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[摘 要] 在课堂教学中，教师的教学观是影响教师教学的重要因素之一。本研究对一名入职一年的数学教师的教学观进行研究。她认为教学要注重数学的本质，关注数学的过程，强调数学的应用；她还指出，教学不仅要有启发性，还要站在学生的角度理解数学。
[关键词] 数学教学观 课堂教学 个案研究
一、研究综述
教师的教学行为是个性化的，是和教师个人自身的特性紧密相联的[1]。Thompson研究也发现，数学教师的教学观念，与他们的教学行为存在高度的一致性[2]。而对于教师而言，他们入职最初的几年，是个人专业发展的关键时期[3]。因此，研究初职的教学观，既可以为在职教师的培训提供有益的参考和建议，同时还可以为职前教师教育的课程改革提供必要的依据。
二、研究方法
（一）数据收集
我们采用录像刺激和结构化访谈的方法，来获取教师分析和评价数学课堂的数据。
（二）课堂录像
录像课为“函数的单调性”的两节同课异构课。为表达方便，我们把重点中学老师执教的录像课称为A，把普通中学教师执教的录像课称为B。
表1 A的教学结构
阶段 具体内容
创设情境 1.教师展示硝酸钾的溶解度和氢氧化钙的溶解度。
2.教师提问：“你们能不能告诉我这两张表格反应了什么问题？”
探究讨论 1.学生通过对实际问题的抽象，建立函数模型。
2.学生通过观察得出函数单调性、函数单调区间的定义。
例题分析
1.教师出示例题“根据函数的图像写出单调区间”。学生根据图像确定函数的单调区间。
2.教师进而引出函数单调性的证明。
课堂小结 1.教师总结本课。
表2 B的教学结构
阶段 具体内容
复习旧知，引入新课 1.教师通过对函数的复习引入本课内容——函数的单调性。
观察图像，探索新知 1.教师用小黑板向学生展示二次函数的图像。
2.教师以提问的方式得出函数单调性的定义。
问题讨论 1.教师提出4个课堂讨论的问题
例题分析 1.教师引导学生判断函数的单调性。
2.教师证明函数增减性，明确指出证明函数单调性证明的一般步骤。
巩固练习 1.布置课本上的一组练习，并请学生上黑板演示。
小结和作业 1.总结本堂课，并布置课后作业。
（三）数据分析
教师的数学教学观涉及三个方面：（1）数学观——教师对数学是什么的认识[4]。（2）教学观——教师对数学教学目标，教师自身作用，理想的教学方式和教学效果的认识。（3）学习观——教师对数学学习目的和数学学习活动的认识[5]。
根据Schmidt数学教学观的分类法，我们对教师的数学观、教学观、学习观进行二级编码（见表3） [6]。
表3 教师数学教学观的分类
数学观（A）
形式观：把数学看成是由公理、定理、定义等构成的抽象系统 （A1）
算法观：把数学看成是由法则、公式、事实组成的集合 （A2）
过程观：把数学看成是用各种方法解决问题的活动，强调方法的多样性和创造性 （A3）
实用观：解决日常生活问题的一种有用工具 （A4）
发展学生对数学的积极态度（B1）
教学观（B）
发展学生交流数学观点的能力（B2）
发展学生的数学理解（B3）
为学生以后的数学学习做好准备 （B4）
发展学生的数学技能（B5）
发展学生的数学推理（B6）
学生观（C） 关注教学过程还是正确的结果 （C1）
获得理解（C2）
是否使用标准算法（C3）
独立还是合作的学习方式（C4）
学习和掌握技能和算法（C5）
三、研究结果
（一）数学观
受访初职教师的数学观主要表现为形式观与算法观。
1.形式观：揭示概念本质
她强调概念的教学，认为A中的老师处理定义要比B中的老师好，她说：
他挖掘得很透彻，定义都分析得很透彻，启发学生一步步把定义引导出来。有的老师可能就是直接看图像，然后让学生说一下就直接给出定义。【01-46】① （A11）②。
对于B中的教师，她说：
他直接给出定义，然后是运用，一些例题讲得很投入【07-05】（A12）。
他定义花的时间相对不是很多，结论都是他自己得出的【08-40】（A13） 。
第一节课，关键还是定义，重点还是定义。我觉得他定义就是一带而过。他把大部分时间都花在解题上面【10-32】 （A14） 。
定义要花大部分时间，他这个定义花的时间太少了。【11-40】 （A15） 。
谈及自己的数学课堂，她表示函数概念定义是课堂教学的重点。教师应当启发学生得出定义，然后再用定义证明函数的单调性。
她指出，教师揭示概念要到位，要结合具体情境，概括概念，分析要透彻。同时，她认为教师在处理定义与习题的时间比例上，应把大部分的时间花在概念定义上。
2.算法观：归纳法则公式
从她对A提出的建议，可以看出她对归纳法则公式的看法：
讲完例题的时候，我想让学生总结一下，就是把证明单调性的步骤总结一下【05-12】（A21） 。
她很看重对证明步骤的总结，认为在函数单调性证明的教学中，要强调3个步骤。总结步骤，可以帮助学生明确解题思路，有针对性的分析问题。 （二）教学观
访谈中，她只是对数学态度，数学交流，数学理解，数学准备发表了自己的观点。
1.数学态度：将数学与其他学科结合
数学态度即是教师对数学教学的一种认识。她认为教师应具备将数学与其他学科结合的素质。她指出，A中的教师所举的例题是跨学科的，而不是孤立的数学知识。在谈到一个优秀教师应该具备的知识和能力时，她说：
应该是具备一些综合素质，不可能说只会你学的这一门，应是数理化方面都要稍微了解【18-55】（B11） 。
现在是信息时代，还是多掌握一些，多了解一些比较好【19-15】（B12） 。
她认为，教师应当将数学与其他学科互相融合，教师应当顺应时代的变化，掌握更多与学科相关的知识，丰富自己对数学的认识。
2.数学交流：教学要有启发性
所谓数学交流，就是在数学教学的过程中，师生间、生生间以数学为载体，通过互动而展开讨论。她提倡启发式教学。在访谈中，她多次提到学生的主体地位。她评价A：
他启发学生，然后一步步把定义引导出来【02-05】（B21） 。
这个定义不是老师直接给出的，他是找学生一起探讨出来的，是以学生为主体的【02-54】（B22） 。
对于B中的教师，她说：
定义是他自己给出的，并没有探讨。【08-09】 （B23） 。
“任意”也是自己说出来的，我觉得学生根本就没有体会【08-48】（B24） 。
她认为，教好数学最有效的方法是启发学生，让学生发现和解决问题（B25） 。
3.教学方式：反对讲授为主的教学
她反对以讲授为主的教学。她不同意课堂教学就是讲授和解释学科知识的说法（B26），她也不认为好的教学会发生在以教师讲授为主的课堂中（B27）。她也不同意直接讲授方法是最好的教学法，尽管它能够覆盖更多的信息或知识 （B28）。
4.数学理解：站在学生的角度理解数学
教师对数学的理解可以体现在他（她）对一堂课的重难点的把握。受访教师倾向于A中教师的做法。对于B中的教学，她说：
讲区间的时候，他涉及到了高等数学的知识【07-18】（B31） 。
间断，我估计学生一开始都还不懂什么叫间断【10-56】（B33） 。
他那节课的高数思想还渗透得满深的。但我觉得，不应该是这节课的重点【11-06】（B34） 。
她认为，教师应当站在学生的角度去把握本堂课的重难点，而不是知识渗透得越深越好。该讲的地方要花时间讲，要讲得透彻，涉及到超出学生接受范围的知识不讲或花相对少的时间就可以了。
（三）学习观
在访谈中，受访教师强调要关注教学过程，认为学生在学习时理解更重要。
1.关注教学过程
访谈中，她更欣赏A的课堂，她说：
“任意性”的话应该说两个老师都是强调的，但是侧重不太一样。一个是跟学生一起探讨出来的，一个是主要是他自己得出的这个结论【13-45】”。我赞同前者的做法（C11）。
在她看来，学生过程的参与要比教师仅仅给予一个结果更有意义。
2.理解更重要
她认为，学生要在理解的基础上学习数学。当她被问及，学习是否意味着学生要记住老师所讲的内容时，她果断回答不同意（C21）。她说，数学的学习应该是个理解的过程，数学的教学应该是教学生如何理解数学。只有学生理解了，才能更好地应用。
四、结论与讨论
在研究中，受访的初职教师强调了数学课堂应当注重揭示概念的本质，并要及时归纳总结。她的教学观也是旗帜鲜明的。她认为，教师在教学中要善于将数学与其它学科相结合起来，认为教学要有启发性，反对以讲授为主的教学，强调站在学生的角度理解数学。但是，她似乎忽略了发展学生的数学技能和推理。比如，在证明函数的单调性这一问题时，代数式的恒等变形，事实上也起到了决定性的作用。而受访教师似乎忽略了这一点。
她强调了数学教学应当关注教学过程，帮助学生获得理解，但是没有谈到学生应当采取哪些学习方式。比如，如何处理独立思考和合作学习的关系？事实上，合作交流应以独立思考为基础，否则就会流于形式[7]。
参考文献：
[1] 黄兴丰， 李士锜. 数学课堂： 教师的观念与实践[J]. 数学教育学报， 2006（8）
[2] Alba， Gonzalez， Thompson. The Relationship between Teacher’S Conceptions of Mathematics and Mathematics teaching to Instructional practice [J]. Education Study in Mathermatics， 1984（15）.
[3] 唐卫海， 韩维莹， 仝文. 专家教师与新手教师教学行为的比较[J]. 天津师范大学学报：社会科学版， 2010（1）.
[4] 黄毅英. 数学观研究综述[J]. 数学教育学报， 2002（2）.
[5] Ernest P. The Knowledge， Beliefs and Attitudes of the Mathematics Teacher： A Model [J]. Journal of Education for Teaching， 1989， 15（1） .
[6] Schmidt，W.，Tatto，M.T.，Bankov，K.，Blomeke，S.，Cedillo，T.，Cogan，L.，et al.. The Preparation Gap ： Teacher Education for Middle School Mathematics in Six Countries[M]. East Lansing， MI： Mathematics Teaching in the 21st Century， 2007.
[7] 黄兴丰， 范良火. 课程改革驱动下的数学课堂实践[J]. 数学教育学报， 2009（6）.
[关键词] 数学教学观 课堂教学 个案研究
一、研究综述
教师的教学行为是个性化的，是和教师个人自身的特性紧密相联的[1]。Thompson研究也发现，数学教师的教学观念，与他们的教学行为存在高度的一致性[2]。而对于教师而言，他们入职最初的几年，是个人专业发展的关键时期[3]。因此，研究初职的教学观，既可以为在职教师的培训提供有益的参考和建议，同时还可以为职前教师教育的课程改革提供必要的依据。
二、研究方法
（一）数据收集
我们采用录像刺激和结构化访谈的方法，来获取教师分析和评价数学课堂的数据。
（二）课堂录像
录像课为“函数的单调性”的两节同课异构课。为表达方便，我们把重点中学老师执教的录像课称为A，把普通中学教师执教的录像课称为B。
表1 A的教学结构
阶段 具体内容
创设情境 1.教师展示硝酸钾的溶解度和氢氧化钙的溶解度。
2.教师提问：“你们能不能告诉我这两张表格反应了什么问题？”
探究讨论 1.学生通过对实际问题的抽象，建立函数模型。
2.学生通过观察得出函数单调性、函数单调区间的定义。
例题分析
1.教师出示例题“根据函数的图像写出单调区间”。学生根据图像确定函数的单调区间。
2.教师进而引出函数单调性的证明。
课堂小结 1.教师总结本课。
表2 B的教学结构
阶段 具体内容
复习旧知，引入新课 1.教师通过对函数的复习引入本课内容——函数的单调性。
观察图像，探索新知 1.教师用小黑板向学生展示二次函数的图像。
2.教师以提问的方式得出函数单调性的定义。
问题讨论 1.教师提出4个课堂讨论的问题
例题分析 1.教师引导学生判断函数的单调性。
2.教师证明函数增减性，明确指出证明函数单调性证明的一般步骤。
巩固练习 1.布置课本上的一组练习，并请学生上黑板演示。
小结和作业 1.总结本堂课，并布置课后作业。
（三）数据分析
教师的数学教学观涉及三个方面：（1）数学观——教师对数学是什么的认识[4]。（2）教学观——教师对数学教学目标，教师自身作用，理想的教学方式和教学效果的认识。（3）学习观——教师对数学学习目的和数学学习活动的认识[5]。
根据Schmidt数学教学观的分类法，我们对教师的数学观、教学观、学习观进行二级编码（见表3） [6]。
表3 教师数学教学观的分类
数学观（A）
形式观：把数学看成是由公理、定理、定义等构成的抽象系统 （A1）
算法观：把数学看成是由法则、公式、事实组成的集合 （A2）
过程观：把数学看成是用各种方法解决问题的活动，强调方法的多样性和创造性 （A3）
实用观：解决日常生活问题的一种有用工具 （A4）
发展学生对数学的积极态度（B1）
教学观（B）
发展学生交流数学观点的能力（B2）
发展学生的数学理解（B3）
为学生以后的数学学习做好准备 （B4）
发展学生的数学技能（B5）
发展学生的数学推理（B6）
学生观（C） 关注教学过程还是正确的结果 （C1）
获得理解（C2）
是否使用标准算法（C3）
独立还是合作的学习方式（C4）
学习和掌握技能和算法（C5）
三、研究结果
（一）数学观
受访初职教师的数学观主要表现为形式观与算法观。
1.形式观：揭示概念本质
她强调概念的教学，认为A中的老师处理定义要比B中的老师好，她说：
他挖掘得很透彻，定义都分析得很透彻，启发学生一步步把定义引导出来。有的老师可能就是直接看图像，然后让学生说一下就直接给出定义。【01-46】① （A11）②。
对于B中的教师，她说：
他直接给出定义，然后是运用，一些例题讲得很投入【07-05】（A12）。
他定义花的时间相对不是很多，结论都是他自己得出的【08-40】（A13） 。
第一节课，关键还是定义，重点还是定义。我觉得他定义就是一带而过。他把大部分时间都花在解题上面【10-32】 （A14） 。
定义要花大部分时间，他这个定义花的时间太少了。【11-40】 （A15） 。
谈及自己的数学课堂，她表示函数概念定义是课堂教学的重点。教师应当启发学生得出定义，然后再用定义证明函数的单调性。
她指出，教师揭示概念要到位，要结合具体情境，概括概念，分析要透彻。同时，她认为教师在处理定义与习题的时间比例上，应把大部分的时间花在概念定义上。
2.算法观：归纳法则公式
从她对A提出的建议，可以看出她对归纳法则公式的看法：
讲完例题的时候，我想让学生总结一下，就是把证明单调性的步骤总结一下【05-12】（A21） 。
她很看重对证明步骤的总结，认为在函数单调性证明的教学中，要强调3个步骤。总结步骤，可以帮助学生明确解题思路，有针对性的分析问题。 （二）教学观
访谈中，她只是对数学态度，数学交流，数学理解，数学准备发表了自己的观点。
1.数学态度：将数学与其他学科结合
数学态度即是教师对数学教学的一种认识。她认为教师应具备将数学与其他学科结合的素质。她指出，A中的教师所举的例题是跨学科的，而不是孤立的数学知识。在谈到一个优秀教师应该具备的知识和能力时，她说：
应该是具备一些综合素质，不可能说只会你学的这一门，应是数理化方面都要稍微了解【18-55】（B11） 。
现在是信息时代，还是多掌握一些，多了解一些比较好【19-15】（B12） 。
她认为，教师应当将数学与其他学科互相融合，教师应当顺应时代的变化，掌握更多与学科相关的知识，丰富自己对数学的认识。
2.数学交流：教学要有启发性
所谓数学交流，就是在数学教学的过程中，师生间、生生间以数学为载体，通过互动而展开讨论。她提倡启发式教学。在访谈中，她多次提到学生的主体地位。她评价A：
他启发学生，然后一步步把定义引导出来【02-05】（B21） 。
这个定义不是老师直接给出的，他是找学生一起探讨出来的，是以学生为主体的【02-54】（B22） 。
对于B中的教师，她说：
定义是他自己给出的，并没有探讨。【08-09】 （B23） 。
“任意”也是自己说出来的，我觉得学生根本就没有体会【08-48】（B24） 。
她认为，教好数学最有效的方法是启发学生，让学生发现和解决问题（B25） 。
3.教学方式：反对讲授为主的教学
她反对以讲授为主的教学。她不同意课堂教学就是讲授和解释学科知识的说法（B26），她也不认为好的教学会发生在以教师讲授为主的课堂中（B27）。她也不同意直接讲授方法是最好的教学法，尽管它能够覆盖更多的信息或知识 （B28）。
4.数学理解：站在学生的角度理解数学
教师对数学的理解可以体现在他（她）对一堂课的重难点的把握。受访教师倾向于A中教师的做法。对于B中的教学，她说：
讲区间的时候，他涉及到了高等数学的知识【07-18】（B31） 。
间断，我估计学生一开始都还不懂什么叫间断【10-56】（B33） 。
他那节课的高数思想还渗透得满深的。但我觉得，不应该是这节课的重点【11-06】（B34） 。
她认为，教师应当站在学生的角度去把握本堂课的重难点，而不是知识渗透得越深越好。该讲的地方要花时间讲，要讲得透彻，涉及到超出学生接受范围的知识不讲或花相对少的时间就可以了。
（三）学习观
在访谈中，受访教师强调要关注教学过程，认为学生在学习时理解更重要。
1.关注教学过程
访谈中，她更欣赏A的课堂，她说：
“任意性”的话应该说两个老师都是强调的，但是侧重不太一样。一个是跟学生一起探讨出来的，一个是主要是他自己得出的这个结论【13-45】”。我赞同前者的做法（C11）。
在她看来，学生过程的参与要比教师仅仅给予一个结果更有意义。
2.理解更重要
她认为，学生要在理解的基础上学习数学。当她被问及，学习是否意味着学生要记住老师所讲的内容时，她果断回答不同意（C21）。她说，数学的学习应该是个理解的过程，数学的教学应该是教学生如何理解数学。只有学生理解了，才能更好地应用。
四、结论与讨论
在研究中，受访的初职教师强调了数学课堂应当注重揭示概念的本质，并要及时归纳总结。她的教学观也是旗帜鲜明的。她认为，教师在教学中要善于将数学与其它学科相结合起来，认为教学要有启发性，反对以讲授为主的教学，强调站在学生的角度理解数学。但是，她似乎忽略了发展学生的数学技能和推理。比如，在证明函数的单调性这一问题时，代数式的恒等变形，事实上也起到了决定性的作用。而受访教师似乎忽略了这一点。
她强调了数学教学应当关注教学过程，帮助学生获得理解，但是没有谈到学生应当采取哪些学习方式。比如，如何处理独立思考和合作学习的关系？事实上，合作交流应以独立思考为基础，否则就会流于形式[7]。
参考文献：
[1] 黄兴丰， 李士锜. 数学课堂： 教师的观念与实践[J]. 数学教育学报， 2006（8）
[2] Alba， Gonzalez， Thompson. The Relationship between Teacher’S Conceptions of Mathematics and Mathematics teaching to Instructional practice [J]. Education Study in Mathermatics， 1984（15）.
[3] 唐卫海， 韩维莹， 仝文. 专家教师与新手教师教学行为的比较[J]. 天津师范大学学报：社会科学版， 2010（1）.
[4] 黄毅英. 数学观研究综述[J]. 数学教育学报， 2002（2）.
[5] Ernest P. The Knowledge， Beliefs and Attitudes of the Mathematics Teacher： A Model [J]. Journal of Education for Teaching， 1989， 15（1） .
[6] Schmidt，W.，Tatto，M.T.，Bankov，K.，Blomeke，S.，Cedillo，T.，Cogan，L.，et al.. The Preparation Gap ： Teacher Education for Middle School Mathematics in Six Countries[M]. East Lansing， MI： Mathematics Teaching in the 21st Century， 2007.
[7] 黄兴丰， 范良火. 课程改革驱动下的数学课堂实践[J]. 数学教育学报， 2009（6）.