众所周知，数学命题工作是一项艰苦细致、严谨周密的工作，难免夹杂着一些值得商榷、乃至错误的题目．本文就一道最近广为流传的试题进行分析、探讨，以期引起读者注意和参考
　　题1：已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形，点A在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，SA=a，则三棱锥的全面积最大时，求底面△ABC的面积．
　　
　　1命题溯源
　　
　　一道经典的传统试题：
　　题2：在四面体S-ABC中，若A是平面SBC上的射影H是△SBC的垂心，求证：S在平面ABC上的射影O也是△ABC的垂心．
　　显然，题1由题2隐去另一个射影为垂心的结论，综合三棱锥的面积计算改编而来．
　　
　　2原题1的基本解法
　　
　　解：如图1，连SH并延长交BC于M，连AM，易证：AM⊥BC，即BC⊥面SAM，过S作SO⊥AM，则O为S在底面的射影．
　　图1连BH交SC于N，则 BN⊥SC．又因为 AH⊥SC，所以 SC⊥面AHD，所以 AB⊥SC， 所以 CO⊥AB，即O为△ABC的垂心．
　　又 △ABC为正三角形，所以 O为底面中心，
　　
　　
　　
　　由上可以看出，此题涉及的知识点较多，有三垂线定理及其逆定理、正三棱锥的概念、棱锥的面积计算等，既有逻辑推理，更有综合计算，对学生的思维能力要求较高，充分体现了能力立意命题的思想，而知识却都是最基础的，不失为一道好题．正准确给学生讲解时，却发现其中有些问题．
　　
　　上述论证充分，推理严密，似乎无懈可击，问题出在哪里呢？问题出在符合全面积最大的三棱锥不存在，也即正三棱锥顶角为120°不可能．命题者在改编过程中忽视了符合题意的几何体的存在性．
　　
　　3问题的思考
　　
　　思考1：为什么在正三棱锥S-ABC中∠ASB不能为120°?
　　图2简证：如图2，易知 ∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，
　　又因为 AO＜AS， BO＜BS．
　　在△ABS中，由余弦定理易知：∠ASB＜∠AOB=120°．
　　思考2：由1可知当∠ASB=120°时，三棱锥脱化成△ABC，故三棱锥不存在全面积最大值，但作如下修改此题仍不失为一道考查思维能力的好题：
　　
　　
　　思考3：以上问题实质是正三棱锥侧棱所成的角问题，于是，引出下列一串思考．
　　命题（1）：在平面内，自一点O至多能引三条射线OA、OB、OC，使它们两两成等角，且两两所成的角为2π3．
　　命题（2）：在空间中，自一点O引三条射线OA、OB、OC，使它们两两成等角的情形有无数种，但所成角最大值为2π/3．
　　
　　命题（3）：在空间中，自一点O至多能引四条射线，使它们两两成等角，且两两所成的角为109°28′．
　　简证：设OA₁，OA₂，…，OA_n两两成等角，在射线OA₁，OA₂，…，OA_n上分别取OA₁=OA₂=…=OA_n，则OA₁，OA₂，…，OA_n在一个球面上，任意连结A₁，A₂,…,A_n中三点和O点，必构成正三棱锥，也即由A₁，A₂，…，A_n构成的几何体必为球内接正多面体．又因为正多面体只有5种，易知：只有正四面体符合题意，故得过空间一点至多能作四条射线两两成等角，且为109°28′．
　　（自然界中的甲烷分子便是这个优美的模型）
　　命题（4）：正三棱锥相邻两个侧面所成角的取值范围为（60°，180°）．
　　图3简证：如图3，记三棱锥A-BCD，高为AO（O为底面中心），为研究方便，设底面三角形BCD固定，则影响θ大小的是顶点A的位置．
　　当A无限远离中心O时，侧棱无限接近于垂直底面，两侧面所成的角就无限趋于∠CBD=60°；
　　当A无限趋近于中心O时，两侧面无限趋近于同一平面，θ就无限趋近于180°．
　　命题（5）：正n棱锥相邻两个侧面所成角的取值范围为(180°-360°/n,180°)．
　　
　　注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文