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【摘要】 数学概念作为数学学科的基本细胞,在教学中大量存在,占有非常重要的地位。离开数学概念,人们便无法构成数学的思想和方法,更无法构建起数学理论的大厦。本文就数学概念的教学模式提出一些拙见,与同行共同研究。本文从数学概念的教育理论入手研究了数学概念的教学模式和教学过程。
【关键词】 数学概念 教学模式 概念形成 概念同化
【中图分类号】 G424 【文献标识码】 A 【文章编号】 1006-5962(2012)06(b)-0149-01
1 数学概念的含义及特点
概念是思维的形式,是人脑对客观物质现象的关键、本质属性的反映。数学概念则是一种数学思维形式,是人脑对两种或两种以上数学对象的本质属性和特征的反应。数学教学的主要目的之一就是教会学生概括和形成概念。数学概念是数学命题、数学推理、数学证明等其他思维形成的基础,并通过这些思维形式,形成新的数学概念,获取新的数学知识。数学概念具有抽象性、普遍性、确定性、简明性、辩证性和系统性等特点,其中抽象性和系统性是数学概念的两大基本特性。
2 数学概念教学模式的理论基础
2.1 概念形成
同类事物的关键特征是由学习者从大量同类事物的不同例子中出发,从他们实际体验的概念的肯定例证中以归纳的方式概括出来的,这种获得概念的方式叫概念形成。
2.2 概念同化和顺应
用定义的方式直接向学习者呈现新概念,学习者利用认知结构中原有的有关概念理解新概念,学习者利用认知结构中原有的有关概念理解新概念,这种获得概念的方式叫概念同化;当原有的认知结构不能纳入新概念时,必须改变已有的认知结构以适应新概念,这就是顺应。同化和顺应包括如下过程:首先,学习者要将新概念的本质属性与原认知结构中的适当概念相联系,明确新概念与原有概念的关系,并能把它从原有概念中分离出来。其次,要把新概念与原有认知结构中的有关概念融合在一起,纳入认知结构中,以便记忆和应用。概念同化和顺应必须具备两个前提条件:其一,新学习的概念本身必须具有逻辑意义;其二,学生原有的认知结构中要具备同化型概念所需要的知识和经验。
3 数学概念教学的模式
3.1 有具体事实概括出新概念的模式
这是一种侧重于概念形成的教学模式,当学生已有认知结构过于简单、知识过于具体而贫乏时,往往需要从大量地具体例子出发,利用他们在实际经验中的一些生动事例,以归纳的方式概括出这一类事物的本质属性,初步形成一个新概念。这种模式在开始学习一门新的数学课程时运用较多。例如在讲授“导数”的概念时通常先研究下面两个问题:变速直线运动的瞬时速度问题和曲线的切线斜率问题。这两个问题所求的量都是函数增量与自变量增量的比值当自变量增量趋近于0时的极限,这样找到了共同特征后则给出导数的概念;在进一步理解和掌握导数概念基础上,我们再提出非均匀杆曲线密度问题,学生就能顺利地回答出线密度即为密度函数对长度的导数,这样更加深了学生对导数概念的理解。
在这种模式的教学中,要充分运用启发、发现的教学方法,避免出现导致学生机械记忆概念的文字表述,使学生形成一个稳定的、清晰的、可分辨的概念,能较自然地形成学生新的认知结构。这种教学模式的重点是:1)列举大量学生熟悉有关事实,进行辨别,概括出事实的共同属性。2)进一步概括出关键属性,形成新概念。3)对新事例能抓住关键属性进行识别,从而达到对新概念的理解。
3.2 利用已有知识引入新概念的模式
随着学生数学知识掌握量的增多,其认知结构中会积累大量的数学概念。这时再学习某些新的数学概念,就不需要而且也没有必要个个都从具体事例出发去归纳,而可以利用原有认知结构中的有关概念,利用已掌握的旧知识,以概念同化和顺应的方式进行学习。这种教学模式是数学概念教学的主要模式。例如,当学生接触到一般切线的概念时,首先想到圆的切线的定义,“和圆只有一个公共点的直线叫做圆的切线”(同化);然而,对一般曲线来说,直线可能会有两个以上公共点的清醒,这时便要启发学生改变圆的切线定义的图式,想到利用过圆上一点的割线的极限位置同样也可以给圆的切线重新下定义。这时学生原来切线定义的图式有了质的变化,而建立起来一种新的图式,这样曲线的切线就可以利用过曲线上一点的割线的极限位置来定义(顺应),从而形成了一般曲线切线的新概念。这种教学模式的重点是:1)要了解学生的原有认知结构,特别是有关知识的掌握情况,他们掌握的有关概念都应该是清晰的、稳定的、明确的。2)给出定要简明,要揭示其本质属性。3)通过适当正、反实例练习,使学生能把握概念的关键属性,使新概念不与相关概念混淆,使新概念从本质上被纳入认知结构中。
3.3 上述两种模式的教学过程
(1)概括。概念形成依赖的主要是对感性材料的抽象概括,概念同化和顺应依赖的主要是对感性经验的抽象概括。
(2)表达。对某类具有相同关键特征对事物加以命名,并用学生能够理解的方式陈述其定义。
(3)识别。在给出概念表述以后,教师应该明确:学生对知识是真正理解了,还是机械记忆？是根据关键特征掌握概念,还是根据无关特征回答有关概念问题？这些可通过一些新例子,帮助学生把握概念的关键属性,达到真正理解的目的。
(4)运用。要在知识水平和思维水平上多加强训练,通过一定数量的习题、练习使学生掌握新的数学概念,并能灵活运用。
在数学概念教学过程中,实际上是把两种概念教学模式结合使用的,尤其是以第二种模式为主。教师要根据学生的特点,在学生原有知识水平的基础上讲授新知识。对于认知结构比较简单、接受能力、概括能力比较弱的学生,可以更多地运用第一种教学模式;对于认知结构已有较大的发展、学过的知识较多的学生,可以更多地运用第二种教学模式。但是对于一些抽象程度较高、难于理解的数学概念,两种教学模式综合运用则会收到更好的效果。
【关键词】 数学概念 教学模式 概念形成 概念同化
【中图分类号】 G424 【文献标识码】 A 【文章编号】 1006-5962(2012)06(b)-0149-01
1 数学概念的含义及特点
概念是思维的形式,是人脑对客观物质现象的关键、本质属性的反映。数学概念则是一种数学思维形式,是人脑对两种或两种以上数学对象的本质属性和特征的反应。数学教学的主要目的之一就是教会学生概括和形成概念。数学概念是数学命题、数学推理、数学证明等其他思维形成的基础,并通过这些思维形式,形成新的数学概念,获取新的数学知识。数学概念具有抽象性、普遍性、确定性、简明性、辩证性和系统性等特点,其中抽象性和系统性是数学概念的两大基本特性。
2 数学概念教学模式的理论基础
2.1 概念形成
同类事物的关键特征是由学习者从大量同类事物的不同例子中出发,从他们实际体验的概念的肯定例证中以归纳的方式概括出来的,这种获得概念的方式叫概念形成。
2.2 概念同化和顺应
用定义的方式直接向学习者呈现新概念,学习者利用认知结构中原有的有关概念理解新概念,学习者利用认知结构中原有的有关概念理解新概念,这种获得概念的方式叫概念同化;当原有的认知结构不能纳入新概念时,必须改变已有的认知结构以适应新概念,这就是顺应。同化和顺应包括如下过程:首先,学习者要将新概念的本质属性与原认知结构中的适当概念相联系,明确新概念与原有概念的关系,并能把它从原有概念中分离出来。其次,要把新概念与原有认知结构中的有关概念融合在一起,纳入认知结构中,以便记忆和应用。概念同化和顺应必须具备两个前提条件:其一,新学习的概念本身必须具有逻辑意义;其二,学生原有的认知结构中要具备同化型概念所需要的知识和经验。
3 数学概念教学的模式
3.1 有具体事实概括出新概念的模式
这是一种侧重于概念形成的教学模式,当学生已有认知结构过于简单、知识过于具体而贫乏时,往往需要从大量地具体例子出发,利用他们在实际经验中的一些生动事例,以归纳的方式概括出这一类事物的本质属性,初步形成一个新概念。这种模式在开始学习一门新的数学课程时运用较多。例如在讲授“导数”的概念时通常先研究下面两个问题:变速直线运动的瞬时速度问题和曲线的切线斜率问题。这两个问题所求的量都是函数增量与自变量增量的比值当自变量增量趋近于0时的极限,这样找到了共同特征后则给出导数的概念;在进一步理解和掌握导数概念基础上,我们再提出非均匀杆曲线密度问题,学生就能顺利地回答出线密度即为密度函数对长度的导数,这样更加深了学生对导数概念的理解。
在这种模式的教学中,要充分运用启发、发现的教学方法,避免出现导致学生机械记忆概念的文字表述,使学生形成一个稳定的、清晰的、可分辨的概念,能较自然地形成学生新的认知结构。这种教学模式的重点是:1)列举大量学生熟悉有关事实,进行辨别,概括出事实的共同属性。2)进一步概括出关键属性,形成新概念。3)对新事例能抓住关键属性进行识别,从而达到对新概念的理解。
3.2 利用已有知识引入新概念的模式
随着学生数学知识掌握量的增多,其认知结构中会积累大量的数学概念。这时再学习某些新的数学概念,就不需要而且也没有必要个个都从具体事例出发去归纳,而可以利用原有认知结构中的有关概念,利用已掌握的旧知识,以概念同化和顺应的方式进行学习。这种教学模式是数学概念教学的主要模式。例如,当学生接触到一般切线的概念时,首先想到圆的切线的定义,“和圆只有一个公共点的直线叫做圆的切线”(同化);然而,对一般曲线来说,直线可能会有两个以上公共点的清醒,这时便要启发学生改变圆的切线定义的图式,想到利用过圆上一点的割线的极限位置同样也可以给圆的切线重新下定义。这时学生原来切线定义的图式有了质的变化,而建立起来一种新的图式,这样曲线的切线就可以利用过曲线上一点的割线的极限位置来定义(顺应),从而形成了一般曲线切线的新概念。这种教学模式的重点是:1)要了解学生的原有认知结构,特别是有关知识的掌握情况,他们掌握的有关概念都应该是清晰的、稳定的、明确的。2)给出定要简明,要揭示其本质属性。3)通过适当正、反实例练习,使学生能把握概念的关键属性,使新概念不与相关概念混淆,使新概念从本质上被纳入认知结构中。
3.3 上述两种模式的教学过程
(1)概括。概念形成依赖的主要是对感性材料的抽象概括,概念同化和顺应依赖的主要是对感性经验的抽象概括。
(2)表达。对某类具有相同关键特征对事物加以命名,并用学生能够理解的方式陈述其定义。
(3)识别。在给出概念表述以后,教师应该明确:学生对知识是真正理解了,还是机械记忆？是根据关键特征掌握概念,还是根据无关特征回答有关概念问题？这些可通过一些新例子,帮助学生把握概念的关键属性,达到真正理解的目的。
(4)运用。要在知识水平和思维水平上多加强训练,通过一定数量的习题、练习使学生掌握新的数学概念,并能灵活运用。
在数学概念教学过程中,实际上是把两种概念教学模式结合使用的,尤其是以第二种模式为主。教师要根据学生的特点,在学生原有知识水平的基础上讲授新知识。对于认知结构比较简单、接受能力、概括能力比较弱的学生,可以更多地运用第一种教学模式;对于认知结构已有较大的发展、学过的知识较多的学生,可以更多地运用第二种教学模式。但是对于一些抽象程度较高、难于理解的数学概念,两种教学模式综合运用则会收到更好的效果。