愈大的对象间的类比，风险也愈大，那么，自然地导致重大发现的可能性也愈大。在数学教学中，如果能够灵活地运用类比，从而使学生也会运用类比，将会对学生学习数学、运用数学解决实际问题乃至学生的思维方式产生深远的影响。
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