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【摘 要】集合关系中的求参问题,屡见于教科书、复习资料和高考题中,本文阐述了集合运算中解决参数问题的一般策略,并对解题思路进行了概括和归纳。
【关键词】集合;参数;求解;策略
集合关系中的求参问题,题型较多。掌握一般解题规律,正确解决此类问题,培养学生数形结合的数学思想,形成缜密思维的良好数学习惯,提高数学逻辑思维能力,是数学教学的主要任务。下面就常见的两种类型进行归纳总结,望能达到抛砖引玉之目的。
一、子集关系中的求参问题
预备知识:对于集合A、B,如果A B,则A∩B=A,A∪B=B;
如果I为全集,A I,则CIA∩A= ,CIA∪A=I;
定区间:端点为定值(包括±∞)的区间;
动区间:端点含变量(参数)的区间。
例1如果集合M=[1,4],N=(-∞ ,a],满足M ∩N=M ,求a的取值范围。
分析:此题中,M=[1,4]为定区间,N=(-∞ ,a]为动区间,
M与N的关系为M N。
先在数轴上画出定区间M,如图1:
再由M是N的子集(M包含于N中),表示出动区间N的大致位置,如图2:
解:由M∩N=M得:M N,M、N的关系如图2,N的右端点不可能在M右端点的左侧,所以有a≥4。
说明:当两右端点重合时,同样有M N,符合题意.
评:解决此类问题一般分三步:
1.审题:找出集合间的包含关系。
2.画图:先定后动,在数轴上表示出集合关系。
3.转化:将集合关系转化为不等量关系,得出答案。
例2 (2011北京卷理),已知集合P={x | x2≤1},M={a},P∪M=P,则a的取值范围是
A.(-∞, -1] B.[1, +∞)
C.[-1,1] D.(-∞,-1]∪[1,+∞)
解:P={x | x2≤1}=[-1,1],
由P∪M=P得,M P,如图3:
故 -1≤a≤1,选C。
例3 已知集合A={x|x2-4x-5≥0},B={x||x-a|<4},且A∪B=R,求实数a的取值范围。
解:A=(-∞,-1]∪[5,+∞),B=(a-4,a+4)。
由A∪B=R,A、B关系如图4:
∴ 得1≤a≤3
說明:在处理区间端点时,实点能包虚点,但虚点不能包实点。
二、集合对等关系中的求参问题
集合的对等,就是集合之间具有一定的等量关系,利用这种等量关系,找出元素的等量关系,进而求得参数的取值。
例4 设全集U={2,3,5},A={|a-5|,2},CUA={5},求a的值。
解:∵A∪CUA=U ∴|a-5|=3
解得a=2或a=8
验根:经检验,a=2和a=8都符合题意。
评:解决此类问题一般分两步:
1.由集合的对等关系确定元素之间的等量关系。
2.验根、确定答案。
例5 已知全集U={1,3,a2-2a-3},A={|a+1|,3},且CUA={5},求实数a的值。
解:由CUA={5}得5∈U,
故a2-2a-3=5,解得a=-2或a=4
验根:当a=-2时,A={1,3},U={1,3,5},符合题意。
当a=4时,A={5,3},U={1,3,5},与CUA={5}矛盾,应舍去。
所以a=-2。
以上几例虽然都是一些集合运算中的简单问题,但通过分析求解,不仅加深了对集合关系的理解,也加深了对集合中变量(参数)的认识,在教学中应引起重视。
(作者单位:甘肃省西和县职业教育中心)
【关键词】集合;参数;求解;策略
集合关系中的求参问题,题型较多。掌握一般解题规律,正确解决此类问题,培养学生数形结合的数学思想,形成缜密思维的良好数学习惯,提高数学逻辑思维能力,是数学教学的主要任务。下面就常见的两种类型进行归纳总结,望能达到抛砖引玉之目的。
一、子集关系中的求参问题
预备知识:对于集合A、B,如果A B,则A∩B=A,A∪B=B;
如果I为全集,A I,则CIA∩A= ,CIA∪A=I;
定区间:端点为定值(包括±∞)的区间;
动区间:端点含变量(参数)的区间。
例1如果集合M=[1,4],N=(-∞ ,a],满足M ∩N=M ,求a的取值范围。
分析:此题中,M=[1,4]为定区间,N=(-∞ ,a]为动区间,
M与N的关系为M N。
先在数轴上画出定区间M,如图1:
再由M是N的子集(M包含于N中),表示出动区间N的大致位置,如图2:
解:由M∩N=M得:M N,M、N的关系如图2,N的右端点不可能在M右端点的左侧,所以有a≥4。
说明:当两右端点重合时,同样有M N,符合题意.
评:解决此类问题一般分三步:
1.审题:找出集合间的包含关系。
2.画图:先定后动,在数轴上表示出集合关系。
3.转化:将集合关系转化为不等量关系,得出答案。
例2 (2011北京卷理),已知集合P={x | x2≤1},M={a},P∪M=P,则a的取值范围是
A.(-∞, -1] B.[1, +∞)
C.[-1,1] D.(-∞,-1]∪[1,+∞)
解:P={x | x2≤1}=[-1,1],
由P∪M=P得,M P,如图3:
故 -1≤a≤1,选C。
例3 已知集合A={x|x2-4x-5≥0},B={x||x-a|<4},且A∪B=R,求实数a的取值范围。
解:A=(-∞,-1]∪[5,+∞),B=(a-4,a+4)。
由A∪B=R,A、B关系如图4:
∴ 得1≤a≤3
說明:在处理区间端点时,实点能包虚点,但虚点不能包实点。
二、集合对等关系中的求参问题
集合的对等,就是集合之间具有一定的等量关系,利用这种等量关系,找出元素的等量关系,进而求得参数的取值。
例4 设全集U={2,3,5},A={|a-5|,2},CUA={5},求a的值。
解:∵A∪CUA=U ∴|a-5|=3
解得a=2或a=8
验根:经检验,a=2和a=8都符合题意。
评:解决此类问题一般分两步:
1.由集合的对等关系确定元素之间的等量关系。
2.验根、确定答案。
例5 已知全集U={1,3,a2-2a-3},A={|a+1|,3},且CUA={5},求实数a的值。
解:由CUA={5}得5∈U,
故a2-2a-3=5,解得a=-2或a=4
验根:当a=-2时,A={1,3},U={1,3,5},符合题意。
当a=4时,A={5,3},U={1,3,5},与CUA={5}矛盾,应舍去。
所以a=-2。
以上几例虽然都是一些集合运算中的简单问题,但通过分析求解,不仅加深了对集合关系的理解,也加深了对集合中变量(参数)的认识,在教学中应引起重视。
(作者单位:甘肃省西和县职业教育中心)