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摘要：教学主线是教者在反复钻研教材的基础上形成的比较成熟的教学思路，是围绕教学重点目标铺设的、贯穿课堂教学首尾的主要发展脉络，凡是成功的课堂教学必定有一条十分清晰的主线，凡是不成功的课堂教学必定是主线不明或思路混乱。
关键词：问题；变式；情境；本质
弗赖登塔尔(Hans Freudenthal)说过：人们用数学的方法观察现实世界，分析研究各种具体现象，并加以整理组织，以发现其规律，这个过程就是数学化，简单地说，数学地组织现实世界的过程就是数学化，数学教育应当以“数学”内容为核心，数学课堂教学的优劣应当以学生是否能学好数学为依托，教学手段必须为数学内容服务，数学教学的设计核心是如何体现“数学的本质”、“精中求简”、“返璞归真”，呈现数学特有的“教育形态”，教学主线承载着教学内容，可以从多种形式贯穿：本文就从以下几方面：以问题为主线，以变式为主线，以情境为主线。以本质为主线等进行阐述。
一、以问题为主线——“步步为营”
问题是数学的心脏，数学知识的发生，发展，乃至理解、运用，都离不开数学问题的介入、引申，适当通过讲数学故事、设置问题悬念、多媒体动态演示等手段，生动、直观、形象地呈现问题，引发学生的学习兴趣、认知冲突和探究的欲望，——省学科教学建议。
案例合并同类项
已知多项式：2x2＋3x＋x2－3x2－2x＋2。
(1)当x＝0时。值为多少?
(2)当x＝1时，值为多少?
对于多项式：2x2＋3x＋x2－3x2－2x＋2，学生还在一一用计算器算，师：能快速算出吗?
学生举出当x取不同值时，老师依然说能很快算出，为什么会算得这么快?
师：怎样才能算得更快呢?(从而引出课题)
师：为什么会算得这么快?无论x取何值，加上2即可。
怎样才能算得更快呢?
评析“合并同类项”是给多项式减肥，能使运算更简便!本堂课就紧紧的围绕着问题的提出，问题的认识，问题的分析，问题的解决进行，当问题再次展出时学生就能轻易求解，整堂课也就圆满地画上了句号，这让我想起波利亚所说：学习任何知识的最佳途径是自己去发现，因为这种发现理解最深刻，一颗数学思维的种子，不管我们是有心还是无意，只要播进了学生的心田，它就会以别人难以感知的方式存活、生长起来，而且，它的果实会成倍地膨胀，透过习以为常的现象，我们是否该再次认真思考——何为“数学”?何为“有用的数学”?我想从上述片断中已作了绝妙的诠释。
二、以变式为主线——“引人入胜”
变式的练习更有利于培养学生的创新思维和拓展能力，提高其对知识举一反三，独立运用的能力，——省学科教学建议
我们又该如何有针对性地上好一堂复习课?复习时做题不能一头扎进题海中，只为做题而做题。所谓做十题不如钻一题，应该充分挖掘每一个题潜在的功能，进行变式拓展，对典型的例、习题要认真探索一题多解、一题多变、一图多用、一题多思，等等，做到解题后勤反思，掌握通法，熟练提高常规题的解答速度，确保准确率，对例习题作适当变式，让学生练习，尝试举一反三。
一堂复习课就是围绕着拿出基本模型，接着通过变式，或变条件，或变结论等贯穿整堂课。
案例如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与G，D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE，我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：
(1)①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：
②将图1中的正方形CEFG绕着点c按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形，请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断。
变式1：改变条件，挖掘内在联系
如图4，分别以AABC的边AB，AC为一边向外作正三角形ABD和正三角形ACE，连接CD，BE。
(1)求证：BE＝DC
(2)求直线猜想CD与直线BE的夹角。
评析万变不离其宗，揭示问题的实质；通过变式题使知识进一步理解和内化，培养思维的准确性，提高解决问题的能力以及应变能力。
变式2：根据结论，探究条件
在AABC中，分别以AB，AC，BC为边在BC的同侧作等边三角形ABD，ACE，BCF。
(1)求证：四边形DAEF是平行四边形。
(2)探究下列问题
①当△ABC满足什么条件时，四边形DAEF是矩形?
②当AABC满足什么条件时，四边形DAEF是菱形?
③当△ABC满足什么条件时，以D，A，E，F为顶点的四边形不存在?
评析此题考查知识点丰富，培养了学生思维的全面性与创新性，空间想象能力、邏辑推理能力：渗透了“分类与转化”的数学思想方法，同时也体现数学的整体性，正如张奠宙教授的比喻：教师充当导游的角色，拿着旗子在前面喊，一队学生跟在后面走，学生必须细听讲解，而无法停下脚步按照要求进行观赏，用自己的头脑进行思考，学生的学习只是走马观花，没有切身体验教学效果，往往只停留于模仿和记忆上，创新性也就谈不上了，而试卷的每一个题都承载着考查相应的知识、技能、思想方法和应用能力的一种(单一的基础题)或几种(解答题、综合题)任务，试题可以下变万化，但所考查的内容却是规定的、有限的。我们应透过试题的表面，充分认识其本质，做到以不变应万变、以有限对无限，正如米山国藏(日本著名数学教育家，学者)指出：在学校学的数学知识，毕业后若没什么机会去用，一两年后，很快就忘掉了，然而，不管他们从事什么工作。唯有深深铭刻在心中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和看问题的着眼点等，却随时随地发生作用，使他们终生受益。
三、以情境为主线——“活化课堂”
“众里寻他千百度”生活味与数学味适度调剂——凸显数学本色用绝大多数学生熟悉的事例和能理解的问题引入新课，从数学在生产、生活及其他学科中的实际应用出发……激发学生探究的积极性，——省学科教学建议。
案例小红的爸爸因公出差，5天没回家，回家后一次撕下这5天的日历，这5天日期相加的和是90，小红的爸爸回家这天是几号?
90÷5＝18，16，17，18，19，20，
小红爸爸回家的这天是21号。
这5天会不会是月底和月初的5天呢?
28，29，30，1，2
28，29，30，31，32
90＋60＝150，150÷5＝30。中间的一个数是30。
小红爸爸回家这天是3号。
5天中一定是上月底3天，下月初2天吗?如果上个月是31天，如何使它变成5个连续自然数呢?和又增加了多少呢? 中间的一天又怎么求呢?……
评析课堂教学的重要特点是动态生成，预设是重要的，但预设再充分，也不可能预见课堂教学中所有可能发生的一切，而活动课应“活”而有度。如果对这道题枚举起来，不仅费时多，而且学生的“脑袋”也容纳不下，因此，以问促思，让学生头脑中留下一个解题思路，让学有余力的学生课后探求，课堂效率取得了最大化，要用学生的眼光去看生活。并从教学法的角度去加工原始素材，设计出一些可亲可敬的、更能表现“数学的文化价值”的数学情境，并以这些情境为主线去设计教学，必能充分调动学生原有的生活经验，激发由情境引起的数学意义的思考正如马克斯·凡·劳厄(德国物理学家，诺贝尔物理学奖获得者)也指出：教育的真谛是“所有学会的东西都忘却了以后仍然留下来的那些东西”。
四、以数学本质为主线——“美化课堂”
教师主导引领，课堂变成探究舞台，学生主体歌舞，数学活动与数学思维有效结合——提升数学本质首先，“活动教学”不应单纯理解为操作和实践活动。而应理解并更加注重“数学上的活动”，其次，教师要重视对操作活动的内化，数学的本质是数学教学目标和教学设计的灵魂，抓住了数学学科的本质等于抓住了教学内容的精髓，张奠宙说过：课堂教学中要揭示数学本质，数学本质其内涵是注重数学知识的内在联系，数学规律的形成过程，数学思想方法的提炼和数学理性精神的体验。
案例在学习工程问题时，我设计了这样一道习题：“数学课上，蒋老师让学生做一道应用题，但题目只写了‘学校需制作一块广告牌，请来两名工人，已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天……，于是蒋老师要求学生把留下的部分补齐，并进行解答，看谁的问题设计得既切合实际，又有深度?”
评析整堂课就围绕着这道题不同的条件设计并加以解决展开的，本题是一个条件和结论均开放的应用性问题，学生有着广阔的猜想、假设的空间，而这也是学生思维的难点，所以可通过小组合作学习的形式，展示各自的解题策略，同时又分享了别人的优点，能从多角度、多侧面寻找解题的途径，取得了很好的教学效果从学生实际出发，呈现学生熟悉的、简明的、有利于引向数学实质的问题，引导学生积极思考、探索，——省学科教学建议。
教师应在平时教学中提炼思想，告诉学生，使学生明白之其然而知其所以然的道理，弗赖登塔尔的名言是：与其说是学习数学，还不如说是学习“数学化”，他认为：人们运用数学的方法观察现实世界，分析研究各种具体现象，并加以整理组织，这个过程就是数学化，简单地说，數学地组织现实世界的过程就是数学化，也只有通过“数学化”的途径来进行数学教育，才能使学生真正获得充满着关系的、富有生命力的数学知识，使他们不仅理解这些知识，而且能够应用。
总之，突出主线，让数学思维自然地流淌，教师倾注激情，课堂变成诉情舞台，学生融合互动，唯有教师的高屋建瓴、渊博学识、机智创新、用心用功、执着追求，才有学生的群心涌动、豁然开朗、心灵性巧、乐在其中、回味无穷，也只有富有艺术的教育，才能彰显它生命的活力，才能展现出满园艳花竞相开放，浩荡长江百舸争流，高山流水源远流长。
参考文献：
[1]张奠宙，黄荣良，建设符合中国国情的合作学习[J]
[2]孙双金，《设计教学主线的艺术》
[3]荷·弗赖登塔尔，《作为教学任务的数学》《数学化》
[4]中华人民共和国教育部，全日制义务教育数学课程标准(实验稿)和《省学科教学建议》
关键词：问题；变式；情境；本质
弗赖登塔尔(Hans Freudenthal)说过：人们用数学的方法观察现实世界，分析研究各种具体现象，并加以整理组织，以发现其规律，这个过程就是数学化，简单地说，数学地组织现实世界的过程就是数学化，数学教育应当以“数学”内容为核心，数学课堂教学的优劣应当以学生是否能学好数学为依托，教学手段必须为数学内容服务，数学教学的设计核心是如何体现“数学的本质”、“精中求简”、“返璞归真”，呈现数学特有的“教育形态”，教学主线承载着教学内容，可以从多种形式贯穿：本文就从以下几方面：以问题为主线，以变式为主线，以情境为主线。以本质为主线等进行阐述。
一、以问题为主线——“步步为营”
问题是数学的心脏，数学知识的发生，发展，乃至理解、运用，都离不开数学问题的介入、引申，适当通过讲数学故事、设置问题悬念、多媒体动态演示等手段，生动、直观、形象地呈现问题，引发学生的学习兴趣、认知冲突和探究的欲望，——省学科教学建议。
案例合并同类项
已知多项式：2x2＋3x＋x2－3x2－2x＋2。
(1)当x＝0时。值为多少?
(2)当x＝1时，值为多少?
对于多项式：2x2＋3x＋x2－3x2－2x＋2，学生还在一一用计算器算，师：能快速算出吗?
学生举出当x取不同值时，老师依然说能很快算出，为什么会算得这么快?
师：怎样才能算得更快呢?(从而引出课题)
师：为什么会算得这么快?无论x取何值，加上2即可。
怎样才能算得更快呢?
评析“合并同类项”是给多项式减肥，能使运算更简便!本堂课就紧紧的围绕着问题的提出，问题的认识，问题的分析，问题的解决进行，当问题再次展出时学生就能轻易求解，整堂课也就圆满地画上了句号，这让我想起波利亚所说：学习任何知识的最佳途径是自己去发现，因为这种发现理解最深刻，一颗数学思维的种子，不管我们是有心还是无意，只要播进了学生的心田，它就会以别人难以感知的方式存活、生长起来，而且，它的果实会成倍地膨胀，透过习以为常的现象，我们是否该再次认真思考——何为“数学”?何为“有用的数学”?我想从上述片断中已作了绝妙的诠释。
二、以变式为主线——“引人入胜”
变式的练习更有利于培养学生的创新思维和拓展能力，提高其对知识举一反三，独立运用的能力，——省学科教学建议
我们又该如何有针对性地上好一堂复习课?复习时做题不能一头扎进题海中，只为做题而做题。所谓做十题不如钻一题，应该充分挖掘每一个题潜在的功能，进行变式拓展，对典型的例、习题要认真探索一题多解、一题多变、一图多用、一题多思，等等，做到解题后勤反思，掌握通法，熟练提高常规题的解答速度，确保准确率，对例习题作适当变式，让学生练习，尝试举一反三。
一堂复习课就是围绕着拿出基本模型，接着通过变式，或变条件，或变结论等贯穿整堂课。
案例如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与G，D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE，我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：
(1)①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：
②将图1中的正方形CEFG绕着点c按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形，请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断。
变式1：改变条件，挖掘内在联系
如图4，分别以AABC的边AB，AC为一边向外作正三角形ABD和正三角形ACE，连接CD，BE。
(1)求证：BE＝DC
(2)求直线猜想CD与直线BE的夹角。
评析万变不离其宗，揭示问题的实质；通过变式题使知识进一步理解和内化，培养思维的准确性，提高解决问题的能力以及应变能力。
变式2：根据结论，探究条件
在AABC中，分别以AB，AC，BC为边在BC的同侧作等边三角形ABD，ACE，BCF。
(1)求证：四边形DAEF是平行四边形。
(2)探究下列问题
①当△ABC满足什么条件时，四边形DAEF是矩形?
②当AABC满足什么条件时，四边形DAEF是菱形?
③当△ABC满足什么条件时，以D，A，E，F为顶点的四边形不存在?
评析此题考查知识点丰富，培养了学生思维的全面性与创新性，空间想象能力、邏辑推理能力：渗透了“分类与转化”的数学思想方法，同时也体现数学的整体性，正如张奠宙教授的比喻：教师充当导游的角色，拿着旗子在前面喊，一队学生跟在后面走，学生必须细听讲解，而无法停下脚步按照要求进行观赏，用自己的头脑进行思考，学生的学习只是走马观花，没有切身体验教学效果，往往只停留于模仿和记忆上，创新性也就谈不上了，而试卷的每一个题都承载着考查相应的知识、技能、思想方法和应用能力的一种(单一的基础题)或几种(解答题、综合题)任务，试题可以下变万化，但所考查的内容却是规定的、有限的。我们应透过试题的表面，充分认识其本质，做到以不变应万变、以有限对无限，正如米山国藏(日本著名数学教育家，学者)指出：在学校学的数学知识，毕业后若没什么机会去用，一两年后，很快就忘掉了，然而，不管他们从事什么工作。唯有深深铭刻在心中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和看问题的着眼点等，却随时随地发生作用，使他们终生受益。
三、以情境为主线——“活化课堂”
“众里寻他千百度”生活味与数学味适度调剂——凸显数学本色用绝大多数学生熟悉的事例和能理解的问题引入新课，从数学在生产、生活及其他学科中的实际应用出发……激发学生探究的积极性，——省学科教学建议。
案例小红的爸爸因公出差，5天没回家，回家后一次撕下这5天的日历，这5天日期相加的和是90，小红的爸爸回家这天是几号?
90÷5＝18，16，17，18，19，20，
小红爸爸回家的这天是21号。
这5天会不会是月底和月初的5天呢?
28，29，30，1，2
28，29，30，31，32
90＋60＝150，150÷5＝30。中间的一个数是30。
小红爸爸回家这天是3号。
5天中一定是上月底3天，下月初2天吗?如果上个月是31天，如何使它变成5个连续自然数呢?和又增加了多少呢? 中间的一天又怎么求呢?……
评析课堂教学的重要特点是动态生成，预设是重要的，但预设再充分，也不可能预见课堂教学中所有可能发生的一切，而活动课应“活”而有度。如果对这道题枚举起来，不仅费时多，而且学生的“脑袋”也容纳不下，因此，以问促思，让学生头脑中留下一个解题思路，让学有余力的学生课后探求，课堂效率取得了最大化，要用学生的眼光去看生活。并从教学法的角度去加工原始素材，设计出一些可亲可敬的、更能表现“数学的文化价值”的数学情境，并以这些情境为主线去设计教学，必能充分调动学生原有的生活经验，激发由情境引起的数学意义的思考正如马克斯·凡·劳厄(德国物理学家，诺贝尔物理学奖获得者)也指出：教育的真谛是“所有学会的东西都忘却了以后仍然留下来的那些东西”。
四、以数学本质为主线——“美化课堂”
教师主导引领，课堂变成探究舞台，学生主体歌舞，数学活动与数学思维有效结合——提升数学本质首先，“活动教学”不应单纯理解为操作和实践活动。而应理解并更加注重“数学上的活动”，其次，教师要重视对操作活动的内化，数学的本质是数学教学目标和教学设计的灵魂，抓住了数学学科的本质等于抓住了教学内容的精髓，张奠宙说过：课堂教学中要揭示数学本质，数学本质其内涵是注重数学知识的内在联系，数学规律的形成过程，数学思想方法的提炼和数学理性精神的体验。
案例在学习工程问题时，我设计了这样一道习题：“数学课上，蒋老师让学生做一道应用题，但题目只写了‘学校需制作一块广告牌，请来两名工人，已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天……，于是蒋老师要求学生把留下的部分补齐，并进行解答，看谁的问题设计得既切合实际，又有深度?”
评析整堂课就围绕着这道题不同的条件设计并加以解决展开的，本题是一个条件和结论均开放的应用性问题，学生有着广阔的猜想、假设的空间，而这也是学生思维的难点，所以可通过小组合作学习的形式，展示各自的解题策略，同时又分享了别人的优点，能从多角度、多侧面寻找解题的途径，取得了很好的教学效果从学生实际出发，呈现学生熟悉的、简明的、有利于引向数学实质的问题，引导学生积极思考、探索，——省学科教学建议。
教师应在平时教学中提炼思想，告诉学生，使学生明白之其然而知其所以然的道理，弗赖登塔尔的名言是：与其说是学习数学，还不如说是学习“数学化”，他认为：人们运用数学的方法观察现实世界，分析研究各种具体现象，并加以整理组织，这个过程就是数学化，简单地说，數学地组织现实世界的过程就是数学化，也只有通过“数学化”的途径来进行数学教育，才能使学生真正获得充满着关系的、富有生命力的数学知识，使他们不仅理解这些知识，而且能够应用。
总之，突出主线，让数学思维自然地流淌，教师倾注激情，课堂变成诉情舞台，学生融合互动，唯有教师的高屋建瓴、渊博学识、机智创新、用心用功、执着追求，才有学生的群心涌动、豁然开朗、心灵性巧、乐在其中、回味无穷，也只有富有艺术的教育，才能彰显它生命的活力，才能展现出满园艳花竞相开放，浩荡长江百舸争流，高山流水源远流长。
参考文献：
[1]张奠宙，黄荣良，建设符合中国国情的合作学习[J]
[2]孙双金，《设计教学主线的艺术》
[3]荷·弗赖登塔尔，《作为教学任务的数学》《数学化》
[4]中华人民共和国教育部，全日制义务教育数学课程标准(实验稿)和《省学科教学建议》