摘要:本文对2009年盐城市一道调研试题的参考答案提出困惑与质疑,在对解法进行认真的分析与研究的基础上,对参考答案进行了完善,并提出一种新的解法,同时对问题进行类比和推广,有利于提高学生分析问题、解决问题的能力.
　　关键词:调研试题;困惑;解决;推广
　　
　　问题与困惑
　　(2009年盐城市三调试题)已知{an｝为等差数列,且an≠0,公差d≠0.
　　(1)试证:-=;-+=;-+-=;
　　(2)根据(1)中的几个等式,试归纳出更一般的结论,并用数学归纳法证明.
　　对于(2),参考答案给出的解法是:
　　结论-+-…+=.
　　证明①当n=2,3,4时,等式成立;
　　②假设当n=k时,-+-…+=成立,
　　那么当n=k+1时,因为C=C+C,所以
　　-+-…+=-+-…++=-+-…+--+-…+=-=(ak+1-a1)=,
　　所以,当n=k+1时,结论也成立.
　　综合①②知,-+-…+=对n≥2都成立.
　　在上述的用数学归纳法证明过程中,假设当n=k时,-+-…+=成立,而在证明n=k+1时,不仅使用了假设“-+-…+=”,而且默认了等式“-+-…+=”的成立,这个等式的出现给人的感觉好像就是“帽子里突然窜出的一只兔子”!我们困惑的是这种证法正确吗?是不是犯了“循环论证”的错误呢?笔者带着这一系列的疑问进行了认真的分析研究.
　　
　　研究与解决
　　首先,我们写出完整的结论:对于任意公差为d的等差数列{an｝,且an≠0,公差d≠0,总有-+-…+=.
　　那么假设当n=k时命题成立,到底成立什么呢?我们能够得到什么结果呢?事实上,我们可以得到,若a1,a2,…,ak是以d为公差的等差数列,总有-+-…+=;若a2,a3,…,ak,ak+1是以d为公差的等差数列,总有-+-…+=;……?摇若am,am+1,…,ak+m-1是以d为公差的等差数列,总有-+-…+=. 由此可以看出,上述证明过程不够严谨,在假设n=k时命题成立这一步,没有交代清楚.
　　下面用数学归纳法给出证明.
　　证明①当n=2,3,4时,等式成立;
　　②假设当n=k时命题成立.由a1,a2,…,ak与a2,a3,…,ak,ak+1均为以d为公差的等差数列知-+-…+=, (1)
　　-+-…+=.(2)
　　当n=k+1时,后面的证明过程与参考答案一致,这里略去不写.
　　下面再提供一种与参考答案不同的证法:
　　证明①当n=2,3,4时,等式成立;
　　②假设当n=k时,-+-…+=成立,
　　那么当n=k+1时,右边==•=-+-…+•=-+-…+=C--C-+C-+…+(-1)k-1C-=-+-…+-=-+-…+-=-+-…++=左边.
　　所以,当n=k+1时,结论也成立.
　　综合①②知,-+-…+=对n≥2都成立.
　　事实上,由上述证明过程可知,当d=0时结论仍然成立. 不妨取an=1,d=0,则有:C+(-1)C+(-1)2C+…+(-1)nC=0,即C+C+…=C+C+….这就是二项式系数的一个重要性质.
　　
　　类比与推广
　　这道调研试题给出了等差数列的一个性质,那么等比数列是否也有类似的性质呢?设数列{an｝是以a1为首项,q为公比的等比数列,我们易得以下几个恒等式:
　　+=,++==,
　　+++==.
　　注意到系数与组合数之间的关系,因此以上三式可改写为:
　　+=,
　　++=,
　　+++=.
　　根据以上三式的结构,我们很容易猜想:对于任意以a为首项,q为公比的等比数列{an｝,总有
　　+++…++=(证明略).