摘 要：用Hadamard卷积定义了亚纯多叶函数类∑P上的Carlson-shaffer 算子LP(a,c)，并给出了它的某些具体的应用。
　　关键词：Hadamard卷积; Carlson-shaffer 线性算子; 亚纯多叶函数
　　中图分类号：O174.51文献标识码：A文章编号：1672-1098(2009)01-0063-03
　　收稿日期：2008-08-01
　　基金项目：淮海工学院引进人才科研启动基金资助项目(KQ07076)
　　作者简介：韦叶(1981-)，女，江苏宜兴人，讲师，硕士，主要从事单复变函数的研究。
　　
　　Some Applications of Carlson-Shaffer Operator
　　WEI Ye
　　(College of Sciences, Huaihai Institute of Technology, Lianyungang Jiangsu 222005,China)
　　 Abstract:Carlson-shaffer operator LP(a,c)on ∑P- family of meromorphic multivalent function, was defined by Hadamard's convolution. Its some applications were given.
　　Key words:hadamard's convolution;carlson-shaffer operator; meromorphic multivalent function
　　
　　令∑P表示形如
　　f(z)=z-P+∑∞k=1ak-Pzk-P
　　(P∈N∶=｛1,2,3,…｝) (1)
　　且在D=｛z∶z∈C,0＜｜z｜＜1｝=U＼｛0｝ 内解析的函数f(z)全体所形成的函数类。
　　对于f∈∑P形如式(1)，g∈∑P且g(z)=z-P+∑∞k=1bk-Pzk-P (P∈N)，定义f(z)与g(z)的Hadamard积(卷积)。
　　f(z)*g(z)=z-P+∑∞k=1ak-Pbk-Pzk-P=
　　g(z)*f(z)(2)
　　定义函数φP(a,c;z)
　　φP(a,c;z)=z-P+∑∞k=1(a)k(c)kzk-P
　　(z∈D,c≠0,-1,-2,…) (3)
　　(λ)n是Pochhammer符号，定义如下：
　　(λ)0=1,(λ)n=λ(λ+1)…(λ+n-1)
　　(n∈N)
　　利用函数φP(a,c;z)，定义线性算子LP(a,c)∶∑P→∑P
　　LP(a,c)f(z)=φP(a,c;z)*f(z)=z-P+
　　∑∞k=1(a)k(c)kak-Pzk-P (f(z)∈∑P)(4)
　　文献［1～2］分别介绍了定义在亚纯P叶函数类∑P上的Carlson-shaffer。
　　算子LP(a,c)［3］由式(4)不难验证：
　　z(LP(a,c)f(z))′=aLP(a+1,c)f(z)-(a+
　　P)LP(a,c)f(z)(f(z)∈∑P)(5)
　　对于f(z)∈∑P，P∈N,α与β为任意复数，定义函数TP(α,β;z)如下：
　　TP(α,β;z)=αLP(a,c)f(z)+βLP(a+1,c)f(z)(6)
　　若α+β=1(β∈C)，记TP(β;z)为
　　TP(β;z)=(1-β)LP(a,c)f(z)+
　　βLP(a+1,c)f(z)(7)
　　为了证明本文的结论，需要以下引理。
　　引理1［4-5］ 令u=u1+iu2,v=v1+iv2,Φ是具有下列性质的复值函数。
　　(1) Φ(u,v)在EC×C=C₂内连续；
　　(2) (1,0)∈E,Re｛Φ(1,0)｝＞0;
　　(3) Re(iu2,v1)≤0,当(iu2,v1)∈E,且v1≤
　　-12(1+u22)。
　　若q(z)=1+q1z+q2z2+…在U内解析， (q(z),zq′(z))∈E，且Re｛Φ(q(z),zq′(z))｝＞0(z∈U)，则Re｛q(z)｝＞0(z∈U)。
　　定理1 函数TP(α, β; z)如式(6)定义, 其中α∈C,β∈C(Re(β)≥0), α+β∈R, a＞0, f(z)∈∑P,且对于γ(γ＜α+β)有
　　Re｛TP(α,β;z)z-P｝＞γ(z∈D) (8)
　　则
　　Re｛LP(a,c)f(z)z-P｝＞δ=2aγ+Re(β)2a(α+β)+Re(β)(z∈D) (9)
　　证 明 令q(z)为
　　LP(a,c)f(z)z-P=δ+(1-δ)q(z)(10)
　　则有q(z)=1+q1z+q2z2+…在单位圆U内解析，利用式(5)计算可得
　　TP(α,β;z)z-P=αLP(a,c)f(z)z-P+
　　βLP(a+1,c)f(z)z-P=(α+β)δ+(α+β)(1-δ)q(z)+β(1-δ)azq′(z)(11)
　　因此
　　Re｛TP(α,β;z)z-P-γ｝=Re｛(α+β)δ-γ+
　　(α+β)(1-δ)q(z)+β(1-δ)azq′(z)｝
　　若定义函数
　　Φ(u,v)=(α+β)δ-γ+(α+β)(1-δ)u+
　　β(1-δ)av(12)
　　并且u=u1+iu2,v=v1+iv2,则
　　(1) Φ(u,v)在E=C×C=C₂内连续;
　　(2) (1，0)∈E且Re｛Φ(1,0)｝=α+β-γ＞0;
　　(3) 对于(iu2,v1)∈E且v1≤-12(1+u22),
　　Re｛Φ(iu2,v1)｝≤(α+β)δ-γ-Re(β)(1-δ)2a-
　　Re(β)(1-δ)2au22=-(1-δ)2aRe(β)u22≤0， 即函数Φ(u, v)满足引理1的三个条件， 因此有Re｛q(z)＞0｝(z∈U),即Re｛LP(a,c)f(z)z-P｝＞δ=
　　2aγ+Re(β)2a(α+β)+Re(β)(z∈D)。
　　定理1得证。
　　若在定理1中α+β=1, 将有下面推论。
　　推论1 函数TP(β;z)如式(7)定义,其中β∈C(Re(β)≥0),a＞0,f(z)∈∑P。 若对于
　　γ(γ＜1)， 有Re｛TP(β;z)z-P｝＞γ(z∈D)，则Re｛LP(a,c)f(z)z-P｝＞2aγ+Re(β)2a+Re(β)(z∈D)。
　　推论2 在推论1中令a=c＞0,若f(z)∈∑P,β∈C(Re(β)≥0),γ＜1且Re｛TP(β;z)z-P｝＞γ(z∈D)， 则
　　Re｛f(z)z-P｝＞2aγ+Re(β)2a+Re(β)(z∈D)。
　　推论3 在定理1中令α=β， 若f(z)∈∑P， β∈C(Re(β)＞0)，a＞0,γ(γ＜2Re(β))，且Re｛TP(β，β;z)z-P｝＞γ，则
　　Re｛LP(a,c)f(z)z-P｝＞2aγ+Re(β)(4a+1)Re(β)(z∈D)
　　特别地，若Re｛TP(β，β;z)z-P｝＞32Re(β)，则有Re｛LP(a,c)f(z)z-P｝＞3a+14a+1(z∈D)。
　　推论4 在推论3中令a=c＞0,若f(z)∈∑P,β∈C(Re(β)＞0)，a＞0，γ＜2Re(β) ，且Re｛TP(β,β;z)z-P｝＞γ，则
　　Re｛f(z)z-P｝＞2aγ+Re(β)(4a+1)Re(β) (z∈D)
　　特别地,若Re｛TP(β，β;z)z-P｝＞32Re(β)，则有Re｛f(z)z-P｝＞3a+14a+1 (z∈D)。
　　定理2 函数TP(α, β; z)如式(6)定义， 其中α∈C,β∈C(Re(β)≥0)，α+β∈R,a＞0,
　　f(z)∈∑P,且对于复数γ(γ＜α+β)有
　　Re｛TP(α,β;z)z-P｝＜γ (z∈D)，则Re｛LP(a,c)f(z)z-P｝＜
　　δ=2aγ+Re(β)2a(α+β)+Re(β) (z∈D)。
　　证 明 定义q(z)为LP(a,c)f(z)z-P=δ+(1-δ)q(z)，则有q(z)=1+q1z+q2z2+…在单位圆U内解析，且有
　　Re｛γ-TP(α,β;z)z-P｝=Re｛γ-(α+β)δ-
　　(α+β)(1-δ)q(z)-βa(1-δ)zq′(z)｝＞0
　　以下证明同定理1证明，略。
　　推论5 在定理2中令α+β=1, TP(β; z)如式(7)定义，其中β∈C(Re(β)≥0)，a＞0,γ＞1且Re｛TP(β;z)z-P｝＜γ (z∈D)，则
　　Re｛LP(a,c)f(z)z-P｝＜2aγ+Re(β)2a+Re(β) (z∈D)
　　推论6 在推论5中若a=c＞0,f(z)∈∑P，β∈C(Re(β)≥0), γ＞1且Re｛TP(β;z)z-P｝＜
　　γ (z∈D)，则
　　Re｛f(z)z-P｝＜2aγ+Re(β)2a+Re(β) (z∈D)
　　推论7 在推论2中若α=β, f(z)∈∑P，β∈C(Re(β)＞0),a＞0,γ＞2Re(β)且Re｛TP(β，β;z)z-P｝＜γ，则
　　Re｛LP(a,c)f(z)z-P｝＜2aγ+Re(β)(4a+1)Re(β) (z∈D)特别地,若Re｛TP(α，β;z)z-P｝＜32Re(β)，则有
　　Re｛LP(a,c)f(z)z-P｝＜3a+14a+1 (z∈D)。
　　推论8 在推论7中若a=c＞0,f(z)∈∑P，β∈C(Re(β)＞0),a＞0,γ＞2Re(β)且
　　Re｛TP(β，β;z)z-P｝＜γ，则
　　Re｛f(z)z-P｝＜2aγ+Re(β)(4a+1)Re(β) (z∈D)
　　特别地,若Re｛TP(β，β;z)z-P｝＜32Re(β)，则
　　Re｛f(z)z-P｝＜3a+14a+1 (z∈D)。
　　
　　参考文献：
　　［1］ LIU JIN-lIN, SRIVASTAVA H M. A linear operator and associated families of meromorphicallymultivalent functios［J］. J Math Anal Appl, 2001, 259: 566-581.
　　［2］ YANG DING-GONG.Certain convolution operators for meromerphic functions［J］.Southeast Asian Bull Math,2001,25:175-186.
　　［3］ SRIVASTAVA H M, PATEL J.Certain subclasses of meromorphically multivalent functions involving a family of linear operators［J］.Southeast Asian Bull Math,2006,30:123-140.
　　［4］ MILLER S S.Differential inequalities and Caratheordary functions［J］.Bull Amer Math Soc,1975,81:79-81.
　　［5］ MILLER S S,MOCANU P T.Second differential inequalities in the complex plane［J］.J Math AnalAppl,1978,65:289-305.
　　(责任编辑：何学华)