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一．对数学概念学习的现状分析
在当前的新课程理念下实现不同数学现实基础上的“再创造”是大家共同关注的话题。那么如何才能在自然平和的数学学习体系下实现这一目标呢？笔者认为，唯有以反思为核心的数学教育才能实现。但是纵观各类相关研究文章，大多是对数学问题的题后反思，很少涉及对数学概念本身含义的反思，因而也就容易事倍功半，收效甚微。因为各种数学性质和思维方法无不由概念本身衍生出来，只有真正理解概念，才能很好地抓住数学的本质，数学问题的教育功能才能真正得以发挥延伸。比如下面一个常见的案例，就是因为缺乏对概念本质的适度反思而造成了一些不必要的错误。
案例1：已知 ，求 的值。
这是一道至今仍活跃在各类练习卷上的题目，目的是为考查三角函数中的诱导公式以及函数意义的相关方法。通常的解法为： 。
一切似乎水到渠成、毫无破绽，很多人都没有怀疑过答案的正确性。然而有一个学生无意间换了一个角度提供了以下解法： 。
那么孰对孰错？初看好像都没有错。于是就有 = 的结论，这显然是错误的，因为这有悖于函数概念的本质。其实我们只要从函数概念上去仔细推敲一番，不难发现症结所在： ，这本身就不满足函数的定义，因为 每取一个值， 都有正负两个对应值。难怪会出现 = 。
一句话，就是一个不该出现的错题，却在各种资料中以“好题”的面目存在多年，而且还在高考题中出现过，真可谓贻笑大方。究其原因，编题者对概念的本质含义缺乏一种真正的研究态度是主要原因。我们在数学学习过程中，很多时候仍然在坚持着“熟能生巧，精讲多练”这一种传统的教学态度。当学生出现错误时总是教导学生：“题目做得太少了，多做做就不会出错了。”而很少引导学生从概念的本质去分析错误原因。特别是在数学界出现“淡化形式，注重实质”的理念时，更是曲解了其中“淡化概念”的本来面目，在教学过程中对概念一笔带过，很少从深层次上去理解和把握概念的真正含义，以致造成因含义不明、外延不清、思维不畅而带来的种种意想不到的严重错误。
二．数学概念反思性学习的策略探究
基于上述思考，笔者想以一个案例，详细分析指出如何从概念源头进行深层次的意义反思，使得数学反思性学习更具实效性和科学性。
案例2： 若 （ ）
A． B．2 C． D．-2
常规思路分析：从题目自身结构来看，这是三角函数中常见的求值问题，主要考查同角三角函数基本关系的运用，基本思路是利用正余弦函数的平方关系解决。
解法一：利用方程思想求解
由 ，不难解得
评注：对于本题而言，上述常规解法应该是比较符合学生现有的知识体系的，自然而简单易行，其中的方程组思想是高中数学学习的重要内容，也是高考考查的重点。易错点在于解方程组的正确性问题，特别是符号处理要特别小心(此题刚好是唯一解)。
问题的解决似乎到这里就嘎然而止，然而倘若能从这三个三角函数的概念结构进行深入分析，不难发现此题涉及的知识点十分丰富，如能认真挖掘相关概念的本质涵义，拓展反思的知识维度，必能发挥其很好的教育功能。
策略一:关注概念的基本内涵，转换题干的表达方式
分析：如果能从三角函数的基本定义入手，则问题可以转化为定义中的几个基本元素之间的关系式。
解法二：在角 的终边上任取一点 ,
则原题可化为：已知 ，求 的值
评注：显而易见，如果能真正理解数学概念的本质涵义，对于数学问题的解决将会有很大的促进作用。因为一切的数学性质无不从基本概念出发而逐步形成发展的，是否真正理解概念的内涵，也就决定了能否很好的运用数学性质，这实际也是一切数学问题得以解决的基本前提。
策略二：抓住概念间的联系纽带，化解变量的维数难度
分析1：本题的难点在于有三个不同的函数，如能实现其间的相互转化，减少变量的维数，自然就能降低问题的难度。比如从tan = 入手，则可转化为齐次式进行处理，将三个不同的函数统一转化为正切函数的原始定义而得解得。可能有不少人会说压根就没想到这种方法，其实是因为他们根本没有认真从源头上去认识和把握数学概念的真正内涵。
解法三：
，解得：
分析2：类似地，如直接将正弦、余弦转化为正切，则又有下列思路。
解法四：设 ，代入得 。
可得 。
评注：从这两种解法中不难体会到：一些相关知识范畴的概念之间必然有着或多或少的联系，如果能认真细致地分析其间的连接点，对数学变量的维数的化解必将起到及其有利的推进作用，从而数学问题的难度也就随之化解了。
策略三：研究概念的基本要素，拓宽思维的发展方向
分析：上述几种思路都是着眼于函数本身的转化来解决问题的，如果我们能抓住三角函数的基本要素 角的变化，则又能寻找出不同的解题思路。
解法五： = ，（其中 ），于是 ，
评注：这是三角函数中典型的合一变换，通过角度的添设和转换，极易使问题顺利解决，但在此题的研究过程中，我们经常会关注三角函数名称之间的转化，而忽视了函数的基本元素 角的变化和发展，这对于数学概念的理解和运用都是一个值得思考的问题。
策略四：挖掘概念的几何性质，实现问题的数形转化
分析：很多数学概念本身都具备一定的几何意义，这也就是所谓数形结合的切入点。联系到单位圆的问题，于是下列思路便也就顺理成章，自然生成。
解法六：设点P 为角 的终边与单位圆的交点,则 。，则点P为单位圆和直线 的交点， 可看做直线OP的斜率，又直线与圆相切，
评注：华罗庚说过：数缺形时少直观，形缺数时难入微。显然数形结合是一种基本而有效的数学方法，它兼有数的严谨与形的直观的特点，是优化解题过程的重要途径之一，但学生对数形结合的能力还是比较薄弱，究其原因主要是缺乏对概念内在意义的深入理解，没有深入挖掘概念本身所具有的几何涵义。因此从反思的深度和广度来说，我们有必要深究知识概念本质所隐含的那一层基本意义，而不仅仅停留在对解法的变换处理上。
另外，就概念反思本身而言，必须要认真遵循其科学性、严谨性和准确性，任何错位和不完整的思考必将导致不合理甚至错误的结果。比如对上述案例也有老师提供了两边求导的解法： 两边求导得 ，则易得 。
从答案来看似乎没有什么错误 ，并且解答过程也远比前面几种方法要简单的多，但偏偏忽略了导数概念中对变量要求的严谨性，这就是对概念理解不到位而导致的错误。
唯有注重对数学概念本身的反思和延伸，才能让我们的数学反思真正收到实效。因为数学知识本身就应该是实实在在的东西，而概念的形成过程就注定了数学思想方法应该是切实可行、自然平和的。我们要通过对概念的多层次反思，强化数学反思的切实可行性，只有这样才能使数学问题的教育功能发挥之极致。
在当前的新课程理念下实现不同数学现实基础上的“再创造”是大家共同关注的话题。那么如何才能在自然平和的数学学习体系下实现这一目标呢？笔者认为，唯有以反思为核心的数学教育才能实现。但是纵观各类相关研究文章，大多是对数学问题的题后反思，很少涉及对数学概念本身含义的反思，因而也就容易事倍功半，收效甚微。因为各种数学性质和思维方法无不由概念本身衍生出来，只有真正理解概念，才能很好地抓住数学的本质，数学问题的教育功能才能真正得以发挥延伸。比如下面一个常见的案例，就是因为缺乏对概念本质的适度反思而造成了一些不必要的错误。
案例1：已知 ，求 的值。
这是一道至今仍活跃在各类练习卷上的题目，目的是为考查三角函数中的诱导公式以及函数意义的相关方法。通常的解法为： 。
一切似乎水到渠成、毫无破绽，很多人都没有怀疑过答案的正确性。然而有一个学生无意间换了一个角度提供了以下解法： 。
那么孰对孰错？初看好像都没有错。于是就有 = 的结论，这显然是错误的，因为这有悖于函数概念的本质。其实我们只要从函数概念上去仔细推敲一番，不难发现症结所在： ，这本身就不满足函数的定义，因为 每取一个值， 都有正负两个对应值。难怪会出现 = 。
一句话，就是一个不该出现的错题，却在各种资料中以“好题”的面目存在多年，而且还在高考题中出现过，真可谓贻笑大方。究其原因，编题者对概念的本质含义缺乏一种真正的研究态度是主要原因。我们在数学学习过程中，很多时候仍然在坚持着“熟能生巧，精讲多练”这一种传统的教学态度。当学生出现错误时总是教导学生：“题目做得太少了，多做做就不会出错了。”而很少引导学生从概念的本质去分析错误原因。特别是在数学界出现“淡化形式，注重实质”的理念时，更是曲解了其中“淡化概念”的本来面目，在教学过程中对概念一笔带过，很少从深层次上去理解和把握概念的真正含义，以致造成因含义不明、外延不清、思维不畅而带来的种种意想不到的严重错误。
二．数学概念反思性学习的策略探究
基于上述思考，笔者想以一个案例，详细分析指出如何从概念源头进行深层次的意义反思，使得数学反思性学习更具实效性和科学性。
案例2： 若 （ ）
A． B．2 C． D．-2
常规思路分析：从题目自身结构来看，这是三角函数中常见的求值问题，主要考查同角三角函数基本关系的运用，基本思路是利用正余弦函数的平方关系解决。
解法一：利用方程思想求解
由 ，不难解得
评注：对于本题而言，上述常规解法应该是比较符合学生现有的知识体系的，自然而简单易行，其中的方程组思想是高中数学学习的重要内容，也是高考考查的重点。易错点在于解方程组的正确性问题，特别是符号处理要特别小心(此题刚好是唯一解)。
问题的解决似乎到这里就嘎然而止，然而倘若能从这三个三角函数的概念结构进行深入分析，不难发现此题涉及的知识点十分丰富，如能认真挖掘相关概念的本质涵义，拓展反思的知识维度，必能发挥其很好的教育功能。
策略一:关注概念的基本内涵，转换题干的表达方式
分析：如果能从三角函数的基本定义入手，则问题可以转化为定义中的几个基本元素之间的关系式。
解法二：在角 的终边上任取一点 ,
则原题可化为：已知 ，求 的值
评注：显而易见，如果能真正理解数学概念的本质涵义，对于数学问题的解决将会有很大的促进作用。因为一切的数学性质无不从基本概念出发而逐步形成发展的，是否真正理解概念的内涵，也就决定了能否很好的运用数学性质，这实际也是一切数学问题得以解决的基本前提。
策略二：抓住概念间的联系纽带，化解变量的维数难度
分析1：本题的难点在于有三个不同的函数，如能实现其间的相互转化，减少变量的维数，自然就能降低问题的难度。比如从tan = 入手，则可转化为齐次式进行处理，将三个不同的函数统一转化为正切函数的原始定义而得解得。可能有不少人会说压根就没想到这种方法，其实是因为他们根本没有认真从源头上去认识和把握数学概念的真正内涵。
解法三：
，解得：
分析2：类似地，如直接将正弦、余弦转化为正切，则又有下列思路。
解法四：设 ，代入得 。
可得 。
评注：从这两种解法中不难体会到：一些相关知识范畴的概念之间必然有着或多或少的联系，如果能认真细致地分析其间的连接点，对数学变量的维数的化解必将起到及其有利的推进作用，从而数学问题的难度也就随之化解了。
策略三：研究概念的基本要素，拓宽思维的发展方向
分析：上述几种思路都是着眼于函数本身的转化来解决问题的，如果我们能抓住三角函数的基本要素 角的变化，则又能寻找出不同的解题思路。
解法五： = ，（其中 ），于是 ，
评注：这是三角函数中典型的合一变换，通过角度的添设和转换，极易使问题顺利解决，但在此题的研究过程中，我们经常会关注三角函数名称之间的转化，而忽视了函数的基本元素 角的变化和发展，这对于数学概念的理解和运用都是一个值得思考的问题。
策略四：挖掘概念的几何性质，实现问题的数形转化
分析：很多数学概念本身都具备一定的几何意义，这也就是所谓数形结合的切入点。联系到单位圆的问题，于是下列思路便也就顺理成章，自然生成。
解法六：设点P 为角 的终边与单位圆的交点,则 。，则点P为单位圆和直线 的交点， 可看做直线OP的斜率，又直线与圆相切，
评注：华罗庚说过：数缺形时少直观，形缺数时难入微。显然数形结合是一种基本而有效的数学方法，它兼有数的严谨与形的直观的特点，是优化解题过程的重要途径之一，但学生对数形结合的能力还是比较薄弱，究其原因主要是缺乏对概念内在意义的深入理解，没有深入挖掘概念本身所具有的几何涵义。因此从反思的深度和广度来说，我们有必要深究知识概念本质所隐含的那一层基本意义，而不仅仅停留在对解法的变换处理上。
另外，就概念反思本身而言，必须要认真遵循其科学性、严谨性和准确性，任何错位和不完整的思考必将导致不合理甚至错误的结果。比如对上述案例也有老师提供了两边求导的解法： 两边求导得 ，则易得 。
从答案来看似乎没有什么错误 ，并且解答过程也远比前面几种方法要简单的多，但偏偏忽略了导数概念中对变量要求的严谨性，这就是对概念理解不到位而导致的错误。
唯有注重对数学概念本身的反思和延伸，才能让我们的数学反思真正收到实效。因为数学知识本身就应该是实实在在的东西，而概念的形成过程就注定了数学思想方法应该是切实可行、自然平和的。我们要通过对概念的多层次反思，强化数学反思的切实可行性，只有这样才能使数学问题的教育功能发挥之极致。