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【摘要】“植树问题”具有很强的数学思维和探究空间。本节课，笔者利用学生已有知识，从除法意义入手引申植树问题，并让学生经历探究过程，借助图示解读点段的对应关系，体会“一一对应”的思想，建立植树模型，取得了良好的教学效果。
【关键词】植树问题化繁为简一一对应数量关系建构模型
“植树问题”是人教版《义务教育教科书·数学》五年级上册“数学广角”的教学内容，虽有很多优秀教学设计，但在这些经典设计中，不同的课堂上却出现了类似的问题：① 尝试画图时学生出现图与信息不对应或无从下手等问题；② 综合运用时不能灵活运用植树模型解决问题，只是套用公式。为了对“植树问题”的教学有一个准确的定位，笔者在课前查阅了大量的资料，并把这些心得应用于教学实践中，取得了令人满意的教学效果。
【片段一】 利用除法意义突出数量关系
1. 20米路，每5米分一段，一共分了几段？
2. 30米长的绳子，剪成6米一段，一共可以剪几段？
师：怎样求出段数？为什么要用除法来做？
总结并板书：总长度÷每段长度=段数。
【设计意图：学生的已有知识，是教学的起点。本环节笔者设计了几个求段数的除法问题，直接从除法的意义入手，结合学生已有的知识基础和生活经验，从除法问题引申出植树问题。】
【片段二】 基于“段数”，探究新知
1. 出示问题，理解题意。
（1） 课件出示题目：植树队要在全长1000米的马路一边植树，每隔5米种一棵树。一共需要多少棵？
（2） 理解题意。
师：每隔5米种一棵是什么意思？
生：两棵树之间的距离是5米。
师：你能画一画，让大家看明白吗？
学生示范，接着教师演示课件：一棵树，一个5米的间隔，再出示一棵树。
2. 尝试解答，提出设想。
（1） 请你猜一猜，一共需要种几棵树？
生1：20棵。
生2：19棵。
生3：21棵。
师：看来，同学们有不同的想法，到底哪种是正确的呢？我们怎样去验证？
生：我们可以画图。
课件根据学生描述演示情境图动态生成线段图。
师：怎么画？你来说我来画。现在种了几米？
生：25米。
师：种完了吗？
生：没有。
师：要把1000米种完，你觉得怎么样？
生：太麻烦了。
师：是的，1000米太长了，研究起来不方便，怎样才能使我们的研究更方便呢？
生：可以将路缩短一些。
师：真是个好办法，从小数据入手，探讨出规律，然后用规律来解决数据大的问题。这种思想也就是我们数学上常用的“以大见小”的思想不谋而合。那你想将路缩短到多少米长来研究？
学生自由回答。
师：接下来，就用你们的方法，将路缩短到20米来研究，看看植树问题有没有规律？
【设计意图：数学思想方法是数学的生命和灵魂，是数学知识的精髓，是把知识转化为能力的桥梁。本环节通过开放的问题情境，让学生猜一猜一共需要几棵树，接着学生自然产生用画线段等方法验证猜想的想法，教师顺应学生的思维，采用课件演示，使学生直观地感受到“1000米”这个数据太大，画起来麻烦，引起学生化繁为简、探究规律的欲望，从而体现化繁为简的数学思想与研究策略。】
3. 探究规律构建模型。
让学生利用画图的方法研究“在全长20米的马路一边植树，每隔5米种一棵树，一共需要多少棵？”的植树情况。
（1） 展示学生三种不同的图示。
（2） 共同研究“两端都栽”。
师：我们先来看看这种情况。你是怎样画图的？
生1：先种一棵树隔5米再种一棵，再隔5米再种一棵，一直到种了20米，一共种了5棵。
生2：20米，每隔5米种一棵，20里面有4个5米，20÷5=4两端都种所以要种5棵。
师：这里的20和5分别表示什么？4呢？
生：20表示路的总长是20米，5就是每隔5米种一棵，也就是每段长度，4表示有这样的4段。
师：4段栽了几棵树？
生：5棵树。
（3） 引导比较，进行梳理。
师：比较“在全长20米的马路一边植树，每隔5米种一棵树。一共需要多少棵？”和“20米路，每5米分一段，一共分了几段？”这两题，有什么相同的地方？
生：都是20米。
生：都有算式：20÷5=4。
师：为什么都要用除法计算？
生：因为都是把总长20米，5米一段进行平均分。
师：不一样的是什么？
生：第二个问题还要加1。
师：既然两题都是平均分成4段，为什么这里要再加1呢？
生：因为两端都要种。
师：两端都要种，那为什么不加2而加1呢？
（4） 把现实世界中的“树”和“间隔”抽象看成“点”和“段”。
同学们，平均分是一段一段分的，但是我们种树的时候是种在哪里的？（种在点上）。
（5） 以“一一对应”为基础，再次借助线段图建构“点段关系”。
这里点和段之间有什么关系？根据学生回答，完成下列线段图。
师：是的，一个点对应一个段，一个点对应一个段，4个点对应了4个段，最后还多出一个点，所以要加1。 （6） 学生借助线段图分析只种一端和两端都不种的情况。
……
【设计意图：授人以鱼不如授人以渔。本环节主要想利用图示，重点解读点段的对应关系，体会“一一对应”的思想，把抽象的思维过程形象直观化，为构建植树问题的数学模型夯实基础。】
4. 对比异同整体构建。
师：同一道题目，有三种不同的栽法，这三种情况，有什么相同之处？
生：都是先算20÷5。
师：20÷5表示什么？（段数）
师：那这三种情况有什么不同之处呢？
学生分析三种情况树与段数之间的关系。
师：看来要解决植树问题，准确地找到段数是关键所在。
……
【设计意图：通过植树问题三种情况的比较，准确地认识到树的棵数变化的原因，让学生从中发现规律，抽取其中的数学模型，使“植树问题”的数学模型真正根植于学生的内心，而非简单的被动记忆，促使学生形成比较完善的认知结构。】
【且听我们论道】
一、 整体构建知识体系
教材是学习材料的文本体现，是一个载体，需要我们教师认真研读、感悟、领会。教师解读教材有多深，就决定他的学生在课堂上走多远。本节课笔者对教材进行了整合，将“两端都种”这个条件舍去，促使学生主动联系生活实际，发现植树中遇到的具体情况，再以学生熟知的“段数”入手，重点分析“两端都种”的植树情况，再利用迁移规律以点带面，整体构建植树问题的知识体系。这样的教学有利于让学生从整体上加以比较，通过对比认识，沟通这三种情况的联系，促进相互理解，使学生从潜移默化中感受到点段之间的联系，获得比较完整的认知结构，遵循了知识的生成原理，有利于学生从整体上理解、宏观上把握解决植树问题的思想方法。
二、 准确把握教学起点
《数学课程标准》指出：“数学的教学过程，是一个以学生已有知识和经验为基础的主动建构过程。”本节课笔者利用学生已有的知识经验，直接从除法的意义入手，从除法问题引申出植树问题，并通过比较分析，让学生认识到“植树问题”只是除法意义在生活中的延伸，明白“植树问题”其实只是点和段之间的问题，这样既减轻了学生理解“间隔数”的困难，又避免了“间隔”这个词与生活中的“间隔”相混淆，符合学生的知识与生活经验，体现“以学定教”的精髓。
三、 渗透思想授人以渔
数学思想方法是数学的灵魂和精髓，不管是数学概念的建立、规律的发现，还是数学问题的解决，乃至整个数学大厦的构建，其核心问题在于数学思想方法的培养和建立。因此，教学中，我们不仅要重视知识形成过程，还要重视挖掘在数学知识的发生、形成和发展过程中所蕴藏的重要思想方法。传统教法，教师往往把本节课的着眼点放在对规律发现后的棵数与间隔数之间的数量关系的掌握上，学生死记硬背数量关系式，这样的目标定位造成学生严重的认知负荷。本节课，笔者设计一系列合理有效的教学活动引导学生经历数学建模的整个过程，把教材体系中“知识”与“思想”这一明一暗两条线完美糅合。首先，笔者让学生以猜一猜的形式，对例题做初步的猜测，引发认知冲突，在此基础上引导学生认识到为了便于研究可以把复杂问题简单化，渗透化繁为简的数学思想。在建构植树模型时，笔者先指导学生整体理解题意，再把现实世界中的“树”和“间隔”抽象看成“点”和“段”，利用画图的方式建构“点段”关系。再通过对比构建植树问题的基本模型：总长度÷间距=段数，至于棵树是否等于段数，或是否加减1，需具体情况具体分析。
笔者期望，当学生离开教室时，留在学生脑中印象最深的是“一一对应”“化繁为简”“植树模型”等数学思想方法，这才是“植树问题”真正的教学价值所在。
【关键词】植树问题化繁为简一一对应数量关系建构模型
“植树问题”是人教版《义务教育教科书·数学》五年级上册“数学广角”的教学内容，虽有很多优秀教学设计，但在这些经典设计中，不同的课堂上却出现了类似的问题：① 尝试画图时学生出现图与信息不对应或无从下手等问题；② 综合运用时不能灵活运用植树模型解决问题，只是套用公式。为了对“植树问题”的教学有一个准确的定位，笔者在课前查阅了大量的资料，并把这些心得应用于教学实践中，取得了令人满意的教学效果。
【片段一】 利用除法意义突出数量关系
1. 20米路，每5米分一段，一共分了几段？
2. 30米长的绳子，剪成6米一段，一共可以剪几段？
师：怎样求出段数？为什么要用除法来做？
总结并板书：总长度÷每段长度=段数。
【设计意图：学生的已有知识，是教学的起点。本环节笔者设计了几个求段数的除法问题，直接从除法的意义入手，结合学生已有的知识基础和生活经验，从除法问题引申出植树问题。】
【片段二】 基于“段数”，探究新知
1. 出示问题，理解题意。
（1） 课件出示题目：植树队要在全长1000米的马路一边植树，每隔5米种一棵树。一共需要多少棵？
（2） 理解题意。
师：每隔5米种一棵是什么意思？
生：两棵树之间的距离是5米。
师：你能画一画，让大家看明白吗？
学生示范，接着教师演示课件：一棵树，一个5米的间隔，再出示一棵树。
2. 尝试解答，提出设想。
（1） 请你猜一猜，一共需要种几棵树？
生1：20棵。
生2：19棵。
生3：21棵。
师：看来，同学们有不同的想法，到底哪种是正确的呢？我们怎样去验证？
生：我们可以画图。
课件根据学生描述演示情境图动态生成线段图。
师：怎么画？你来说我来画。现在种了几米？
生：25米。
师：种完了吗？
生：没有。
师：要把1000米种完，你觉得怎么样？
生：太麻烦了。
师：是的，1000米太长了，研究起来不方便，怎样才能使我们的研究更方便呢？
生：可以将路缩短一些。
师：真是个好办法，从小数据入手，探讨出规律，然后用规律来解决数据大的问题。这种思想也就是我们数学上常用的“以大见小”的思想不谋而合。那你想将路缩短到多少米长来研究？
学生自由回答。
师：接下来，就用你们的方法，将路缩短到20米来研究，看看植树问题有没有规律？
【设计意图：数学思想方法是数学的生命和灵魂，是数学知识的精髓，是把知识转化为能力的桥梁。本环节通过开放的问题情境，让学生猜一猜一共需要几棵树，接着学生自然产生用画线段等方法验证猜想的想法，教师顺应学生的思维，采用课件演示，使学生直观地感受到“1000米”这个数据太大，画起来麻烦，引起学生化繁为简、探究规律的欲望，从而体现化繁为简的数学思想与研究策略。】
3. 探究规律构建模型。
让学生利用画图的方法研究“在全长20米的马路一边植树，每隔5米种一棵树，一共需要多少棵？”的植树情况。
（1） 展示学生三种不同的图示。
（2） 共同研究“两端都栽”。
师：我们先来看看这种情况。你是怎样画图的？
生1：先种一棵树隔5米再种一棵，再隔5米再种一棵，一直到种了20米，一共种了5棵。
生2：20米，每隔5米种一棵，20里面有4个5米，20÷5=4两端都种所以要种5棵。
师：这里的20和5分别表示什么？4呢？
生：20表示路的总长是20米，5就是每隔5米种一棵，也就是每段长度，4表示有这样的4段。
师：4段栽了几棵树？
生：5棵树。
（3） 引导比较，进行梳理。
师：比较“在全长20米的马路一边植树，每隔5米种一棵树。一共需要多少棵？”和“20米路，每5米分一段，一共分了几段？”这两题，有什么相同的地方？
生：都是20米。
生：都有算式：20÷5=4。
师：为什么都要用除法计算？
生：因为都是把总长20米，5米一段进行平均分。
师：不一样的是什么？
生：第二个问题还要加1。
师：既然两题都是平均分成4段，为什么这里要再加1呢？
生：因为两端都要种。
师：两端都要种，那为什么不加2而加1呢？
（4） 把现实世界中的“树”和“间隔”抽象看成“点”和“段”。
同学们，平均分是一段一段分的，但是我们种树的时候是种在哪里的？（种在点上）。
（5） 以“一一对应”为基础，再次借助线段图建构“点段关系”。
这里点和段之间有什么关系？根据学生回答，完成下列线段图。
师：是的，一个点对应一个段，一个点对应一个段，4个点对应了4个段，最后还多出一个点，所以要加1。 （6） 学生借助线段图分析只种一端和两端都不种的情况。
……
【设计意图：授人以鱼不如授人以渔。本环节主要想利用图示，重点解读点段的对应关系，体会“一一对应”的思想，把抽象的思维过程形象直观化，为构建植树问题的数学模型夯实基础。】
4. 对比异同整体构建。
师：同一道题目，有三种不同的栽法，这三种情况，有什么相同之处？
生：都是先算20÷5。
师：20÷5表示什么？（段数）
师：那这三种情况有什么不同之处呢？
学生分析三种情况树与段数之间的关系。
师：看来要解决植树问题，准确地找到段数是关键所在。
……
【设计意图：通过植树问题三种情况的比较，准确地认识到树的棵数变化的原因，让学生从中发现规律，抽取其中的数学模型，使“植树问题”的数学模型真正根植于学生的内心，而非简单的被动记忆，促使学生形成比较完善的认知结构。】
【且听我们论道】
一、 整体构建知识体系
教材是学习材料的文本体现，是一个载体，需要我们教师认真研读、感悟、领会。教师解读教材有多深，就决定他的学生在课堂上走多远。本节课笔者对教材进行了整合，将“两端都种”这个条件舍去，促使学生主动联系生活实际，发现植树中遇到的具体情况，再以学生熟知的“段数”入手，重点分析“两端都种”的植树情况，再利用迁移规律以点带面，整体构建植树问题的知识体系。这样的教学有利于让学生从整体上加以比较，通过对比认识，沟通这三种情况的联系，促进相互理解，使学生从潜移默化中感受到点段之间的联系，获得比较完整的认知结构，遵循了知识的生成原理，有利于学生从整体上理解、宏观上把握解决植树问题的思想方法。
二、 准确把握教学起点
《数学课程标准》指出：“数学的教学过程，是一个以学生已有知识和经验为基础的主动建构过程。”本节课笔者利用学生已有的知识经验，直接从除法的意义入手，从除法问题引申出植树问题，并通过比较分析，让学生认识到“植树问题”只是除法意义在生活中的延伸，明白“植树问题”其实只是点和段之间的问题，这样既减轻了学生理解“间隔数”的困难，又避免了“间隔”这个词与生活中的“间隔”相混淆，符合学生的知识与生活经验，体现“以学定教”的精髓。
三、 渗透思想授人以渔
数学思想方法是数学的灵魂和精髓，不管是数学概念的建立、规律的发现，还是数学问题的解决，乃至整个数学大厦的构建，其核心问题在于数学思想方法的培养和建立。因此，教学中，我们不仅要重视知识形成过程，还要重视挖掘在数学知识的发生、形成和发展过程中所蕴藏的重要思想方法。传统教法，教师往往把本节课的着眼点放在对规律发现后的棵数与间隔数之间的数量关系的掌握上，学生死记硬背数量关系式，这样的目标定位造成学生严重的认知负荷。本节课，笔者设计一系列合理有效的教学活动引导学生经历数学建模的整个过程，把教材体系中“知识”与“思想”这一明一暗两条线完美糅合。首先，笔者让学生以猜一猜的形式，对例题做初步的猜测，引发认知冲突，在此基础上引导学生认识到为了便于研究可以把复杂问题简单化，渗透化繁为简的数学思想。在建构植树模型时，笔者先指导学生整体理解题意，再把现实世界中的“树”和“间隔”抽象看成“点”和“段”，利用画图的方式建构“点段”关系。再通过对比构建植树问题的基本模型：总长度÷间距=段数，至于棵树是否等于段数，或是否加减1，需具体情况具体分析。
笔者期望，当学生离开教室时，留在学生脑中印象最深的是“一一对应”“化繁为简”“植树模型”等数学思想方法，这才是“植树问题”真正的教学价值所在。