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高三复习课上，我从一道习题的解答过程中，发现学生出现的典型错误，通过纠正错误帮助学生从多个角度入手寻找解决问题的相关方法，训练了学生的发散性思维，开启了智慧.
题目已知x,y>0,且1x+9y=1，求x+y的最小值.
在辅导时发现有近一半的学生解答如下：
误解：1=1x+9y≥6xy（当且仅当1x=9y时取等号）①, 所以xy≥6.因为x+y≥2xy（当且仅当x=y时取等号）②,所以x+y≥12.
所以x+y的最小值为12.
基本不等式的应用要求可用口决：“一正、二定、三相等”.在上述解答中，①②两处都用到了基本不等式，这时应考虑等号成立的条件：在①处，等号成立的条件是1x=9y.，即x=2，y=18；在②处，等号成立的条件是x=y.由此可知，两处等号成立的条件不一致，即两处等号不能够同时取得，显然最后的等号也是不能成立的.
一、另僻奚径，一题多解
解法1：“1”的代换
因为1x+9y=1,
所以x+y=(x+y)(1x+9y)=10+yx+9xy≥10+2×3=16（当且仅当yx=9xy时取等号） .
所以x+y的最小值为16.
解法2：消元后利用均值不等式.
由1x+9y=1，得y=9+9x-1(x>1),
所以x+y=x+9+9x-1=10+(x-1)+9x-1≥16.
所以x+y的最小值为16.
解法3：消元后用导数法
z=x+y=x+9+9x-1(x>1).
令z′=0，得x=4此时y=12.
所以x+y的最小值为16.
解法4：导数法
y=9+9x-1,所以y′=-9(x-1)2.
令y′=-1即-9(x-1)2=-1，解得x=4，此时y=12.
所以x+y的最小值为16.
解法5：柯西不等式法
因为 x,y>0,
(x+y)(1x+9y)≥(1xx+3yy)2,
所以(x+y)≥(1+3)2=16.
所以x+y的最小值为16.
解法6：向量法
令a=(1x,3y),b=(x,y).
因为|a|2|b|2≥(a•b)2,
所以(x+y)(1x+9y)≥(1xx+3yy)2,
所以(x+y)≥(1+3)2=16.
所以x+y的最小值为16.
解法7：三角代换法
令1x=cos2θ,9y=sin2θ,所以x=1cos2θ,y=9sin2θ.
x+y=1cos2θ+9sin2θ=(1cos2θ+9sin2θ)(sin2θ+cos2θ)=10+sin2θcos2θ+9cos2θsin2θ≥16,
所以x+y 的最小值为16.
解法8：公差法
由1x+9y=1，得1x,12,9y成等差数列，
令1x=12-d,9y=12+d,-12 得x=112-d,y=912+d.
所以x+y=112-d+912+d=(11-2d+91+2d)［(1-2d)+(1+2d)］=(1+2d1-2d+9(1-2d)1+2d+10≥16.
所以x+y的最小值为16.
解法九：分式代换法由 ，可令 ， 则 ， 所以所以 的最小值为16.法十：判别式法由 ，其中得 ，令 ，则所以解得 或 （舍去） 所以 的最小值为16.法十一：构造 的不等式法由 ，得所以 所以 的最小值为16.二、多题同源，精彩纷呈
作为数学的学习与研究．如果仅仅停留在把题目答案找出来，其实是远远不够的．为解题而解题，学生数学思维能力和认知很难得到有效提高．在数学复习教学中，要避免让学生去做大量繁而难的练习，经常对题目进行变式或对同一个问题背景的题目进行总结和归纳．从历年各省、市的学业考试试题来看，绝大多数的题目都“似曾相识”，仔细分析它们都来自于同一个问题，只是呈现方式不同，变了载体或者换了载体罢了，即＂多题同源＂．
1.单一载体
（1）以直线为载体
例1点A(a,b)为第一象限内的点，且在直线x+y=1上，则1a+4b的最小值为.
分析:解此题的关键是如何将隐含在背景条件中的数学模型化问题提取出来，这里由于第一象限的A(a,b)在直线x+y=1上，因此得到a+b=1(a>0,b>0)，所以问题的本质就是已知a+b=1(a>0,b>0),求1a+4b的最小值,答案为9.
（2）以数列为载体
例2已知a>0,b>0,12是a,b的等差中项，则1a+4b的最小值.
分析:本题的难度不大，利用等差中项的性质可知a+b=1(a>0,b>0).
例3若a>0,b>0，若3是3a与3b的等比中项，则1a+4b的最小值为.
分析:利用等比中项的性质可知3a•3b=(3)2，即a+b=1(a>0,b>0).
（3）以平面向量为载体
例4已知a>0,b>0 ，向量m=(a,1),n=(1,b-1),若m⊥n则1a+4b的最小值.
分析:由m⊥n可得，a+b-1=0即a+b=1.
（4）以不等式为载体
例5已知不等式ax2+(b-1)x+c>0(b>0)的解集为{x|x<-1或x>2}，则1a+4b的最小值.
分析:由已知得：-1和2是方程ax2+(b-1)x+c=0的两根，且a>0,利用根与系数的关系有1=-b-1a,即a+b=1.
（5）以线性规划为载体
例6设x,y满足约束条件3x-y-60,
x-y+2≥0,
x≥0,
y≥0,若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为12，则1a+4b的最小值为.
图1分析:画出可行域,如图1. 当过点A(4,6)时，目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值，所以有2a+3b=6(a>0,b>0)．答案为25/6.
2.多个载体
（1）以圆、直线为载体
例7已知圆x2+y2-2x-6y+1=0关于直线3ax+by-3=0(a,b>0)对称，则1a+4b的最小值.
分析:当你面对一个陌生问题而感到无从下手时，最好的办法就是从条件出发，直译条件，把条件进行化简化归，去伪存真．圆关于直线对称，则直线一定过圆的圆心，圆的方程可化为(x-1)2+(y-3)2=9，由此可得圆心(1,3)，所以本题的条件实际上是a+b=1(a,b>0).
例8直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则1a+4b的最小值.
分析:圆的方程可化为(x+1)2+(y-2)2=4，所以圆心为（-1，2），半径r=2.因为直线被圆截得的弦长为4，所以圆心在直线上，即a+b=1(a,b>0).
（2）以平面向量、三角形为载体
例9已知M是△ABC内的一点，且AB•AC=33,∠BAC=30°,若△MBC、△MCA、△MAB的面积分别为12，a,b,则1a+4b的最小值.
分析:由AB•AC=33, ∠BAC=30°,得|AB||AC|=6.
所以S△ABC=12|AB||AC|sin30°=12×6×12=32，所以a+b+12=32,即a+b=1(a>0,b>0).例10函数y=a1-x(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny-1=0上，其中mn>0，则1m+4n的最小值.
分析:函数y=ax的图象恒过定点(0,1),则点A的坐标为(1,1).又点A在直线mx+ny-1=0，所以有m+n=1,mn>0.
例如：函数 的图象恒过点 ，若点 在直线 分析 函数 的图象恒过定点 ,则点A的坐标为 ,又点 在直线,所以有 ,数学知识的传授当然离不开解题．但题不在多，而是如何将题目作用发挥到极致，让学生在“一题多解，多题同源”的过程中透过问题现象看清问题的本质，体会问题中所蕴含的数学思想与数学方法，即找到问题的“源”．
题目已知x,y>0,且1x+9y=1，求x+y的最小值.
在辅导时发现有近一半的学生解答如下：
误解：1=1x+9y≥6xy（当且仅当1x=9y时取等号）①, 所以xy≥6.因为x+y≥2xy（当且仅当x=y时取等号）②,所以x+y≥12.
所以x+y的最小值为12.
基本不等式的应用要求可用口决：“一正、二定、三相等”.在上述解答中，①②两处都用到了基本不等式，这时应考虑等号成立的条件：在①处，等号成立的条件是1x=9y.，即x=2，y=18；在②处，等号成立的条件是x=y.由此可知，两处等号成立的条件不一致，即两处等号不能够同时取得，显然最后的等号也是不能成立的.
一、另僻奚径，一题多解
解法1：“1”的代换
因为1x+9y=1,
所以x+y=(x+y)(1x+9y)=10+yx+9xy≥10+2×3=16（当且仅当yx=9xy时取等号） .
所以x+y的最小值为16.
解法2：消元后利用均值不等式.
由1x+9y=1，得y=9+9x-1(x>1),
所以x+y=x+9+9x-1=10+(x-1)+9x-1≥16.
所以x+y的最小值为16.
解法3：消元后用导数法
z=x+y=x+9+9x-1(x>1).
令z′=0，得x=4此时y=12.
所以x+y的最小值为16.
解法4：导数法
y=9+9x-1,所以y′=-9(x-1)2.
令y′=-1即-9(x-1)2=-1，解得x=4，此时y=12.
所以x+y的最小值为16.
解法5：柯西不等式法
因为 x,y>0,
(x+y)(1x+9y)≥(1xx+3yy)2,
所以(x+y)≥(1+3)2=16.
所以x+y的最小值为16.
解法6：向量法
令a=(1x,3y),b=(x,y).
因为|a|2|b|2≥(a•b)2,
所以(x+y)(1x+9y)≥(1xx+3yy)2,
所以(x+y)≥(1+3)2=16.
所以x+y的最小值为16.
解法7：三角代换法
令1x=cos2θ,9y=sin2θ,所以x=1cos2θ,y=9sin2θ.
x+y=1cos2θ+9sin2θ=(1cos2θ+9sin2θ)(sin2θ+cos2θ)=10+sin2θcos2θ+9cos2θsin2θ≥16,
所以x+y 的最小值为16.
解法8：公差法
由1x+9y=1，得1x,12,9y成等差数列，
令1x=12-d,9y=12+d,-12
所以x+y=112-d+912+d=(11-2d+91+2d)［(1-2d)+(1+2d)］=(1+2d1-2d+9(1-2d)1+2d+10≥16.
所以x+y的最小值为16.
解法九：分式代换法由 ，可令 ， 则 ， 所以所以 的最小值为16.法十：判别式法由 ，其中得 ，令 ，则所以解得 或 （舍去） 所以 的最小值为16.法十一：构造 的不等式法由 ，得所以 所以 的最小值为16.二、多题同源，精彩纷呈
作为数学的学习与研究．如果仅仅停留在把题目答案找出来，其实是远远不够的．为解题而解题，学生数学思维能力和认知很难得到有效提高．在数学复习教学中，要避免让学生去做大量繁而难的练习，经常对题目进行变式或对同一个问题背景的题目进行总结和归纳．从历年各省、市的学业考试试题来看，绝大多数的题目都“似曾相识”，仔细分析它们都来自于同一个问题，只是呈现方式不同，变了载体或者换了载体罢了，即＂多题同源＂．
1.单一载体
（1）以直线为载体
例1点A(a,b)为第一象限内的点，且在直线x+y=1上，则1a+4b的最小值为.
分析:解此题的关键是如何将隐含在背景条件中的数学模型化问题提取出来，这里由于第一象限的A(a,b)在直线x+y=1上，因此得到a+b=1(a>0,b>0)，所以问题的本质就是已知a+b=1(a>0,b>0),求1a+4b的最小值,答案为9.
（2）以数列为载体
例2已知a>0,b>0,12是a,b的等差中项，则1a+4b的最小值.
分析:本题的难度不大，利用等差中项的性质可知a+b=1(a>0,b>0).
例3若a>0,b>0，若3是3a与3b的等比中项，则1a+4b的最小值为.
分析:利用等比中项的性质可知3a•3b=(3)2，即a+b=1(a>0,b>0).
（3）以平面向量为载体
例4已知a>0,b>0 ，向量m=(a,1),n=(1,b-1),若m⊥n则1a+4b的最小值.
分析:由m⊥n可得，a+b-1=0即a+b=1.
（4）以不等式为载体
例5已知不等式ax2+(b-1)x+c>0(b>0)的解集为{x|x<-1或x>2}，则1a+4b的最小值.
分析:由已知得：-1和2是方程ax2+(b-1)x+c=0的两根，且a>0,利用根与系数的关系有1=-b-1a,即a+b=1.
（5）以线性规划为载体
例6设x,y满足约束条件3x-y-60,
x-y+2≥0,
x≥0,
y≥0,若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为12，则1a+4b的最小值为.
图1分析:画出可行域,如图1. 当过点A(4,6)时，目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值，所以有2a+3b=6(a>0,b>0)．答案为25/6.
2.多个载体
（1）以圆、直线为载体
例7已知圆x2+y2-2x-6y+1=0关于直线3ax+by-3=0(a,b>0)对称，则1a+4b的最小值.
分析:当你面对一个陌生问题而感到无从下手时，最好的办法就是从条件出发，直译条件，把条件进行化简化归，去伪存真．圆关于直线对称，则直线一定过圆的圆心，圆的方程可化为(x-1)2+(y-3)2=9，由此可得圆心(1,3)，所以本题的条件实际上是a+b=1(a,b>0).
例8直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则1a+4b的最小值.
分析:圆的方程可化为(x+1)2+(y-2)2=4，所以圆心为（-1，2），半径r=2.因为直线被圆截得的弦长为4，所以圆心在直线上，即a+b=1(a,b>0).
（2）以平面向量、三角形为载体
例9已知M是△ABC内的一点，且AB•AC=33,∠BAC=30°,若△MBC、△MCA、△MAB的面积分别为12，a,b,则1a+4b的最小值.
分析:由AB•AC=33, ∠BAC=30°,得|AB||AC|=6.
所以S△ABC=12|AB||AC|sin30°=12×6×12=32，所以a+b+12=32,即a+b=1(a>0,b>0).例10函数y=a1-x(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny-1=0上，其中mn>0，则1m+4n的最小值.
分析:函数y=ax的图象恒过定点(0,1),则点A的坐标为(1,1).又点A在直线mx+ny-1=0，所以有m+n=1,mn>0.
例如：函数 的图象恒过点 ，若点 在直线 分析 函数 的图象恒过定点 ,则点A的坐标为 ,又点 在直线,所以有 ,数学知识的传授当然离不开解题．但题不在多，而是如何将题目作用发挥到极致，让学生在“一题多解，多题同源”的过程中透过问题现象看清问题的本质，体会问题中所蕴含的数学思想与数学方法，即找到问题的“源”．