论文部分内容阅读
【摘 要】点或曲线关于某个点的对称问题,都可以转化为点关于点的对称问题。点或曲线关于某条直线的对称问题,都可以转化为点关于某条直线的对称问题。只要掌握好了点关于点的对称问题及点关于直线的对称问题,所有的对称问题均容易掌握。
【关键词】对称 点 曲线
对称问题是高中数学中的典型问题,主要有两类:一是点或曲线关于某个点的对称问题(即中心对称问题);二是点或曲线关于某条直线的对称问题(即轴对称问题)。下面通过几个例子加以说明。
一、点或曲线关于某个点的对称问题
例1.(1)求点A(a,b)关于点 (0,0)(M(m,n)) 的对称点A'的坐标。
于某个点的对称问题,可以转化为点关于点的对称问题。
二、点或曲线关于某条直线的对称问题(即轴对称问题)。
例2.(1)求点A(a,b)关于x轴、y轴的对称点A'、A''的坐标。
(2)求点A(a,b)关于y=x(y=-x+1)的对称点A'的坐标。
解:(1)通过作图容易得到A'的坐标为(a,-b),A''的坐标为(-a,b)。
(2)方法一:设点A(a,b)关于y=x的对称点A'的坐标为(m,n)。
由(1)、(2)联立方程组,解得m=b,n=a。
同理可求得点A(a,b)关于直线y=-x+1的对称点的坐标为(1-b,1-a)。
方法二:由于对称轴y=x与 y=-x+1的斜率为1或-1,所以A'的坐标可直接利用代换法求得。
例3.(1)求直线x-2y-1=0关于x+y-1=0的对称直线的方程。
(2)求曲线(x-2)2+(y-1)2=1关于直线y=3x-1对称的曲线的方程。
(3)已知?荭ABC的顶点A(3,-1).∠B、∠C的平分线所在的直线方程分别为x=0和y=x。求BC边所在的直线方程。
解:(1)设需求的直线为L。
解方程组x-2y-1=0x+y-1=0可得两直线的交点P的坐标为(1,0),则L一定过点P。
在x-2y-1=0上任取一点M(3,1), 可求得点M关于x+y-1=0的对称点M'的坐标为(0,-2)。
易知点M'也在L上。
∵点P、M'都在L上,由两点式得L的方程为x-y-2=0。另外,还可以利用到角公式求得L的斜率,从而求出L的方程。
(2)方法一:设曲线(x-2)2+(y-1)2=1关于直线y=3x-1对称的曲线为c'。
在c'上任取一点M(x,y),可求出点M关于直线y=3x-1对称点M'的坐标为∵M'一定在曲线(x-2)2+(y-1)2=1上,从而得曲线(上接第38页)
c'的方程为5x2+5y2+4x-18y+12=0。
方法二:∵曲线(x-2)2+(y-1)2=1是一个圆
∴它的对称图形c'必定是与之全等的圆。
∵(x-2)2+(y-1)2=1的圆心C的坐标为(2,1),半径r=1。可求得点C关于直线y=3x-1对称点c'的坐标为(曲线c'的半径人亦为r=1,从而c'的方程为2=1。
(3)∵直线x=0是∠CBA 的平分线
∴点A关于直线x=0的对称点A1应在直线BC上。易求得A1的坐标为(-3,-1)。
同理 ∵y=x是∠BCA的平分线,
∴点A关于直线y=x对称点A2也应在直线BC上, 易求得A2的坐标为(-1,3)。
∵点A1、A2均在直线BC上,由两点式求得直线BC方程为2x-y+5=0。
由例3可以看出,曲线关于某条直线的对称问题,实际上可以转化为点关于某条直线的对称问题。
(湖南邵阳市第三中学;422000)
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
【关键词】对称 点 曲线
对称问题是高中数学中的典型问题,主要有两类:一是点或曲线关于某个点的对称问题(即中心对称问题);二是点或曲线关于某条直线的对称问题(即轴对称问题)。下面通过几个例子加以说明。
一、点或曲线关于某个点的对称问题
例1.(1)求点A(a,b)关于点 (0,0)(M(m,n)) 的对称点A'的坐标。
于某个点的对称问题,可以转化为点关于点的对称问题。
二、点或曲线关于某条直线的对称问题(即轴对称问题)。
例2.(1)求点A(a,b)关于x轴、y轴的对称点A'、A''的坐标。
(2)求点A(a,b)关于y=x(y=-x+1)的对称点A'的坐标。
解:(1)通过作图容易得到A'的坐标为(a,-b),A''的坐标为(-a,b)。
(2)方法一:设点A(a,b)关于y=x的对称点A'的坐标为(m,n)。
由(1)、(2)联立方程组,解得m=b,n=a。
同理可求得点A(a,b)关于直线y=-x+1的对称点的坐标为(1-b,1-a)。
方法二:由于对称轴y=x与 y=-x+1的斜率为1或-1,所以A'的坐标可直接利用代换法求得。
例3.(1)求直线x-2y-1=0关于x+y-1=0的对称直线的方程。
(2)求曲线(x-2)2+(y-1)2=1关于直线y=3x-1对称的曲线的方程。
(3)已知?荭ABC的顶点A(3,-1).∠B、∠C的平分线所在的直线方程分别为x=0和y=x。求BC边所在的直线方程。
解:(1)设需求的直线为L。
解方程组x-2y-1=0x+y-1=0可得两直线的交点P的坐标为(1,0),则L一定过点P。
在x-2y-1=0上任取一点M(3,1), 可求得点M关于x+y-1=0的对称点M'的坐标为(0,-2)。
易知点M'也在L上。
∵点P、M'都在L上,由两点式得L的方程为x-y-2=0。另外,还可以利用到角公式求得L的斜率,从而求出L的方程。
(2)方法一:设曲线(x-2)2+(y-1)2=1关于直线y=3x-1对称的曲线为c'。
在c'上任取一点M(x,y),可求出点M关于直线y=3x-1对称点M'的坐标为∵M'一定在曲线(x-2)2+(y-1)2=1上,从而得曲线(上接第38页)
c'的方程为5x2+5y2+4x-18y+12=0。
方法二:∵曲线(x-2)2+(y-1)2=1是一个圆
∴它的对称图形c'必定是与之全等的圆。
∵(x-2)2+(y-1)2=1的圆心C的坐标为(2,1),半径r=1。可求得点C关于直线y=3x-1对称点c'的坐标为(曲线c'的半径人亦为r=1,从而c'的方程为2=1。
(3)∵直线x=0是∠CBA 的平分线
∴点A关于直线x=0的对称点A1应在直线BC上。易求得A1的坐标为(-3,-1)。
同理 ∵y=x是∠BCA的平分线,
∴点A关于直线y=x对称点A2也应在直线BC上, 易求得A2的坐标为(-1,3)。
∵点A1、A2均在直线BC上,由两点式求得直线BC方程为2x-y+5=0。
由例3可以看出,曲线关于某条直线的对称问题,实际上可以转化为点关于某条直线的对称问题。
(湖南邵阳市第三中学;422000)
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文