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【“望”：病例观察】
五年级数学调测中有这样一题：“小红买了一本童话书，每2页文字之间有3页插图。如果这本书有158页，而第一页是文字，这本童话书共有插图多少页？”教师在批改试卷时发现，全年级有67%的学生是这样解答的：
158÷5=31（组）……3（页）
31×3 2=95（页）
而此题的正确算式是“158÷4=39（组）……2（页）39×3 1=118（页）”。在批改中，许多教师唉声叹气：“真不动脑筋！”其实，这类错误在往届学生中也屡屡发生。为什么会有这么多学生出现上述错误呢？这种错误是否体现了学生对某些数学概念在心智模式的建构方面存在着缺漏？错误的产生是不是隐含着某些共性的原因呢？这么多学生做错，这能怪学生吗？
【“问”：病历记录】
教学实践告诉我们，学生产生错误的原因是多方面的，但往往是由于小学生在数学知识的表征、数学模式的识别以及数学学习的自我监控等理解过程中主客观不一致的矛盾导致的。就本题而言，经过对学生的访谈，我们发现学生产生错误的原因大致有以下几个方面。
一是概念理解的模糊
学生在解答本题时纷纷除以“5”，产生错误的主要原因在于学生弄不清本题周期现象中的“组数”与周期“内部构造的序列”。回顾以往的教学，苏教版五年级上册“找规律”一课，教材主题图（如右图）采用了两个一组的节日盆花的情境。由于两个一组的周期规律内部构造比较简单，学生轻而易举就得到了结果，注意心向根本不会聚焦到周期规律的“组”与“序”这两个关键要素上来。虽然接下来教材由易到难，拓展到研究三个一组、四个一组的周期现象，但是学生对概念本质的感悟体验始终浮于表面，不够深刻。由于问题表征受个体数学知识背景的影响比较大，因此，一遇到稍有变化的问题，学生自然招架不住了。
二是思维定势的局限
学生在以往四年多的学习经历中得出的经验，解题就是根据题目中已有的数字进行加减乘除。《找规律》单元教材中所涉及的练习题，也是波澜不惊，对于参与计算的被除数和除数，要么以直观图直接呈现，要么在文字信息中直接告知。缺乏挑战性的机械化的单一训练封闭了学生思维的空间，最终导致“熟能生笨”的结果。本题脱离了直观的素材图，在解答过程中，学生一看到“每2页文字之间有3页插图”这一信息，习惯性地把“2”和“3”相加作为周期数进行错误表征，缺乏透过数字表面去深究其背后真实含意的意识。
三是策略教学的割裂
数学问题解决的成功与否，与学生的解题策略有很大的关系。在平时教学中，重结果而不重过程，重结论而不重方法的现象依然存在。教师习惯于让学生追求“是什么的知识”，对于“为什么”和“怎么办”的知识比较忽略。笔者在与学生的访谈中得知，许多学生一拿到题，完全没有考虑使用策略，或者采用了相对无效的策略，正是这样漫不经心、不假思索的想当然导致了错误的发生。虽然这道题目属于《找规律》单元知识，但与《解决问题的策略》单元知识脱不了关系，而教师的画地为牢、就事论事的教学方式使学生不太注意或不太在意不同领域或不同板块知识之间的联系和联合，例如对这道题目，学生就没能够想到之前学过的“画图”这种解决问题的策略，把文述转变成图解，寻找到支撑来事先进行求解或事后进行检验。
【“切”：病理诊治】
从全年级有67%的学生发生相同的错误，反映了小学生在数学知识的表征、数学模式的识别以及数学学习的自我监控等理解过程中出错机制的共性规律，教师应该引起足够的重视，从而全盘考虑应对措施，积极改进教学方式，帮助学生防错纠错。为此，我们提出如下教学建议。
一是概念教学凸显核心
教师要认真解读教材，新课教学要让学生经历概念发生发展的过程，对于学生中的典型错例，要建立错题档案，并结合教学进度进行前期控制，让学生认识概念的不同特征和不同侧面，根据具体问题改变认识角度，突出本质并进行重点的学习。
周期规律这一单元的教学一般分为两课时进行。第一课时主要根据余数对周期规律第几个作出判断；第二课时研究各类图形的总个数。要研究周期现象中的规律，关键是要实现算法化，即把要研究的总个数、周期的“组数”、“内部构造序”这部分要素与除法算式中的被除数、除数、商和余数一一对应，建立意义上的实质性联系。为缩小情境与本质之间的缝隙，新授课探微环节，不妨直接从几何图形入手，先选择具有代表性的三个一组的周期现象入手，让这类现象的材料并联呈现，在同与不同的体验中充分感知“所求的个数不同，为什么都除以3？”“总个数相同，除数也相同，为什么最后一个图形却不同？”……让学生在现象与算法间来回穿梭，凝练概括出周期现象的核心要素“组”与“序”。在此基础上类比迁移到研究其他周期现象。探究规律时，围绕“第几组的第几个”这一问题，引导学生精确定位，深入体会，并实践验证，把逻辑推理与直观印证紧密结合，培养学生思维的严密性。
二是练习设计加强变式
思维定势的消极影响具有持久性，很难在新授课后完全消除，要想真正克服其消极影响，需要持续的强刺激。教师可根据学生思维和认知发展的变化，即时地、有目的地、有侧重点地设置动态变化的外部情境，通过追溯概念的内在知识脉络的方法，让学生连贯性地反思自己理解上的特征与不足，不断推动理解向纵深发展。
在此，教学中不妨设计“打祖玛游戏珠子”的环节：第一层次，珠子以2颗红珠3颗绿珠顺序呈现（如图1）；第二层次，打掉开头的2颗红珠后，剩下的珠子以3颗绿珠2颗红珠顺序呈现（如图2）；第三层次，以打出一颗绿珠，卡在两颗红珠中间呈现（如图3）。
图1 图2 图3
虽然游戏分三个层次展开，但是在每一个层次的研究上都提出同一个问题：“第25颗是什么颜色的珠子？”学生在变与不变中，深刻理解周期规律不仅和每组的个数有关，而且和内部构造的序有关。第三层次的问题，让学生的解答具有了开放性：①（如图4）25-6=19（颗），19÷5=3（组）……4（颗）；②（如图5）25-5=20（颗），20÷5=4（组）；③（如图6）25-1=24（颗），24÷5=4（组）……4（颗）。条条大路通罗马，构造不同的周期，得出结论一致。
图4 图5 图6
教学实践表明，对那些容易受思维定势干扰的题目进行多角度的变式组合，并将其中定势源题目组合在一起，指导学生进行针对性、比较性练习，就能够实现既促进正向迁移，开阔解题思路，防止思维呆板，又排除负向干扰的目的。
三是思考问题注重序列
在主体面对问题时，一般总是通过观察弄清问题，抓住事物的特征进行广泛的联想，检索信息和回忆已储存的信息，即凭借已有的知识经验，作出直觉性的理解和判断，来选择总体思路或切入的方向。这时，解决问题的策略对信息的正确表征将起到十分重要的作用。
如在这道“找规律”题目的解答中，要凸现“找”这一策略，而要能够正确找出隐藏其中的排列规律，很多时候离不开“画一画”和“圈一圈”等解决问题的策略，而不是看到几个数字就只想到“算一算”这条解答问题的捷径。要使学生做到策略意识的自动勾连，就需要教师在平时“找规律”的教学中，放慢“找”的步伐，突出“找”的策略，让找规律思考程序的三部曲能够在学生头脑中格式化——
“一画”，如：文图图图文图图图文……
“二圈”，如：……
“三算”，用除法确定它是第几组第几个，最后算出插图的总页数是118页。
有图有真相。上述“一画、二圈、三算”思考程序，使问题变隐性为显性，十分有利于学生明白事情的“真相”，洞察事物的正确构造，从而避免出错，同时还可以弥补学习中的知识漏洞，培养了运用多种知识“联合作战”的能力。经常进行这样程序性知识的培养训练，学生能够形成有效的智慧技能，进入自主学习的状态，能独立按照一定的程序，有效地进行学习和解决问题。叶澜主持的新基础教育实验研究非常注重让学生形成学习活动程序，尤其是课堂学习活动程序。学生一旦掌握了课堂学习活动的程序，便能主动地投入课堂学习活动之中，教和学的融合很大程度上在这一过程中得以实现。
总之，上述这道试题的出错，不能都怪学生，我们首先要问一问学生，从学生身上找原因，然后也要问一问教师，从教师身上找原因，只有教师的优教才能实现学生的优学。
（江苏省江阴市城西小学 214400
江苏省无锡市锡山教师进修学校 214101）
五年级数学调测中有这样一题：“小红买了一本童话书，每2页文字之间有3页插图。如果这本书有158页，而第一页是文字，这本童话书共有插图多少页？”教师在批改试卷时发现，全年级有67%的学生是这样解答的：
158÷5=31（组）……3（页）
31×3 2=95（页）
而此题的正确算式是“158÷4=39（组）……2（页）39×3 1=118（页）”。在批改中，许多教师唉声叹气：“真不动脑筋！”其实，这类错误在往届学生中也屡屡发生。为什么会有这么多学生出现上述错误呢？这种错误是否体现了学生对某些数学概念在心智模式的建构方面存在着缺漏？错误的产生是不是隐含着某些共性的原因呢？这么多学生做错，这能怪学生吗？
【“问”：病历记录】
教学实践告诉我们，学生产生错误的原因是多方面的，但往往是由于小学生在数学知识的表征、数学模式的识别以及数学学习的自我监控等理解过程中主客观不一致的矛盾导致的。就本题而言，经过对学生的访谈，我们发现学生产生错误的原因大致有以下几个方面。
一是概念理解的模糊
学生在解答本题时纷纷除以“5”，产生错误的主要原因在于学生弄不清本题周期现象中的“组数”与周期“内部构造的序列”。回顾以往的教学，苏教版五年级上册“找规律”一课，教材主题图（如右图）采用了两个一组的节日盆花的情境。由于两个一组的周期规律内部构造比较简单，学生轻而易举就得到了结果，注意心向根本不会聚焦到周期规律的“组”与“序”这两个关键要素上来。虽然接下来教材由易到难，拓展到研究三个一组、四个一组的周期现象，但是学生对概念本质的感悟体验始终浮于表面，不够深刻。由于问题表征受个体数学知识背景的影响比较大，因此，一遇到稍有变化的问题，学生自然招架不住了。
二是思维定势的局限
学生在以往四年多的学习经历中得出的经验，解题就是根据题目中已有的数字进行加减乘除。《找规律》单元教材中所涉及的练习题，也是波澜不惊，对于参与计算的被除数和除数，要么以直观图直接呈现，要么在文字信息中直接告知。缺乏挑战性的机械化的单一训练封闭了学生思维的空间，最终导致“熟能生笨”的结果。本题脱离了直观的素材图，在解答过程中，学生一看到“每2页文字之间有3页插图”这一信息，习惯性地把“2”和“3”相加作为周期数进行错误表征，缺乏透过数字表面去深究其背后真实含意的意识。
三是策略教学的割裂
数学问题解决的成功与否，与学生的解题策略有很大的关系。在平时教学中，重结果而不重过程，重结论而不重方法的现象依然存在。教师习惯于让学生追求“是什么的知识”，对于“为什么”和“怎么办”的知识比较忽略。笔者在与学生的访谈中得知，许多学生一拿到题，完全没有考虑使用策略，或者采用了相对无效的策略，正是这样漫不经心、不假思索的想当然导致了错误的发生。虽然这道题目属于《找规律》单元知识，但与《解决问题的策略》单元知识脱不了关系，而教师的画地为牢、就事论事的教学方式使学生不太注意或不太在意不同领域或不同板块知识之间的联系和联合，例如对这道题目，学生就没能够想到之前学过的“画图”这种解决问题的策略，把文述转变成图解，寻找到支撑来事先进行求解或事后进行检验。
【“切”：病理诊治】
从全年级有67%的学生发生相同的错误，反映了小学生在数学知识的表征、数学模式的识别以及数学学习的自我监控等理解过程中出错机制的共性规律，教师应该引起足够的重视，从而全盘考虑应对措施，积极改进教学方式，帮助学生防错纠错。为此，我们提出如下教学建议。
一是概念教学凸显核心
教师要认真解读教材，新课教学要让学生经历概念发生发展的过程，对于学生中的典型错例，要建立错题档案，并结合教学进度进行前期控制，让学生认识概念的不同特征和不同侧面，根据具体问题改变认识角度，突出本质并进行重点的学习。
周期规律这一单元的教学一般分为两课时进行。第一课时主要根据余数对周期规律第几个作出判断；第二课时研究各类图形的总个数。要研究周期现象中的规律，关键是要实现算法化，即把要研究的总个数、周期的“组数”、“内部构造序”这部分要素与除法算式中的被除数、除数、商和余数一一对应，建立意义上的实质性联系。为缩小情境与本质之间的缝隙，新授课探微环节，不妨直接从几何图形入手，先选择具有代表性的三个一组的周期现象入手，让这类现象的材料并联呈现，在同与不同的体验中充分感知“所求的个数不同，为什么都除以3？”“总个数相同，除数也相同，为什么最后一个图形却不同？”……让学生在现象与算法间来回穿梭，凝练概括出周期现象的核心要素“组”与“序”。在此基础上类比迁移到研究其他周期现象。探究规律时，围绕“第几组的第几个”这一问题，引导学生精确定位，深入体会，并实践验证，把逻辑推理与直观印证紧密结合，培养学生思维的严密性。
二是练习设计加强变式
思维定势的消极影响具有持久性，很难在新授课后完全消除，要想真正克服其消极影响，需要持续的强刺激。教师可根据学生思维和认知发展的变化，即时地、有目的地、有侧重点地设置动态变化的外部情境，通过追溯概念的内在知识脉络的方法，让学生连贯性地反思自己理解上的特征与不足，不断推动理解向纵深发展。
在此，教学中不妨设计“打祖玛游戏珠子”的环节：第一层次，珠子以2颗红珠3颗绿珠顺序呈现（如图1）；第二层次，打掉开头的2颗红珠后，剩下的珠子以3颗绿珠2颗红珠顺序呈现（如图2）；第三层次，以打出一颗绿珠，卡在两颗红珠中间呈现（如图3）。
图1 图2 图3
虽然游戏分三个层次展开，但是在每一个层次的研究上都提出同一个问题：“第25颗是什么颜色的珠子？”学生在变与不变中，深刻理解周期规律不仅和每组的个数有关，而且和内部构造的序有关。第三层次的问题，让学生的解答具有了开放性：①（如图4）25-6=19（颗），19÷5=3（组）……4（颗）；②（如图5）25-5=20（颗），20÷5=4（组）；③（如图6）25-1=24（颗），24÷5=4（组）……4（颗）。条条大路通罗马，构造不同的周期，得出结论一致。
图4 图5 图6
教学实践表明，对那些容易受思维定势干扰的题目进行多角度的变式组合，并将其中定势源题目组合在一起，指导学生进行针对性、比较性练习，就能够实现既促进正向迁移，开阔解题思路，防止思维呆板，又排除负向干扰的目的。
三是思考问题注重序列
在主体面对问题时，一般总是通过观察弄清问题，抓住事物的特征进行广泛的联想，检索信息和回忆已储存的信息，即凭借已有的知识经验，作出直觉性的理解和判断，来选择总体思路或切入的方向。这时，解决问题的策略对信息的正确表征将起到十分重要的作用。
如在这道“找规律”题目的解答中，要凸现“找”这一策略，而要能够正确找出隐藏其中的排列规律，很多时候离不开“画一画”和“圈一圈”等解决问题的策略，而不是看到几个数字就只想到“算一算”这条解答问题的捷径。要使学生做到策略意识的自动勾连，就需要教师在平时“找规律”的教学中，放慢“找”的步伐，突出“找”的策略，让找规律思考程序的三部曲能够在学生头脑中格式化——
“一画”，如：文图图图文图图图文……
“二圈”，如：……
“三算”，用除法确定它是第几组第几个，最后算出插图的总页数是118页。
有图有真相。上述“一画、二圈、三算”思考程序，使问题变隐性为显性，十分有利于学生明白事情的“真相”，洞察事物的正确构造，从而避免出错，同时还可以弥补学习中的知识漏洞，培养了运用多种知识“联合作战”的能力。经常进行这样程序性知识的培养训练，学生能够形成有效的智慧技能，进入自主学习的状态，能独立按照一定的程序，有效地进行学习和解决问题。叶澜主持的新基础教育实验研究非常注重让学生形成学习活动程序，尤其是课堂学习活动程序。学生一旦掌握了课堂学习活动的程序，便能主动地投入课堂学习活动之中，教和学的融合很大程度上在这一过程中得以实现。
总之，上述这道试题的出错，不能都怪学生，我们首先要问一问学生，从学生身上找原因，然后也要问一问教师，从教师身上找原因，只有教师的优教才能实现学生的优学。
（江苏省江阴市城西小学 214400
江苏省无锡市锡山教师进修学校 214101）