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摘 要：临界问题是高中力学中的一个关键问题，目前备受大型考试的青睐与关注。这一问题涉及物体在临界条件下所处的运动状态，需要分析该种状态下物体的受力情况，用以确定变化范围。本文结合人教版教材高一大纲的内容，浅谈有关弹力与摩擦力的临界问题，从而为研究圆周运动的临界问题打下坚实的基础。
关键词：弹力；摩擦力；临界问题
中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2015）2-0041-2
《弹力》与《摩擦力》两节内容位于普通高中人教版教材必修1《物理》的第三章《相互作用》。其临界问题对研究竖直平面内与水平面内圆周运动的临界问题起着巨大的推动作用。清楚地认识这类求解范围变化问题显得尤为重要。下面，本文分别就弹力与摩擦力的临界问题展开探讨。
1 弹力的临界问题
弹力发生在两个物体的接触面之间，其产生条件为：①相互接触；②发生弹性形变。当物体处于临界状态时，往往某个接触面的弹力会发生突变。因此，弹力在物体的接触面之间的临界条件是“它恰好为0，表现为恰好消失”。
例题1 如图1所示，质量m=10 kg的小球挂在倾斜角为37°的光滑斜面的固定铁杆上，求解：①当斜面和小球以a1=g/2的加速度水平向右匀加速运动时，小球对细绳的拉力和斜面对小球的支持力分别为多大？②当斜面和小球以a2= g的加速度水平向右匀加速运动时，小球对细绳的拉力和斜面对小球的支持力分别为多大？
解析 此题设置了①②两个小问，并且两个小问的文字表述中只有加速度a不同，其余前提条件都相同，旨在提醒学生认清此题的考点类型，它是一道关于弹力的临界问题。当斜面和小球以不同的加速度a水平向右匀加速运动时，两者之间的弹力会出现“是否存在”这两种基本情况。也即是说，该题需要学生求解的关键问题是“当斜面和小球以多大加速度a0水平向右匀加速运动，弹力N会出现恰好为0的临界状况。”针对N=0这一临界条件，取定小球为研究对象，开始
对小球进行受力分析。
如图2所示，分析在斜面上的小球的受力情况。假定当斜面和小球以加速度a0水平向右匀加速运动时，接触面的弹力N发生突变恰好为0。这时，斜面与小球之间没有相互作用，小球受到重力mg与细绳的拉力T这两个外力作用。借助于平行四边形定则，根据牛顿第二定律，在临界状况下有：
tan37°= （1）
可以求出：
a0= g。
①因为a1 所以，此问中小球仍然位于斜面上，它受到重力mg、细绳的拉力T1与斜面的支持力N1这3个外力作用。如图3所示，采用正交分解法，将这些外力分解到水平方向与竖直方向：
图3 受力的正交分解
根据牛顿第二定律：
T1cos37°-N1sin37°=ma1 （2）
T1sin37° N1cos37°=mg（3）
可以求出细绳对小球的拉力T1和斜面对小球的支持力N1的大小分别为：
T1=mg；N1= mg。
根据牛顿第三定律，小球对细绳的拉力T1’的大小为：
T1’=T1=mg。
②因为a2>a0
所以，此问中小球不在斜面上，而会离开斜面“飞起来”，被细绳拴着“漂浮”于空中，斜面对其的支持力N2等于0。小球受到重力mg、细绳的拉力T2这两个外力作用。如图4所示，运用平行四边形定则合成上述两个外力。此时，细绳之中拉力T2的方向不再平行于斜面。
根据牛顿第二定律与勾股定理：
（mg）2 （ma2）2=T （4）
可以求出细绳对小球的拉力T2和斜面对小球的支持力N2的大小分别为：T2=2mg，N2=0。
同样，根据牛顿第三定律，小球对细绳的拉力T2’的大小为：T2’=T2=mg。
2 摩擦力的临界问题
与弹力类似，摩擦力也是一种接触力。其产生条件为：①相互接触；②发生弹性形变；③接触面粗糙；④有相对运动或相对运动趋势。摩擦力可以分为静摩擦力与动摩擦力。其中，静摩擦力是被动力，它的存在及其方向取决于物体之间的相对运动趋势，并且静摩擦力的大小范围为：0< F≤Fmax。在临界状况下，两个物体之间即将发生相对滑动，物体之间的静摩擦力达到最大静摩擦力（高中阶段近似认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。因此，摩擦力在物体的接触面之间的临界条件是“两个物体发生相对运动的瞬间，其间的静摩擦力恰好等于最大静摩擦力。”
例题2 如图5所示，木块A的质量为1 kg，木块B的质量为2 kg，叠放在水平地面上，A、B之间的最大静摩擦力为5 N，B与地面之间的动摩擦因数为0.1。今用水平力F作用于B，保持A、B相对静止的条件是F不超过 N。（g=10 m/s2）
图5 两个重叠的木块
解析 此题要求让A、B两个木块处于相对静止状态，并且求出该种状态下水平力F的最大值。显而易见，它是一道关于摩擦力的临界问题。当水平力F达到最大值Fmax时，A、B两个木块即将发生相对滑动，它们之间的静摩擦力恰好等于最大静摩擦力。
先用整体法，将A、B两个木块当作一个整体使用牛顿第二定律：F-μ（mA mB）g=（mA mB）a （5）
再用隔离法，对于木块A使用牛顿第二定律：F静=mAa（6）
在临界条件下，当F= Fmax时，水平力F达到最大值Fmax。
代入数据，可以求得：
Fmax=（mA mB）（ μg）=18 N
3 总 结
对于两个相互接触的物体，当它们之间没有相互作用的瞬间，会出现弹力的临界条件──弹力恰好等于0；当它们之间发生相对运动的瞬间，会出现摩擦力的临界条件——静摩擦力恰好等于最大静摩擦力。因此，在处理动力学中有关弹力与摩擦力的临界问题时，一定要牢牢把握两者的临界条件，运用平行四边形定则与牛顿第二定律，适当时候可以采用整体法和隔离法联立求解。
参考文献：
[1]张大昌，张维善.物理1[M].北京：人民教育出版社，2010.
[2]魏胜利.转盘上的物体所受静摩擦力分析[J].物理教学探讨，2014，（8）：34.
[3]钟月锋.动力学中一类临界问题[J].物理教学探讨，2014，（8）：50.（栏目编辑 罗琬华）
关键词：弹力；摩擦力；临界问题
中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2015）2-0041-2
《弹力》与《摩擦力》两节内容位于普通高中人教版教材必修1《物理》的第三章《相互作用》。其临界问题对研究竖直平面内与水平面内圆周运动的临界问题起着巨大的推动作用。清楚地认识这类求解范围变化问题显得尤为重要。下面，本文分别就弹力与摩擦力的临界问题展开探讨。
1 弹力的临界问题
弹力发生在两个物体的接触面之间，其产生条件为：①相互接触；②发生弹性形变。当物体处于临界状态时，往往某个接触面的弹力会发生突变。因此，弹力在物体的接触面之间的临界条件是“它恰好为0，表现为恰好消失”。
例题1 如图1所示，质量m=10 kg的小球挂在倾斜角为37°的光滑斜面的固定铁杆上，求解：①当斜面和小球以a1=g/2的加速度水平向右匀加速运动时，小球对细绳的拉力和斜面对小球的支持力分别为多大？②当斜面和小球以a2= g的加速度水平向右匀加速运动时，小球对细绳的拉力和斜面对小球的支持力分别为多大？
解析 此题设置了①②两个小问，并且两个小问的文字表述中只有加速度a不同，其余前提条件都相同，旨在提醒学生认清此题的考点类型，它是一道关于弹力的临界问题。当斜面和小球以不同的加速度a水平向右匀加速运动时，两者之间的弹力会出现“是否存在”这两种基本情况。也即是说，该题需要学生求解的关键问题是“当斜面和小球以多大加速度a0水平向右匀加速运动，弹力N会出现恰好为0的临界状况。”针对N=0这一临界条件，取定小球为研究对象，开始
对小球进行受力分析。
如图2所示，分析在斜面上的小球的受力情况。假定当斜面和小球以加速度a0水平向右匀加速运动时，接触面的弹力N发生突变恰好为0。这时，斜面与小球之间没有相互作用，小球受到重力mg与细绳的拉力T这两个外力作用。借助于平行四边形定则，根据牛顿第二定律，在临界状况下有：
tan37°= （1）
可以求出：
a0= g。
①因为a1
图3 受力的正交分解
根据牛顿第二定律：
T1cos37°-N1sin37°=ma1 （2）
T1sin37° N1cos37°=mg（3）
可以求出细绳对小球的拉力T1和斜面对小球的支持力N1的大小分别为：
T1=mg；N1= mg。
根据牛顿第三定律，小球对细绳的拉力T1’的大小为：
T1’=T1=mg。
②因为a2>a0
所以，此问中小球不在斜面上，而会离开斜面“飞起来”，被细绳拴着“漂浮”于空中，斜面对其的支持力N2等于0。小球受到重力mg、细绳的拉力T2这两个外力作用。如图4所示，运用平行四边形定则合成上述两个外力。此时，细绳之中拉力T2的方向不再平行于斜面。
根据牛顿第二定律与勾股定理：
（mg）2 （ma2）2=T （4）
可以求出细绳对小球的拉力T2和斜面对小球的支持力N2的大小分别为：T2=2mg，N2=0。
同样，根据牛顿第三定律，小球对细绳的拉力T2’的大小为：T2’=T2=mg。
2 摩擦力的临界问题
与弹力类似，摩擦力也是一种接触力。其产生条件为：①相互接触；②发生弹性形变；③接触面粗糙；④有相对运动或相对运动趋势。摩擦力可以分为静摩擦力与动摩擦力。其中，静摩擦力是被动力，它的存在及其方向取决于物体之间的相对运动趋势，并且静摩擦力的大小范围为：0< F≤Fmax。在临界状况下，两个物体之间即将发生相对滑动，物体之间的静摩擦力达到最大静摩擦力（高中阶段近似认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。因此，摩擦力在物体的接触面之间的临界条件是“两个物体发生相对运动的瞬间，其间的静摩擦力恰好等于最大静摩擦力。”
例题2 如图5所示，木块A的质量为1 kg，木块B的质量为2 kg，叠放在水平地面上，A、B之间的最大静摩擦力为5 N，B与地面之间的动摩擦因数为0.1。今用水平力F作用于B，保持A、B相对静止的条件是F不超过 N。（g=10 m/s2）
图5 两个重叠的木块
解析 此题要求让A、B两个木块处于相对静止状态，并且求出该种状态下水平力F的最大值。显而易见，它是一道关于摩擦力的临界问题。当水平力F达到最大值Fmax时，A、B两个木块即将发生相对滑动，它们之间的静摩擦力恰好等于最大静摩擦力。
先用整体法，将A、B两个木块当作一个整体使用牛顿第二定律：F-μ（mA mB）g=（mA mB）a （5）
再用隔离法，对于木块A使用牛顿第二定律：F静=mAa（6）
在临界条件下，当F= Fmax时，水平力F达到最大值Fmax。
代入数据，可以求得：
Fmax=（mA mB）（ μg）=18 N
3 总 结
对于两个相互接触的物体，当它们之间没有相互作用的瞬间，会出现弹力的临界条件──弹力恰好等于0；当它们之间发生相对运动的瞬间，会出现摩擦力的临界条件——静摩擦力恰好等于最大静摩擦力。因此，在处理动力学中有关弹力与摩擦力的临界问题时，一定要牢牢把握两者的临界条件，运用平行四边形定则与牛顿第二定律，适当时候可以采用整体法和隔离法联立求解。
参考文献：
[1]张大昌，张维善.物理1[M].北京：人民教育出版社，2010.
[2]魏胜利.转盘上的物体所受静摩擦力分析[J].物理教学探讨，2014，（8）：34.
[3]钟月锋.动力学中一类临界问题[J].物理教学探讨，2014，（8）：50.（栏目编辑 罗琬华）