【摘要】设X1,B1∈Cn×k1，令S={A∈HHn×n|AX1=B1，B12X+11X11=B12，B11X+12X12=B11，XH11B11=BH12X12}，这里(XH11 XH12)=XH1U，(BH11 BH12)=BH1U，U∈UCn×n.本文考虑下列问题：
　　问题1：给定X2，B2∈Cn×k2，求A∈S使得‖AX2-B2‖=min.
　　问题2：给定A∈Cn×n，求使得‖A-‖=infA∈SE‖A-A‖，其中SE是问题1的解集合.
　　【关键词】Hermite广义Hamilton矩阵；奇异值分解；最佳逼近
　　
　　1.引 言
　　采用如下记号：令Cn×m表示所有n×m复矩阵的集合，UCn×n表示n阶酉矩阵的全体，HCn×n表示n阶Hermite矩阵的全体，AH和A+分别表示矩阵A的共轭转置和MoorePenrose广义逆，Cn×m中矩阵A,B的内积定义为（A,B）=tr(BHA)，由此内积导出的范数‖A‖=(A,A)=(tr(AH,A))12，则此范数为矩阵的Frobenius范数，并且在Cn×m构成一个完备的内积空间，对矩阵A=(aij)s×t,B=(bij)s×t，A*B=(aijbij)s×t表示A与B的Hadamard积.
　　AORn×n表示n阶正交反对称矩阵的全体，即AORn×n={J|J=-JT，J∈ORn×n}，显然J∈AORn×n时J2=－In，从而有n=2k（k是一个正整数）.
　　定义 已知矩阵J∈AORn×n，矩阵A∈Cn×n称为Hermite广义Hamilton矩阵，如果AH=A且(AJ)H=AJ，所有n阶Hermite广义Hamilton矩阵的全体记为HHCn×n.
　　设X1,B1∈Cn×k1，令
　　S={A∈HHCn×n|AX1=B1，B12X+11X11=B12，B11X+12X12
　　=B11，XH11B11=BH12X12}.
　　（1.1）
　　这里UTjX1=X1j，UTjB1=B1j，X1j，B1j∈Ck×k1（j=1,2）.
　　本文研究下列问题：
　　问题1 给定X2,B2∈Cn×k2，求A∈S使得
　　‖AX2-B2‖=min.
　　问题2 给定A∈Cn×n，求使得
　　‖A-‖=infA∈SE‖A-A‖，
　　（1.2）
　　其中SE是问题1的解集合.
　　2.问题1的解
　　引理1 设A∈HCn×n，J∈AORn×n，且存在矩阵U∈UCn×n使得J=UiIk0
　　0-iIkUH，则A∈HHCn×n当且仅当
　　A=U0T
　　TH0UH.
　　（2.1）
　　T∈Ck×k，U=(U1,U2),U1∈Cn×(n-k)，n=2k,k是一个正整数.
　　引理2 设X1,B1∈Cn×k1，由引理1可知A∈S，则A=U0T
　　TH0UH，记UTjX1=X1j，UTjB1=B1j,X1j，B1j∈Ck×k1（j=1,2），假定X1j的奇异值分解为X1j=U(j)Σj0
　　00V(j)H,其中U(j)=U(j)1 U(j)2∈UCk×k，U(j)1∈Ck×rj，rj=rank(X1j)，Σj=diag(σ1,σ2,…,σrj)，V(j)=(V(j)1 V(j)2)∈UCk1×k1，V(j)1∈Ck1×rj(j=1,2).
　　记T0=B11X+12+(B12X+11)H(Ik-X12X+12),M=U(1)2G(U(2)2)H（G∈C(k-r1)×(k-r2)是任意的）,A0=U0T0
　　TH00UH,则（1.1）式中的S可表示为：
　　S=AA=A0+U0M
　　MH0UH
　　(2.2)
　　引理3 设X∈Cm×k，W∈Cm×l，Y∈Cn×l，Z∈Cn×k，并且X和Y的奇异值分解（SVD）分别为X=UΣ0
　　00VH，Y=PΓ0
　　00QH，其中U=（U1，U2)∈UCm×m，V=(V1，V2)∈UCk×k，P=(P1，P2)∈UCn×n，Q=(Q1，Q2)∈UCl×l，Σ=diag(б1,…,бe)>0，Γ=diag(r1,…,rh)>0，e=rank(X),h=rank(Y)，U1∈Cm×e，V1∈Ck×e，P1∈Cn×h，Q1∈Cl×h，则g(B)=‖BX－Z‖2+‖YHB－WH‖2=min的任一解B∈Cn×m可以表示为
　　B=PΦ•(PH1ZV1Σ+ΓQH1WHU1)Γ-1QH1WHU2
　　PH2ZV1Σ-1B22UH.
　　（2.3）
　　其中B22∈C(n-h)×(m-e)是任意矩阵，Φ=(φij)h×e，φij=1γ2i+α2j(1≤i≤h，1≤j≤e).
　　定理1 给定X2，B2∈Cn×k2，令B2=B2-A0X2，UTjX2=X2j，UTjB2=B2j，(j=1,2),X21，B21∈Ck×k2，假设rank(X2j)=rj(j=1，2)， 且X22，X21的奇异值分解分别为X22=UΣ10
　　00VH,其中U=(U1 U2)∈UCk×k，V=(V1 V2)∈UCk2×k2，Σ1=diag(σ1,σ2,…,σr2)>0，X21=PΣ20
　　00QH,其中P=(P1 P2)∈UCk×k，Q=(Q1 Q2)∈UCk2×k2，Σ2=diag(υ1,υ2,…,υr1)>0，U1∈Ck×r2，V1∈Ck2×r2，P1∈Ck×r1，Q1∈Ck2×r1，Φ=(ij)r1×r2，ij=1υ2i+σ2j(1≤i≤r1，1≤j≤r2)，则问题1的解集合可表示为
　　SE=AA=A1+U0P2M22UH2
　　U2MH22PH20UH，
　　(2.4)
　　其中A1=A0+U0M
　　MH0UH,
　　M=PΦ*(PH1B21V1Σ1+Σ2QH1BH22U1)Σ-12QH1BH22U2
　　PH2B21V1Σ-110UH.
　　证明 因为A∈S，则由引理2，有
　　A=A0+U0M
　　MH0UH.
　　(2.5)
　　于是有‖AX2-B2‖2
　　=A0X2+U0M
　　MH0UHX2-B22
　　=0M
　　MH0UHX2-UHB2
　　=0M
　　MH0X21
　　X22-B21
　　B222
　　=‖MX22-B21‖2+‖XH21M-BH22‖2.
　　(2.6)
　　由（2.6），可知‖AX2-B2‖=min等价于
　　‖MX22-B21‖2+‖XH21M-BH22‖2=min.
　　(2.7)
　　由引理3，可知
　　M=PΦ•(PH1B21V1Σ1+Σ2QH1BH22U1)Σ-12QH1BH22U2
　　PH2B21V1Σ-11M22UH.
　　 =M+P2M22UH2.
　　(2.8)
　　将（2.8）代入（2.5），即得（2.4）.
　　3.问题2的解
　　定理2 设A∈Cn×n，记UH(A-A1)U=A11A12
　　A21A22，则问题2的解存在唯一，且可表示为
　　=A1+U0P2M^22UH2
　　U2M^H22PH20UH.
　　（3.1）
　　其中M^22=PH2(A12+AH21)2U2.
　　（3.2）
　　证明 ‖A-A‖2
　　=A-A1-U0P2M22UH2
　　U2MH22PH20UH2
　　=UH(A-A1)U-0P2M22UH2
　　U2MH22PH202
　　=‖A11‖2+‖A12-P2M22UH2‖2+‖A21-U2MH22PH2‖2+‖A22‖2
　　=‖A11‖2+‖PH1A12U1‖2+‖PH1A12U2‖2+‖PH2A12U1‖2+
　　 ‖PH2A12U2-M22‖+‖UH1A21P1‖2+‖UH1A21P2‖2+
　　 ‖UH2A21P1‖2+‖PH2AH21U2-M22‖2+‖A22‖2.
　　(3.3)
　　由（3.3）式可知‖A-A‖=minA∈SE等价于:
　　‖PH2A12U2-M22‖+‖PH2AH21U2-M22‖2=min.（3.4）
　　式（3.4）成立，当且仅当
　　M22=M^22=PH2(A12+AH21)2U2.
　　（3.5）
　　将式（3.5）代入（2.4），得问题2的解（3.1）和（3.2）.
　　
　　【参考文献】
　　［1］戴华.Hermite广义Hamilton矩阵反问题解存在的条件［J］.江苏大学学报（自然科学版），2004，25（1）：40-43.
　　［2］张磊，谢冬秀.一类逆特征值问题［J］.数学物理学报，1993，13（1）：94-99.
　　［3］袁永新，戴华.线性流形上的广义中心对称矩阵反问题［J］.计算数学，2005，27（4）：383-393.