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摘要:选用约束性强的条件减少检验过程,借用平面几何定理、性质简化代数运算过程,适当放缩不等式减少分类探求过程. 通过实例分析三角函数、平面解析几何、导数等在函数中的应用,比较不同的解题方法,分析不同的解题思路,实现解题策略的优化.
关键词:选用;借用;放缩;优化
选用约束性强的条件,减少检验过程
例1在锐角三角形ABC中,已知
sin(A+B)=,sin(A-B)=,求B.
分析由sin(A+B)=、sin(A-B)=,可知tanA、tanB的关系,进一步应用条件则可得tanB,但选用条件sin(A+B)=或sin(A-B)=不同时,解题的难易不同.
解法1由sin(A+B)=3sin(A-B),可得tanA=2tanB. △ABC为锐角三角形,由sin(A+B)=,可知π>A+B>,得tan(A+B)=-==,即2tan2B-4tanB-1=0,得tanB=1±. 由00,故tanB=1+,所以,可求得B=arctan1+.
解法2因为0 所以-0. 在锐角三角形ABC中,因为cotB=,即tanA•tanB>1. 而当tanB=-1时,2tan2B=2tanB-1=2-1-1=6-2-1=5-2<1,故tanB=-1舍去. 因此tanB=+1,
故B=arctan+1.
在解法1中,选用sin(A+B)=,π>A+B>,不仅能求出tan(A+B),而且也能反映出锐角三角形的性质. 而在解法2中,选用sin(A-B)=,-
借用平面几何定理、性质简化运算过程
例2已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率是e,点F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,直线l:y=ex+a与x轴、y轴分别交于点A,B,点M是直线l与椭圆C的一个公共点,点P是点F1关于直线l的对称点,设=λ.
(1)证明:λ=1-e2;?摇
(2)确定λ的值,使得△PF1F2是等腰三角形.
分析第(1)问只要求出点A,B,M的坐标,然后根据关系式=λ就能证得λ=1-e2?摇. 第(2)问中,由点P是点F1关于直线l的对称点得出PF1=F1F2后,就不难解决了,但不同的解法难易仍有不同.
证法1(1)由A,B分别是直线l与坐标轴的交点可得A-,0,B(0,a).
由y=ex+a,+=1, 得x=-c,y=.其中,c=,这样M点坐标为-c,.
由=λ得-c+,=λ, a,即-c=λ,=λa, 得λ=1-e2.
证法2(1)由A,B分别是直线l与两坐标轴交点,得A-,0,B(0,a).
设M(x0,y0),由=λ得
x0+,y0=λ,a,
所以x0=(λ-1),y0=λa.
又因为点M在椭圆C上,所以+=1,即+=1.
所以+=1,e4-2(1-λ)e2+(1-λ)2=0,解得e2=1-λ,即λ=1-e2.
解法1(2)因为PF1⊥l,所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角. 要使△PF1F2为等腰三角形,必须有PF1=F1F2,即PF1=c.
设点F1到直线l的距离为d,由c=•PF1===d,得=e,所以e2=.
于是λ=1-e2=,即当λ=时,△PF1F2为等腰三角形.
解法2(2)因为PF1⊥l,所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角,要使△PF1F2为等腰三角形,必有PF1=F1F2.
设点P的坐标为(x0,y0),则
=e+a,=-,解得x0=c,y0=.
由PF1=F1F2,得c+c+=4c2,两边同时除以4a2,化简得=e2,从而解得e2=.
于是λ=1-e2=,即当λ=时,△PF1F2为等腰三角形.
综上可见,先应用平面几何性质、定理,然后推理运算可以简化计算过程,使问题解决得更方便、快捷.
适当放缩不等式,减少探求过程
例3设函数f(x)=,如果对任意的x≥0都有f(x)≤ax,求a的取值范围.
分析求参变量的取值范围,通常采用的方法是:分离变量,构造函数,结合导数值的符号进行求值.
解法1令g(x)=ax-f(x),则g′(x)=a-=3-+a-.
当a≥时,g′(x)≥0,又g(0)=0,所以,当x≥0时,g(x)≥g(0)=0,即f(x)≤ax.
当00,所以,h(x)在[0,arccos3a)上单调递增,故当x∈[0,arccos3a)时,h(x)>h(0)=0,即sinx>3ax. 于是当x∈[0,arccos3a)时,f(x)=>>ax.
当a≤0时,f=>0≥a•.
因此,当a<时,不满足条件.
综上,a的取值范围为,+∞.
解法2令g(x)=ax-f(x),则g′(x)=a-=.
设t=cosx∈[-1,1],h(x)=at2+(4a-2)t+4a-1. 若a≥,可得Δ≤0,h(x)≥0, g′(x)≥0,则g(x)≥g(0)=0,故f(x)≤ax成立.
若a≤0时,有f=>a•,故a≤0不满足条件.
当00,h(t)=0的两根t1=,t2=,其中t1<1,t2>1. 在t∈(t1,1)时,h(x)<0,g′(x)<0,即存在x0∈(0,arccost1)时,g′(x)<0,使g(x)>g(0)=0,从而f(x0)>ax0,故0 综上所述,a的取值范围为,+∞.
通过比较可知解法1通过适当放缩,进行合情推理,较好地寻找到解决问题的突破口.解法2应用通性通法去解题,但在寻找适当的点去推论时显得麻烦,因此在解题过程中通过适当地合理推理、估计,从而放缩不等式使运算相应简单,思路更加清晰.
关键词:选用;借用;放缩;优化
选用约束性强的条件,减少检验过程
例1在锐角三角形ABC中,已知
sin(A+B)=,sin(A-B)=,求B.
分析由sin(A+B)=、sin(A-B)=,可知tanA、tanB的关系,进一步应用条件则可得tanB,但选用条件sin(A+B)=或sin(A-B)=不同时,解题的难易不同.
解法1由sin(A+B)=3sin(A-B),可得tanA=2tanB. △ABC为锐角三角形,由sin(A+B)=,可知π>A+B>,得tan(A+B)=-==,即2tan2B-4tanB-1=0,得tanB=1±. 由0
解法2因为0
故B=arctan+1.
在解法1中,选用sin(A+B)=,π>A+B>,不仅能求出tan(A+B),而且也能反映出锐角三角形的性质. 而在解法2中,选用sin(A-B)=,-
借用平面几何定理、性质简化运算过程
例2已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率是e,点F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,直线l:y=ex+a与x轴、y轴分别交于点A,B,点M是直线l与椭圆C的一个公共点,点P是点F1关于直线l的对称点,设=λ.
(1)证明:λ=1-e2;?摇
(2)确定λ的值,使得△PF1F2是等腰三角形.
分析第(1)问只要求出点A,B,M的坐标,然后根据关系式=λ就能证得λ=1-e2?摇. 第(2)问中,由点P是点F1关于直线l的对称点得出PF1=F1F2后,就不难解决了,但不同的解法难易仍有不同.
证法1(1)由A,B分别是直线l与坐标轴的交点可得A-,0,B(0,a).
由y=ex+a,+=1, 得x=-c,y=.其中,c=,这样M点坐标为-c,.
由=λ得-c+,=λ, a,即-c=λ,=λa, 得λ=1-e2.
证法2(1)由A,B分别是直线l与两坐标轴交点,得A-,0,B(0,a).
设M(x0,y0),由=λ得
x0+,y0=λ,a,
所以x0=(λ-1),y0=λa.
又因为点M在椭圆C上,所以+=1,即+=1.
所以+=1,e4-2(1-λ)e2+(1-λ)2=0,解得e2=1-λ,即λ=1-e2.
解法1(2)因为PF1⊥l,所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角. 要使△PF1F2为等腰三角形,必须有PF1=F1F2,即PF1=c.
设点F1到直线l的距离为d,由c=•PF1===d,得=e,所以e2=.
于是λ=1-e2=,即当λ=时,△PF1F2为等腰三角形.
解法2(2)因为PF1⊥l,所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角,要使△PF1F2为等腰三角形,必有PF1=F1F2.
设点P的坐标为(x0,y0),则
=e+a,=-,解得x0=c,y0=.
由PF1=F1F2,得c+c+=4c2,两边同时除以4a2,化简得=e2,从而解得e2=.
于是λ=1-e2=,即当λ=时,△PF1F2为等腰三角形.
综上可见,先应用平面几何性质、定理,然后推理运算可以简化计算过程,使问题解决得更方便、快捷.
适当放缩不等式,减少探求过程
例3设函数f(x)=,如果对任意的x≥0都有f(x)≤ax,求a的取值范围.
分析求参变量的取值范围,通常采用的方法是:分离变量,构造函数,结合导数值的符号进行求值.
解法1令g(x)=ax-f(x),则g′(x)=a-=3-+a-.
当a≥时,g′(x)≥0,又g(0)=0,所以,当x≥0时,g(x)≥g(0)=0,即f(x)≤ax.
当0
当a≤0时,f=>0≥a•.
因此,当a<时,不满足条件.
综上,a的取值范围为,+∞.
解法2令g(x)=ax-f(x),则g′(x)=a-=.
设t=cosx∈[-1,1],h(x)=at2+(4a-2)t+4a-1. 若a≥,可得Δ≤0,h(x)≥0, g′(x)≥0,则g(x)≥g(0)=0,故f(x)≤ax成立.
若a≤0时,有f=>a•,故a≤0不满足条件.
当0
通过比较可知解法1通过适当放缩,进行合情推理,较好地寻找到解决问题的突破口.解法2应用通性通法去解题,但在寻找适当的点去推论时显得麻烦,因此在解题过程中通过适当地合理推理、估计,从而放缩不等式使运算相应简单,思路更加清晰.