论文部分内容阅读
必做题部分
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.
1.若 ,则 =.
2. 若集合 , ,则集合 的元素个数为.
3. 如图1所示,四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个边长为2的大正方形,若直角三角形中较小的锐角 ,现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖,飞镖落在小正方形内概率是___ .
4. 程序如下:
t←1
i←2
Whilei≤4
t←t×i
i←i+1
EndWhile 图1
Printt
以上程序输出的结果是.
5. 已知等差数列 的前 项和为 ,且 ,则过点 和
N*)的直线的斜率是 .
6.设函数f(x)=|x+1|+|x-a|是偶函数,则a的值为.
7. 某人5次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为x,y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10,方差为2,则|x-y|的值为.
8. 将棱长都为 正三棱柱截去三个角(如图2所示 分别是 三边的中点)得到几何体如图3,则该几何体按图3所示方向的侧视图(或称左视图)的面积为 .
9.已知函数 ,若直线 对任意的 都不是曲线 的切线,则 的取值范围为.
10.设 , , ,点 是线段 上的一个动点, ,若 ,则实数 的取值范围是 .
11.设二元一次不等式组 所表示的区域是M,使函数 的图象过区域M的 的取值范围是.
12.如图4,已知 、 是椭圆 的左、
右焦点,点 在椭圆上,线段 与圆 相切于点
,且点 为线段 的中点,椭圆 的离心率为 .
13. 数列 的前 项和是 ,若数列 的各项按如下规则排列:
, 图4
若存在整数 ,使 , ,则.
14.已知函数 ,若 ,且 ,则 的取值范围为 .
二、解答题:(本大题共6道题,计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本题满分14分)
设 的内角 所对的边长分别为 ,且 , .
(1)求 和边长 ;
(2)若 的面积 ,求 的值.
16.(本题满分14分)已知点A(-3,1)在椭圆 x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)的左准线上.过A点、斜率为- 的光线,经直线y=-2反射后经过椭圆的左焦点F.
(1)求椭圆的方程;
(2)点P是直线y=-2上的一个动点,求以AP为直径且经过点F的圆的方程.
17. (本题满分14分)
已知直角梯形 中,, 过 作
,垂足为 ,的中点,现将 沿 折叠,使得 .
(1)求证: ;
(2)求证: ;
(3)在线段 上找一点 ,使得面 面 ,并说明理由.
18.(本题满分15分)
有一五边形ABCDE的地块(如图所示),其中CD,DE为围墙.其余各边界是不能动的一些体育设施.现准备在此五边形内建一栋科技楼,使楼的底面为一矩形,且靠围墙的方向须留有5米宽的空地.
(1)请设计科技楼的长和宽,使科技楼的底面面积最大?
(2)若这一块地皮价值为400万,现用来建每层为256平方米的楼房,楼房的总建筑面积(即
各层的面积之和)的每平方米平均建筑费用与建筑高度有关,楼房每升高一层,整栋楼房每平方米的建筑费用增加25元.已知建筑5层楼房时,每平方米的建筑费用为500元.为了使该楼每平方米的平均综合费用最低(综合费用是建筑费用与购地费用之和),问应把楼建成几层?
19.(本题满分16分)已知函数.
(1) 求函数 的单调区间;
(2) 当a >0时,求函数 在 上最小值.
20. (本题满分16分)
已知函数 ,当 时, 的值域为 ,当时, 的值域为 ,依次类推,一般地,当 时, 的值域为 ,其中k、m为常数,且a1=m+1,b1=m+2
(1)若k=1,求数列 的通项公式;
(2)若k<0,Sn为数列{an}的前n项和,且当x∈[an-1,bn-1]时f(x)的最大值为2Sn,问是否存在负常数k,对任意不为1的实数m,数列{an+1 +an}是等比数列?请说明理由,并且当k存在时求出相应的k的值;
(3)若 ,设数列 的前n项和分别为 ,求
.
附加题部分
21.(选做题)从A,B,C,D四个中选做2个,每题10分,共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.选修4-1(几何证明选讲)
如图,ABCD是边长为 的正方体,以D为圆心,DA为半径的圆弧与以BC为直径的⊙O交于点P,延长CP交AB于M.求证:(1)M是AB的中点;(2)求线段BP的长。
B.选修4-2(矩阵与变换)已知在一个二阶矩阵M的变换作用下,点A(1,2)变成了点A′(4,5)点B(3,-1)变成了点B′(5,1)
(1)求矩阵M;
(2)若在矩阵M的变换作用下,点C(x,0)变成了点C′(4,y),求x,y..
C.选修4-4(坐标系与参数方程)求直线 ( )被曲线 所截的弦长.
D.选修4-5(不等式选讲)已知 为正数,且满足 ,
求证: .
22.(必做题)甲从装有编号为1,2,3,4,5的卡片的箱子中任意取一张,乙从装有编号为2,4的卡片的箱子中任意取一张,用 , 分别表示甲、乙取得的卡片上的数字.
(1)求概率 );
(2)记 ,求 的分布列与数学期望.
23.(必做题)已知斜三棱柱 , , , 在底面 上的射影恰为 的中点 ,又知 ..
(1)求证: 平面 ;
(2)求 到平面 的距离;
(3)求二面角 余弦值的大小.
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.
1.若 ,则 =.
2. 若集合 , ,则集合 的元素个数为.
3. 如图1所示,四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个边长为2的大正方形,若直角三角形中较小的锐角 ,现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖,飞镖落在小正方形内概率是___ .
4. 程序如下:
t←1
i←2
Whilei≤4
t←t×i
i←i+1
EndWhile 图1
Printt
以上程序输出的结果是.
5. 已知等差数列 的前 项和为 ,且 ,则过点 和
N*)的直线的斜率是 .
6.设函数f(x)=|x+1|+|x-a|是偶函数,则a的值为.
7. 某人5次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为x,y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10,方差为2,则|x-y|的值为.
8. 将棱长都为 正三棱柱截去三个角(如图2所示 分别是 三边的中点)得到几何体如图3,则该几何体按图3所示方向的侧视图(或称左视图)的面积为 .
9.已知函数 ,若直线 对任意的 都不是曲线 的切线,则 的取值范围为.
10.设 , , ,点 是线段 上的一个动点, ,若 ,则实数 的取值范围是 .
11.设二元一次不等式组 所表示的区域是M,使函数 的图象过区域M的 的取值范围是.
12.如图4,已知 、 是椭圆 的左、
右焦点,点 在椭圆上,线段 与圆 相切于点
,且点 为线段 的中点,椭圆 的离心率为 .
13. 数列 的前 项和是 ,若数列 的各项按如下规则排列:
, 图4
若存在整数 ,使 , ,则.
14.已知函数 ,若 ,且 ,则 的取值范围为 .
二、解答题:(本大题共6道题,计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本题满分14分)
设 的内角 所对的边长分别为 ,且 , .
(1)求 和边长 ;
(2)若 的面积 ,求 的值.
16.(本题满分14分)已知点A(-3,1)在椭圆 x2a2 + y2b2 =1(a>b>0)的左准线上.过A点、斜率为- 的光线,经直线y=-2反射后经过椭圆的左焦点F.
(1)求椭圆的方程;
(2)点P是直线y=-2上的一个动点,求以AP为直径且经过点F的圆的方程.
17. (本题满分14分)
已知直角梯形 中,, 过 作
,垂足为 ,的中点,现将 沿 折叠,使得 .
(1)求证: ;
(2)求证: ;
(3)在线段 上找一点 ,使得面 面 ,并说明理由.
18.(本题满分15分)
有一五边形ABCDE的地块(如图所示),其中CD,DE为围墙.其余各边界是不能动的一些体育设施.现准备在此五边形内建一栋科技楼,使楼的底面为一矩形,且靠围墙的方向须留有5米宽的空地.
(1)请设计科技楼的长和宽,使科技楼的底面面积最大?
(2)若这一块地皮价值为400万,现用来建每层为256平方米的楼房,楼房的总建筑面积(即
各层的面积之和)的每平方米平均建筑费用与建筑高度有关,楼房每升高一层,整栋楼房每平方米的建筑费用增加25元.已知建筑5层楼房时,每平方米的建筑费用为500元.为了使该楼每平方米的平均综合费用最低(综合费用是建筑费用与购地费用之和),问应把楼建成几层?
19.(本题满分16分)已知函数.
(1) 求函数 的单调区间;
(2) 当a >0时,求函数 在 上最小值.
20. (本题满分16分)
已知函数 ,当 时, 的值域为 ,当时, 的值域为 ,依次类推,一般地,当 时, 的值域为 ,其中k、m为常数,且a1=m+1,b1=m+2
(1)若k=1,求数列 的通项公式;
(2)若k<0,Sn为数列{an}的前n项和,且当x∈[an-1,bn-1]时f(x)的最大值为2Sn,问是否存在负常数k,对任意不为1的实数m,数列{an+1 +an}是等比数列?请说明理由,并且当k存在时求出相应的k的值;
(3)若 ,设数列 的前n项和分别为 ,求
.
附加题部分
21.(选做题)从A,B,C,D四个中选做2个,每题10分,共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.选修4-1(几何证明选讲)
如图,ABCD是边长为 的正方体,以D为圆心,DA为半径的圆弧与以BC为直径的⊙O交于点P,延长CP交AB于M.求证:(1)M是AB的中点;(2)求线段BP的长。
B.选修4-2(矩阵与变换)已知在一个二阶矩阵M的变换作用下,点A(1,2)变成了点A′(4,5)点B(3,-1)变成了点B′(5,1)
(1)求矩阵M;
(2)若在矩阵M的变换作用下,点C(x,0)变成了点C′(4,y),求x,y..
C.选修4-4(坐标系与参数方程)求直线 ( )被曲线 所截的弦长.
D.选修4-5(不等式选讲)已知 为正数,且满足 ,
求证: .
22.(必做题)甲从装有编号为1,2,3,4,5的卡片的箱子中任意取一张,乙从装有编号为2,4的卡片的箱子中任意取一张,用 , 分别表示甲、乙取得的卡片上的数字.
(1)求概率 );
(2)记 ,求 的分布列与数学期望.
23.(必做题)已知斜三棱柱 , , , 在底面 上的射影恰为 的中点 ,又知 ..
(1)求证: 平面 ;
(2)求 到平面 的距离;
(3)求二面角 余弦值的大小.