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概率是高中数学新增的教学内容，是新课程高考的一大亮点和热点，是中学数学知识的一个重要交汇点；近年来，与概率“交汇”的数学问题频频出现在高考试题中，这类试题题型灵活，综合性强，充分考查了考生的数学能力和数学素养。下面作者结合近几年的高考试题及有关省市的模拟试题，对此问题加以探讨，旨在探索题型规律，揭示解题方法，以供同学们复习参考。
一、与数列“交汇”的概率问题
例1（11·江西八校联考）将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（ ）
A.■ B.■ C.■ D.■
分析：本题考查了排列、组合、概率以及数列等知识的综合运用。解题时关键要从“落地时向上的点数依次成等差数列”这个条件出发，针对公差的不同取值情况进行分类讨论，分别求出不同公差情形下的基本事件数。
解：连续掷三次骰子出现点数的方法总数为63种，其中公差为0的等差数列有6个；公差为1或-1的等差数列有2×4=8个；公差为2或－2的等差数列有2×2=4个；所以满足题中条件的概率为:
■=■ ∴答案选B。
【评注】本题把概率与数列问题有机地“交汇”在一起，不仅有新意，而且能很好地考查考生的综合能力；本题在解题时很容易漏解当d=0、d=－1、d=－2时三种情况，从而出现失误。
二、与解析几何“交汇”的概率问题
例2 （11·东北三校联考）直线x=m，y=x将圆面x2+y2≤4分成若干块，现要用5种不同的颜色将这若干块涂色，要求任意两块不同色，且共有120种不同的涂法，求实数m的取值范围。
分析：本题考查了排列组合、概率与解析几何问题的相关知识，综合性较强； 由于A45=A55=120，即直线x=m，y=x须将圆面分成4块或者5块；结合图形，知两直线的交点在圆x2+y2=4内部时，即满足要求。
解：依题意画出图形（如图所示）；当直线x=m，y=x将圆面分成4块时，涂色方法总数为A55=120；此时两直线x=m，y=x的交点应在圆x2+y2=4的内部；又两直线的交点坐标为(m,m)；∴m2+m2<4，得m2<2，即-■ 【评注】与解析几何“交汇”的概率问题一般要先画出满足条件的几何图形，充分利用数形结合进行求解。
三、与方程、不等式、线性规划“交汇”的概率问题
例3 （11·宁夏模拟）设有关于的一元二次方程x2+2ax+b2=0。
（Ⅰ）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率。
（Ⅱ）若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率。
分析：本题考查了方程、不等式、线性规划、概率等相关知识，题型新颖独特；由于一元二次方程有实根，由根的判别式可以找出a、b之间的关系。又（Ⅰ）中a、b为自然数，易知（Ⅰ）为等可能事件的概率问题，可利用公式p=■进行计算；而（Ⅱ）中a、b分别取区间[0，3]和区间[0，2]之间的一切实数，因此（Ⅱ）则属几何概型问题，要利用数形结合，借助线性规划知识进行求解。
本题考查了方程、不等式、线性规划、概率等相关知识，题型新颖独特；由于一元二次方程有实根，由根的判别式可以找出a、b之间的关系。（Ⅰ）中a、b为自然数，易知（Ⅰ）为等可能事件的概率问题，可利用公式p=■进行计算；而（Ⅱ）中a、b分别取区间[0，3]和区间[0，2]之间的一切实数，因此（Ⅱ）则属几何概型问题，要用到线性规划知识，借助图形面积进行求解。
解：设事件M为“方程x2+2ax+b2=0有实根”。
∵方程x2+2ax+b2=0有实根；∴由根的判别式△≥0得a2≥b2；因此当a≥0，b≥0时，知方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为a≥b。
（Ⅰ）基本事件共有12个：
(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，其中第一个数a表示的取值，第二个数表示b的取值；由a≥b可得事件A包含9个基本事件；∴事件A发生的概率为P(M)=■=■。
（Ⅱ）试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)/0≤a≤3，0≤b≤2}；构成事件M的区域为{(a，b) |0≤a≤3，0≤b≤2， a≥b}。
画出平面区域（如图阴影部分），可得又S矩形OABC=6；图中阴影部分面积，S四边形OABD=■×(1+3)×2=4，∴所求事件M的概率为P（M）=■=■。
【评注】本题巧妙地将概率、方程、不等式、线性规划“交汇”在一起，综合考查了概率的运算，线性规划知识以及数形结合思想；第一小题为等可能事件的概率问题，正确列举出符合条件的事件数是解题的关键；而第二小题则属几何概型问题，其概率即为两图形的面积之比。
通过对以上例题的分析可以看出，与概率交汇的综合性试题是考查同学们数学能力和数学素养的极好素材，同学们在平时的学习过程中应引起足够的重视。
（作者单位：江西省赣县中学南校区）
一、与数列“交汇”的概率问题
例1（11·江西八校联考）将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（ ）
A.■ B.■ C.■ D.■
分析：本题考查了排列、组合、概率以及数列等知识的综合运用。解题时关键要从“落地时向上的点数依次成等差数列”这个条件出发，针对公差的不同取值情况进行分类讨论，分别求出不同公差情形下的基本事件数。
解：连续掷三次骰子出现点数的方法总数为63种，其中公差为0的等差数列有6个；公差为1或-1的等差数列有2×4=8个；公差为2或－2的等差数列有2×2=4个；所以满足题中条件的概率为:
■=■ ∴答案选B。
【评注】本题把概率与数列问题有机地“交汇”在一起，不仅有新意，而且能很好地考查考生的综合能力；本题在解题时很容易漏解当d=0、d=－1、d=－2时三种情况，从而出现失误。
二、与解析几何“交汇”的概率问题
例2 （11·东北三校联考）直线x=m，y=x将圆面x2+y2≤4分成若干块，现要用5种不同的颜色将这若干块涂色，要求任意两块不同色，且共有120种不同的涂法，求实数m的取值范围。
分析：本题考查了排列组合、概率与解析几何问题的相关知识，综合性较强； 由于A45=A55=120，即直线x=m，y=x须将圆面分成4块或者5块；结合图形，知两直线的交点在圆x2+y2=4内部时，即满足要求。
解：依题意画出图形（如图所示）；当直线x=m，y=x将圆面分成4块时，涂色方法总数为A55=120；此时两直线x=m，y=x的交点应在圆x2+y2=4的内部；又两直线的交点坐标为(m,m)；∴m2+m2<4，得m2<2，即-■
三、与方程、不等式、线性规划“交汇”的概率问题
例3 （11·宁夏模拟）设有关于的一元二次方程x2+2ax+b2=0。
（Ⅰ）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率。
（Ⅱ）若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率。
分析：本题考查了方程、不等式、线性规划、概率等相关知识，题型新颖独特；由于一元二次方程有实根，由根的判别式可以找出a、b之间的关系。又（Ⅰ）中a、b为自然数，易知（Ⅰ）为等可能事件的概率问题，可利用公式p=■进行计算；而（Ⅱ）中a、b分别取区间[0，3]和区间[0，2]之间的一切实数，因此（Ⅱ）则属几何概型问题，要利用数形结合，借助线性规划知识进行求解。
本题考查了方程、不等式、线性规划、概率等相关知识，题型新颖独特；由于一元二次方程有实根，由根的判别式可以找出a、b之间的关系。（Ⅰ）中a、b为自然数，易知（Ⅰ）为等可能事件的概率问题，可利用公式p=■进行计算；而（Ⅱ）中a、b分别取区间[0，3]和区间[0，2]之间的一切实数，因此（Ⅱ）则属几何概型问题，要用到线性规划知识，借助图形面积进行求解。
解：设事件M为“方程x2+2ax+b2=0有实根”。
∵方程x2+2ax+b2=0有实根；∴由根的判别式△≥0得a2≥b2；因此当a≥0，b≥0时，知方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为a≥b。
（Ⅰ）基本事件共有12个：
(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，其中第一个数a表示的取值，第二个数表示b的取值；由a≥b可得事件A包含9个基本事件；∴事件A发生的概率为P(M)=■=■。
（Ⅱ）试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)/0≤a≤3，0≤b≤2}；构成事件M的区域为{(a，b) |0≤a≤3，0≤b≤2， a≥b}。
画出平面区域（如图阴影部分），可得又S矩形OABC=6；图中阴影部分面积，S四边形OABD=■×(1+3)×2=4，∴所求事件M的概率为P（M）=■=■。
【评注】本题巧妙地将概率、方程、不等式、线性规划“交汇”在一起，综合考查了概率的运算，线性规划知识以及数形结合思想；第一小题为等可能事件的概率问题，正确列举出符合条件的事件数是解题的关键；而第二小题则属几何概型问题，其概率即为两图形的面积之比。
通过对以上例题的分析可以看出，与概率交汇的综合性试题是考查同学们数学能力和数学素养的极好素材，同学们在平时的学习过程中应引起足够的重视。
（作者单位：江西省赣县中学南校区）