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[摘要]文章首先根据不同的初始条件，探秘三种情形下“带电粒子在圆形匀强磁场中的运动”规律，接着应用带电粒子在圆形匀强磁场中的运动规律分析两道典型的高考试题，最后拓展应用规律，解析一道全国中学生物理竞赛预赛试题。
[关键词]带电粒子；圆形磁场区域；圆周运动
[中图分类号]G633.7[文献标识码]A[文章编号]16746058（2018）08004003
“带电粒子在圆形匀强磁场中的运动”是磁场教学的重点和难点之一，由于带电粒子射入匀强磁场的速度不同，导致带电粒子在磁场中运动的轨迹、偏转角度和运行时间等发生变化，成为学生理解、掌握和解决此类问题的一个难点，进而成为高考命题的热点和重点。本文拟对此类问题做一些探讨，供大家参考。
一、规律探究
如图1所示，半径为R的圆是一圆柱形匀强磁场区域的横截面（纸面），磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，P为磁场边界上的一点。大量电荷量为q（q>0）、质量为m的带电粒子以相同的速率v经过P点，在纸面内沿不
同的方向射入匀强磁场，试确定带电粒子离开匀强磁场时的位置和在匀强磁场中的运动时间范围（不计重力及带电粒子之间的相互作用）。
带电粒子以速率v垂直进入匀强磁场后，在洛伦兹力f=qvB作用下做匀速率圆周运动，设粒子运动的圆弧轨迹半径为r，则有
qvB=mv2rr=mvqB，ω=qBm，T=2πmqB
带电粒子离开圆形匀强磁场区域时的位置和在匀
强磁场中的运动时间范围分三种情形讨论如下：
（1）如果粒子射入速率v>qBRm，那么r=mvqB
，即带电粒子运动轨迹的半径r大于圆形磁场区域的半径R，这时沿不同方向射入匀强磁场的粒子运动轨迹如图2
所示。
显而易见，沿不同方向射入圆形匀强磁场区域的带电粒子，可能从圆形匀强磁场边界上的任意一点沿不同的方向飞离匀强磁场区域。带电粒子射出点和射入点之间的最大距离xmax为磁场圆区域半径R的2倍，即xmax=2R。
运动时间最长的带电粒子离开圆形区域匀强磁场时，射出点Q和射入点P在圆形磁场区域的同一条直径两端，此时带电粒子在洛伦兹力作用下的偏转情形如图3所示，带电粒子的最大偏转角度θ由下式决定
sinθ2=Rr=qBRmv=2arcsinqBRmv
則带电粒子运动的最长时间tmax为
tmax=θω=
2mqBarcsinqBRmv
故这种情况下带电粒子在匀强磁场中的运动时间t在如下范围内
0 （2）如果粒子入射速率v=qBRm，那么r=mvqB=R，即带电粒子运动轨迹的半径r等于圆形磁场区域的半径R。在这种情况下，沿不同方向射入匀强磁场的粒子运动轨迹如图4所示。
所有带电粒子的入射点P、磁场区域圆心O、射出点Qi和轨迹圆心O′i四点构成的四边形恰为一系列菱形POQiO′i（i=1，2，......，n），且所有菱形有一条共同的边PO，根据菱形的几何特性有
O′1Q1∥O′2Q2′∥O′3Q3∥O′4Q4∥……∥OP
，因此，沿不同方向射入匀强磁场的粒子射出速度方向相互平行，都垂直于PO连线。
由图4可知，沿不同方向射入圆形匀强磁场区域的带电粒子可能从匀强磁场右下半边界上的任意一点沿相同的方向飞离匀强磁场区域。带电粒子射出点和射入点之间的最大距离xmax为带电粒子运动轨道半径r或磁场区域半径R的2倍，即xmax=2r=2mv/qB=2R
。
其中运动时间最长的带电粒子离开圆形区域匀强磁场时，经历的时间为半个周期，即带电粒子运动的最长时间tmax为
tmax=T/2=πm/qB
故这种情况下带电粒子在匀强磁场中的运动时间t在如下范围内
0 。
（3）如果粒子射入速率v<πmqB，那么r=mvqB 由图5可知，沿不同方向射入圆形匀强磁场区域的带电粒子只能从匀强磁场边界右下半PQ2弧（其弦长为2r）上的任意一点沿不同方向飞离匀强磁场区域。
粒子射出点Q和射入点P之间的最大距离xmax为带电粒子运动轨道半径r的2倍，即xmax=2r=2mv/qB<2R
。
其中运动时间最长的带电粒子离开圆形匀强磁场区域时，经历的时间为一个完整的周期，即粒子在匀强磁场中运动的最长时间tmax为：
tmax=T=2πm/qB
故这种情况下带电粒子在匀强磁场中的运动时间t在如下范围内：
0 。
二、规律应用
【例1】（2017·全国Ⅱ卷）如图6所示，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点。大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同的方向射入磁场。若粒子射入速率为v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v2，相应的出射点分布在三分之一圆周上。不计重力及带电粒子之间的相互作用，则v2：v1=（）。
A.3∶2B.2∶1C.3∶1D.3∶3
解析：根据上述规律，当带电粒子运动轨迹的半径r小于圆形磁场区域的半径R时，射出点和射入点之间的最大距离xmax为带电粒子运动轨道半径r的2倍。
设圆形区域磁场的半径为R，带电粒子射入的速度为v1时，这些粒子在磁场边界的出射点分布在16圆周上，如图7所示，由几何知识可知，带电粒子运动的轨道半径为r1=Rcos60°=12R ；带电粒子射入的速度为v2时，这些带电粒子在磁场边界的出射点分布在13圆周上，由几何知识可知，带电粒子运动的轨道半径为r2=
Rcos30°=32R
；根据r=mvqB∝v
，得v2∶v1=r2∶r1=3∶1，故正确选项为C。
点评：本题以带电粒子在有界（圆形）匀强磁场中的圆周运动为背景，主要考查应用平面几何知识解决物理问题的能力，解题的关键是知道打到磁场边缘最远处粒子的运动轨迹是半个圆周，最远射出点是以射入点P点为圆心、以2r为半径作出的圆弧与圆形磁场区域的最远交点。
【例2】（2016·全国Ⅱ卷）一圆筒处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向与筒的轴平行，筒的横截面如图9所示。图中直径MN的两端分别开有小孔，筒绕其中心轴以角速度ω顺时针转动。在该截面内，一带电粒子从小孔M射入筒内，射入时的运动方向与MN成30°角。当筒转过90°时，该粒子恰好从小孔N飞出圆筒。不计重力。若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞，则带电粒子的比荷为（）。
A.ω3B
B.ω2B
C.ωB
D.2ωB
解析：根据题意作出带电粒子在圆形区域磁场中运动的轨迹，如图10所示，由平面几何知识可得，带电粒子在圆形磁场区域中做匀速圆周运动偏转的圆心角θ=π4-π6×2=π6
，而带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的角速度ω=qBm，则带电粒子在磁场中的运动时间
t粒子=θω=π6×mqB
，圆筒匀速转过90°的时间
t圆筒=14T=π2ω
，由t粒子=t圆筒解得，带电粒子的比荷
qm=ω3B
，选项A正确。
点评：本题考查带电粒子在匀强磁场中的运动问题，解题时必须画出带电粒子运动的过程示意图，结合几何关系找到带电粒子在匀强磁场中运动的偏转角，根据粒子运动和圆筒运动的等时性求解未知量。
应用数学知识处理物理问题的能力不仅是学生必备的能力，更是高考考查的重點和难点。在备考复习中要有意识地养成根据题意画受力图、状态图、几何关系图和过程示意图的习惯，尤其要培养识图、读图、分析图、理解图、描绘图和应用图的能力，在规范解答问题的基础上，恰当运用几何图形、函数图像等进行分析、表达。
三、拓展应用
如图11所示，坐标原点O（0，0）处有一带电粒子源，向y≥0一侧沿xOy平面内的各个不同方向发射带正电的速率为v的粒子，质量均为m，电量均为q。有人设计了一方向垂直于xOy平面，磁感应强度大小为B的均匀磁场区域，使上述所有带电粒子从该磁场区域的边界射出时，均能沿x轴正方向运动。求此边界线的方程，并画出此边界线的示意图。
解析：因题中没有明确说明磁感应强度的方向，先假设磁感应强度的方向垂直xOy平面向里，且无边界。
研究从粒子源O发出的速率为v、方向与x轴夹角为θ的粒子，在洛伦兹力的作用下沿逆时针方向做匀速率圆周运动，圆轨道经过坐标原点O，且与速度方向相切，圆轨道半径R=mvqB。圆轨道的圆心O1在过坐标原点O与速度方向垂直的直线上，至原点的距离为R，如图12所示。通过O1作平行于y轴的直线与圆轨道交于P点，粒子运动到P点时其速度方向恰好沿x轴正方向，故P点就在磁场区域的边界上。
对于不同入射方向的粒子，对应的P点的位置不同，所有这些P点的连线就是所求磁场区域的边界线。P点的坐标为
x=-Rsinθ，y=-R Rcosθ。
这是粒子射出点磁场区域边界的参数方程，消去参数θ，得x2 （y R）2=R2。这是半径为R、圆心O2坐标为（0，-R）的圆，故磁场区域粒子射出的边界线方程为
x2 y mvqB2
=
m2v2q2B2
本情形所求磁场区域的边界线如图13所示，由三部分组成：第一部分是第一象限的小半圆弧OA（r1=R），它是发射角θ=0的粒子圆轨道的右半部分；第二部分是第二、三象限的大半圆弧ABC（r2=2R），由发射角在0<θ<π范围内的所有粒子圆轨道的包络线构成；第三部分是第三象限的小半圆弧OC（r3=R），由所有粒子的射出点构成。
如果磁场方向垂直于xOy面向外，类似于上述的分析过程，可得磁场区域粒子射出的边界线方程为
x2
y-mvqB
2=m2v2q2B2
，x≥0y≥0
本情形所求磁场区域的边界线如图14所示，看似一个完整的圆，实则由二部分组成：第一部分是第一象限的半圆弧OA（r1=R），由所有粒子的射出点构成。第二部分是第二象限的半圆弧ABO（r2=R），它是发射角θ=π的粒子运动的半圆轨道。
带电粒子在有界匀强磁场中的运动问题是高中物理教学中的一个难点，也是高考的热点。这类问题综合性强，分析这类问题既要用到物理中的洛伦兹力、圆周运动等知识，又要用到数学中平面几何、三角函数等知识。其本质关乎两个圆：磁场区域圆和粒子运动圆，厘清这两个圆的半径大小、圆心位置及其几何关系是解决这类问题的关键。
（责任编辑易志毅）
[关键词]带电粒子；圆形磁场区域；圆周运动
[中图分类号]G633.7[文献标识码]A[文章编号]16746058（2018）08004003
“带电粒子在圆形匀强磁场中的运动”是磁场教学的重点和难点之一，由于带电粒子射入匀强磁场的速度不同，导致带电粒子在磁场中运动的轨迹、偏转角度和运行时间等发生变化，成为学生理解、掌握和解决此类问题的一个难点，进而成为高考命题的热点和重点。本文拟对此类问题做一些探讨，供大家参考。
一、规律探究
如图1所示，半径为R的圆是一圆柱形匀强磁场区域的横截面（纸面），磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，P为磁场边界上的一点。大量电荷量为q（q>0）、质量为m的带电粒子以相同的速率v经过P点，在纸面内沿不
同的方向射入匀强磁场，试确定带电粒子离开匀强磁场时的位置和在匀强磁场中的运动时间范围（不计重力及带电粒子之间的相互作用）。
带电粒子以速率v垂直进入匀强磁场后，在洛伦兹力f=qvB作用下做匀速率圆周运动，设粒子运动的圆弧轨迹半径为r，则有
qvB=mv2rr=mvqB，ω=qBm，T=2πmqB
带电粒子离开圆形匀强磁场区域时的位置和在匀
强磁场中的运动时间范围分三种情形讨论如下：
（1）如果粒子射入速率v>qBRm，那么r=mvqB
，即带电粒子运动轨迹的半径r大于圆形磁场区域的半径R，这时沿不同方向射入匀强磁场的粒子运动轨迹如图2
所示。
显而易见，沿不同方向射入圆形匀强磁场区域的带电粒子，可能从圆形匀强磁场边界上的任意一点沿不同的方向飞离匀强磁场区域。带电粒子射出点和射入点之间的最大距离xmax为磁场圆区域半径R的2倍，即xmax=2R。
运动时间最长的带电粒子离开圆形区域匀强磁场时，射出点Q和射入点P在圆形磁场区域的同一条直径两端，此时带电粒子在洛伦兹力作用下的偏转情形如图3所示，带电粒子的最大偏转角度θ由下式决定
sinθ2=Rr=qBRmv=2arcsinqBRmv
則带电粒子运动的最长时间tmax为
tmax=θω=
2mqBarcsinqBRmv
故这种情况下带电粒子在匀强磁场中的运动时间t在如下范围内
0
所有带电粒子的入射点P、磁场区域圆心O、射出点Qi和轨迹圆心O′i四点构成的四边形恰为一系列菱形POQiO′i（i=1，2，......，n），且所有菱形有一条共同的边PO，根据菱形的几何特性有
O′1Q1∥O′2Q2′∥O′3Q3∥O′4Q4∥……∥OP
，因此，沿不同方向射入匀强磁场的粒子射出速度方向相互平行，都垂直于PO连线。
由图4可知，沿不同方向射入圆形匀强磁场区域的带电粒子可能从匀强磁场右下半边界上的任意一点沿相同的方向飞离匀强磁场区域。带电粒子射出点和射入点之间的最大距离xmax为带电粒子运动轨道半径r或磁场区域半径R的2倍，即xmax=2r=2mv/qB=2R
。
其中运动时间最长的带电粒子离开圆形区域匀强磁场时，经历的时间为半个周期，即带电粒子运动的最长时间tmax为
tmax=T/2=πm/qB
故这种情况下带电粒子在匀强磁场中的运动时间t在如下范围内
0
（3）如果粒子射入速率v<πmqB，那么r=mvqB
粒子射出点Q和射入点P之间的最大距离xmax为带电粒子运动轨道半径r的2倍，即xmax=2r=2mv/qB<2R
。
其中运动时间最长的带电粒子离开圆形匀强磁场区域时，经历的时间为一个完整的周期，即粒子在匀强磁场中运动的最长时间tmax为：
tmax=T=2πm/qB
故这种情况下带电粒子在匀强磁场中的运动时间t在如下范围内：
0
二、规律应用
【例1】（2017·全国Ⅱ卷）如图6所示，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点。大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同的方向射入磁场。若粒子射入速率为v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v2，相应的出射点分布在三分之一圆周上。不计重力及带电粒子之间的相互作用，则v2：v1=（）。
A.3∶2B.2∶1C.3∶1D.3∶3
解析：根据上述规律，当带电粒子运动轨迹的半径r小于圆形磁场区域的半径R时，射出点和射入点之间的最大距离xmax为带电粒子运动轨道半径r的2倍。
设圆形区域磁场的半径为R，带电粒子射入的速度为v1时，这些粒子在磁场边界的出射点分布在16圆周上，如图7所示，由几何知识可知，带电粒子运动的轨道半径为r1=Rcos60°=12R ；带电粒子射入的速度为v2时，这些带电粒子在磁场边界的出射点分布在13圆周上，由几何知识可知，带电粒子运动的轨道半径为r2=
Rcos30°=32R
；根据r=mvqB∝v
，得v2∶v1=r2∶r1=3∶1，故正确选项为C。
点评：本题以带电粒子在有界（圆形）匀强磁场中的圆周运动为背景，主要考查应用平面几何知识解决物理问题的能力，解题的关键是知道打到磁场边缘最远处粒子的运动轨迹是半个圆周，最远射出点是以射入点P点为圆心、以2r为半径作出的圆弧与圆形磁场区域的最远交点。
【例2】（2016·全国Ⅱ卷）一圆筒处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向与筒的轴平行，筒的横截面如图9所示。图中直径MN的两端分别开有小孔，筒绕其中心轴以角速度ω顺时针转动。在该截面内，一带电粒子从小孔M射入筒内，射入时的运动方向与MN成30°角。当筒转过90°时，该粒子恰好从小孔N飞出圆筒。不计重力。若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞，则带电粒子的比荷为（）。
A.ω3B
B.ω2B
C.ωB
D.2ωB
解析：根据题意作出带电粒子在圆形区域磁场中运动的轨迹，如图10所示，由平面几何知识可得，带电粒子在圆形磁场区域中做匀速圆周运动偏转的圆心角θ=π4-π6×2=π6
，而带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的角速度ω=qBm，则带电粒子在磁场中的运动时间
t粒子=θω=π6×mqB
，圆筒匀速转过90°的时间
t圆筒=14T=π2ω
，由t粒子=t圆筒解得，带电粒子的比荷
qm=ω3B
，选项A正确。
点评：本题考查带电粒子在匀强磁场中的运动问题，解题时必须画出带电粒子运动的过程示意图，结合几何关系找到带电粒子在匀强磁场中运动的偏转角，根据粒子运动和圆筒运动的等时性求解未知量。
应用数学知识处理物理问题的能力不仅是学生必备的能力，更是高考考查的重點和难点。在备考复习中要有意识地养成根据题意画受力图、状态图、几何关系图和过程示意图的习惯，尤其要培养识图、读图、分析图、理解图、描绘图和应用图的能力，在规范解答问题的基础上，恰当运用几何图形、函数图像等进行分析、表达。
三、拓展应用
如图11所示，坐标原点O（0，0）处有一带电粒子源，向y≥0一侧沿xOy平面内的各个不同方向发射带正电的速率为v的粒子，质量均为m，电量均为q。有人设计了一方向垂直于xOy平面，磁感应强度大小为B的均匀磁场区域，使上述所有带电粒子从该磁场区域的边界射出时，均能沿x轴正方向运动。求此边界线的方程，并画出此边界线的示意图。
解析：因题中没有明确说明磁感应强度的方向，先假设磁感应强度的方向垂直xOy平面向里，且无边界。
研究从粒子源O发出的速率为v、方向与x轴夹角为θ的粒子，在洛伦兹力的作用下沿逆时针方向做匀速率圆周运动，圆轨道经过坐标原点O，且与速度方向相切，圆轨道半径R=mvqB。圆轨道的圆心O1在过坐标原点O与速度方向垂直的直线上，至原点的距离为R，如图12所示。通过O1作平行于y轴的直线与圆轨道交于P点，粒子运动到P点时其速度方向恰好沿x轴正方向，故P点就在磁场区域的边界上。
对于不同入射方向的粒子，对应的P点的位置不同，所有这些P点的连线就是所求磁场区域的边界线。P点的坐标为
x=-Rsinθ，y=-R Rcosθ。
这是粒子射出点磁场区域边界的参数方程，消去参数θ，得x2 （y R）2=R2。这是半径为R、圆心O2坐标为（0，-R）的圆，故磁场区域粒子射出的边界线方程为
x2 y mvqB2
=
m2v2q2B2
本情形所求磁场区域的边界线如图13所示，由三部分组成：第一部分是第一象限的小半圆弧OA（r1=R），它是发射角θ=0的粒子圆轨道的右半部分；第二部分是第二、三象限的大半圆弧ABC（r2=2R），由发射角在0<θ<π范围内的所有粒子圆轨道的包络线构成；第三部分是第三象限的小半圆弧OC（r3=R），由所有粒子的射出点构成。
如果磁场方向垂直于xOy面向外，类似于上述的分析过程，可得磁场区域粒子射出的边界线方程为
x2
y-mvqB
2=m2v2q2B2
，x≥0y≥0
本情形所求磁场区域的边界线如图14所示，看似一个完整的圆，实则由二部分组成：第一部分是第一象限的半圆弧OA（r1=R），由所有粒子的射出点构成。第二部分是第二象限的半圆弧ABO（r2=R），它是发射角θ=π的粒子运动的半圆轨道。
带电粒子在有界匀强磁场中的运动问题是高中物理教学中的一个难点，也是高考的热点。这类问题综合性强，分析这类问题既要用到物理中的洛伦兹力、圆周运动等知识，又要用到数学中平面几何、三角函数等知识。其本质关乎两个圆：磁场区域圆和粒子运动圆，厘清这两个圆的半径大小、圆心位置及其几何关系是解决这类问题的关键。
（责任编辑易志毅）