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一、背景分析
“有余数除法”是人教版实验教材三年级上册的内容,是“表内除法”的延伸和发展,是学习多位数除法的基础,具有重要的地位。本课的教学目标为:①通过操作、观察、小组讨论、师生交流等形式,充分理解余数的产生过程和表示的意义;②通过被除数、除数、商、余数之间关系的探究,发现并理解“余数一定要比除数小”的道理。如何让学生获得鲜明表象,从而建立“余数”的概念,通过数字、图像、语言及数形结合等方式多方位体验有余数除法的含义,感知“余数比除数小”的规律道理,并让学生在试商、调商计算技能方面获得一定的基础?笔者进行了有效的尝试。
二、教学案例
【片段一】摆几个正方形?多几根?
师:(出示一捆小棒)4根小棒能搭一个正方形,用老师手中的小棒搭独立的小正方形,会有怎样的结果?
生1:摆了几个正方形后,会多几根。
生2:摆了几个后会少几根。
生3:也可能会正好摆几个正方形。
师:你能举一种情况来说明刚才的想法吗?
生1:如果是8根正好搭2个正方形。算式是8÷4=2(个)(师用小棒演示后写算式。)
生2:24根正好搭6个正方形。算式是24÷4=6(个)
师:你能举一种多几根的例子吗?
生1:5根摆一个多1根。
师:你是怎么想的?
生1:一个正方形是4根,多1根。
生2:9根也是多1根。
师:哦?怎么想的?
生2:二个是8根,9-8=1。
师:老师用小棒搭出来看看。(演示)
生3:13根也是多1根。
师:怎么想的?
生3:9根多一根,13比9多4,正好多搭一个。
生4:我补充,搭3个用12根,那么13根就多1根。
师:13根小棒搭正方形是这个结果,那么你能用算式表示出来吗?
生1:3×4=12(根),13-12=1(根)
生2:我是这样想出来的:3×4 1=13(根)
生3:我是算出来的:算式是:(13-1)÷4=3(个)
生4:我是算出来的:算式是:13÷4=3(个)……1(根)
师:同学们,你能看懂这里的算式吗?你能说说每个算式的意义吗?
生:前3个算式能看懂,最后的算式看不懂。
师:这个算式表示的意思其实与前边的大致是一样的,就是有13根小棒,每4根正好搭1个正方形,能搭3个还多1根,这里多出来的数1就是余数。
[简析:从开放式的问题入手,让学生感受到有余数除法只是平均分中的一种特殊情况。学生在用4根小棒搭1个正方形的活动的过程中初步获得了“余数”概念的表象支撑,为抽象出“余数”概念埋下了伏笔。]
【片段二】:你会直接列式吗?
师:我们再来想,18根又能搭几个正方形呢?你是怎么得到的?会列式的可直接列算式,不会的可先用小棒摆一摆,再列式。
生1:我是想出来的:4×4=16,18-16=2,所以18÷4=4(个)……2(根)。
师:真好,其他同学能说说吗?(说给同学听听)
师:23根小棒能摆几个?用算式表示。
生:23÷4=5(个)……3(根)
师:怎么想的?
生:4×5=20,23-20=3。
师:那么,14÷4=,19÷4=,25÷4=。
汇报,说说怎么想的。
[简析:“你是怎么得到结果的?”摆小棒是一个方法,但更多的是通过“乘、减”二步得到的,这里其实已经涉及到了“试商”这一层意思了。由于前期小棒的操作对感知余数有了一定的基础,试商这个难点也变得水到渠成。]
【片段三】“你发现了什么规律?”
师:同学们,你能在脑中用9根、10根、11根、12根、13根、14根、15根、16根、17根、18根、19根、20根小棒搭独立的正方形吗?分别有怎样的结果?能用算式表示吗?(生思考、写算式)
生汇报: 9÷4=2(个)……1(根)
10÷4=2(个)……2(根)
11÷4=2(个)……3(根)
12÷4=3(个)
13÷4=3(个)……1(根)
14÷4=3(个)……2(根)
15÷4=3(个)……3(根)
16÷4=4(个)
17÷4=4(个)……1(根)
18÷4=4(个)……2(根)
19÷4=4(个)……3(根)
20÷4=5(个)
师:观察上面的商和余数,你有什么想法?
生1:12÷4=3(个)可以看成是余0根。
生2:余数是1、2、3、1、2、3重复。
师:为什么余数只出现1、2、3,不出现4、5等呢?
生:因为余1、2、3根的话,不够搭正方形了,多4根的话,还可以用4根搭1个正方形,多5根的话,还可以用4根搭1个正方形,还多1根。
师:余数和除数大小有什么关系?
生1:余数不能比除数大。
生2:余数要比除数小。
[简析:脑中搭正方形在内容上与操作相似,但体现了不同的思维水平,加深了学生对余数意义的理解。]
三、亮点透析
心理学研究成果表明:当数学的一个概念被提及时,人们的记忆很快构成一种刺激,处于长期记忆中的某种东西迅速得到“激活”,这种“激活”的东西被看成抽象的概念的“心理对应物”。数学的概念掌握、数学问题的解决很大程度上取决于这种“心理对应物”的激活程度,“心理对照物”即“心智图像”,它是具有某种程度抽象的、模式化了的形象。
1.深刻理解概念。許多抽象的、晦涩难懂的问题,需要运用直感,以一种简明、形象的方式表征,以形成相应的心智图像。教学中很好地利用学生的认知差异和思维惯性引起矛盾冲突,诱导学生探索的过程中产生一种顿悟与反思。
2.构通运算方法。理解了余数的概念,以及余数比除数小的原理,还要进一步理解怎样进行有余数除法的计算方法。这样才能让学生对概念的理解达到更深的层面,而不至于停留于表面。
总之,本课根据数学知识的特点和儿童的年龄特点,通过直观形象的教具展示、学具操作等形式,使学生积极主动参与学习,通过自己的努力发现问题,解决问题,借助动手操作活动让学生形成数学概念,构建了新的知识体系,给学生以成就感,通过心智图像合理建构的训练,提高了学生的直观“透视”能力、联想能力和想象能力,进而提高了学生的形象思维能力,为接下来计算有余数除法埋下了伏笔。
“有余数除法”是人教版实验教材三年级上册的内容,是“表内除法”的延伸和发展,是学习多位数除法的基础,具有重要的地位。本课的教学目标为:①通过操作、观察、小组讨论、师生交流等形式,充分理解余数的产生过程和表示的意义;②通过被除数、除数、商、余数之间关系的探究,发现并理解“余数一定要比除数小”的道理。如何让学生获得鲜明表象,从而建立“余数”的概念,通过数字、图像、语言及数形结合等方式多方位体验有余数除法的含义,感知“余数比除数小”的规律道理,并让学生在试商、调商计算技能方面获得一定的基础?笔者进行了有效的尝试。
二、教学案例
【片段一】摆几个正方形?多几根?
师:(出示一捆小棒)4根小棒能搭一个正方形,用老师手中的小棒搭独立的小正方形,会有怎样的结果?
生1:摆了几个正方形后,会多几根。
生2:摆了几个后会少几根。
生3:也可能会正好摆几个正方形。
师:你能举一种情况来说明刚才的想法吗?
生1:如果是8根正好搭2个正方形。算式是8÷4=2(个)(师用小棒演示后写算式。)
生2:24根正好搭6个正方形。算式是24÷4=6(个)
师:你能举一种多几根的例子吗?
生1:5根摆一个多1根。
师:你是怎么想的?
生1:一个正方形是4根,多1根。
生2:9根也是多1根。
师:哦?怎么想的?
生2:二个是8根,9-8=1。
师:老师用小棒搭出来看看。(演示)
生3:13根也是多1根。
师:怎么想的?
生3:9根多一根,13比9多4,正好多搭一个。
生4:我补充,搭3个用12根,那么13根就多1根。
师:13根小棒搭正方形是这个结果,那么你能用算式表示出来吗?
生1:3×4=12(根),13-12=1(根)
生2:我是这样想出来的:3×4 1=13(根)
生3:我是算出来的:算式是:(13-1)÷4=3(个)
生4:我是算出来的:算式是:13÷4=3(个)……1(根)
师:同学们,你能看懂这里的算式吗?你能说说每个算式的意义吗?
生:前3个算式能看懂,最后的算式看不懂。
师:这个算式表示的意思其实与前边的大致是一样的,就是有13根小棒,每4根正好搭1个正方形,能搭3个还多1根,这里多出来的数1就是余数。
[简析:从开放式的问题入手,让学生感受到有余数除法只是平均分中的一种特殊情况。学生在用4根小棒搭1个正方形的活动的过程中初步获得了“余数”概念的表象支撑,为抽象出“余数”概念埋下了伏笔。]
【片段二】:你会直接列式吗?
师:我们再来想,18根又能搭几个正方形呢?你是怎么得到的?会列式的可直接列算式,不会的可先用小棒摆一摆,再列式。
生1:我是想出来的:4×4=16,18-16=2,所以18÷4=4(个)……2(根)。
师:真好,其他同学能说说吗?(说给同学听听)
师:23根小棒能摆几个?用算式表示。
生:23÷4=5(个)……3(根)
师:怎么想的?
生:4×5=20,23-20=3。
师:那么,14÷4=,19÷4=,25÷4=。
汇报,说说怎么想的。
[简析:“你是怎么得到结果的?”摆小棒是一个方法,但更多的是通过“乘、减”二步得到的,这里其实已经涉及到了“试商”这一层意思了。由于前期小棒的操作对感知余数有了一定的基础,试商这个难点也变得水到渠成。]
【片段三】“你发现了什么规律?”
师:同学们,你能在脑中用9根、10根、11根、12根、13根、14根、15根、16根、17根、18根、19根、20根小棒搭独立的正方形吗?分别有怎样的结果?能用算式表示吗?(生思考、写算式)
生汇报: 9÷4=2(个)……1(根)
10÷4=2(个)……2(根)
11÷4=2(个)……3(根)
12÷4=3(个)
13÷4=3(个)……1(根)
14÷4=3(个)……2(根)
15÷4=3(个)……3(根)
16÷4=4(个)
17÷4=4(个)……1(根)
18÷4=4(个)……2(根)
19÷4=4(个)……3(根)
20÷4=5(个)
师:观察上面的商和余数,你有什么想法?
生1:12÷4=3(个)可以看成是余0根。
生2:余数是1、2、3、1、2、3重复。
师:为什么余数只出现1、2、3,不出现4、5等呢?
生:因为余1、2、3根的话,不够搭正方形了,多4根的话,还可以用4根搭1个正方形,多5根的话,还可以用4根搭1个正方形,还多1根。
师:余数和除数大小有什么关系?
生1:余数不能比除数大。
生2:余数要比除数小。
[简析:脑中搭正方形在内容上与操作相似,但体现了不同的思维水平,加深了学生对余数意义的理解。]
三、亮点透析
心理学研究成果表明:当数学的一个概念被提及时,人们的记忆很快构成一种刺激,处于长期记忆中的某种东西迅速得到“激活”,这种“激活”的东西被看成抽象的概念的“心理对应物”。数学的概念掌握、数学问题的解决很大程度上取决于这种“心理对应物”的激活程度,“心理对照物”即“心智图像”,它是具有某种程度抽象的、模式化了的形象。
1.深刻理解概念。許多抽象的、晦涩难懂的问题,需要运用直感,以一种简明、形象的方式表征,以形成相应的心智图像。教学中很好地利用学生的认知差异和思维惯性引起矛盾冲突,诱导学生探索的过程中产生一种顿悟与反思。
2.构通运算方法。理解了余数的概念,以及余数比除数小的原理,还要进一步理解怎样进行有余数除法的计算方法。这样才能让学生对概念的理解达到更深的层面,而不至于停留于表面。
总之,本课根据数学知识的特点和儿童的年龄特点,通过直观形象的教具展示、学具操作等形式,使学生积极主动参与学习,通过自己的努力发现问题,解决问题,借助动手操作活动让学生形成数学概念,构建了新的知识体系,给学生以成就感,通过心智图像合理建构的训练,提高了学生的直观“透视”能力、联想能力和想象能力,进而提高了学生的形象思维能力,为接下来计算有余数除法埋下了伏笔。