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【摘要】 恩格斯说：“思维是地球上最美丽的花朵。”而要让数学思维的花朵，在学生的心里绚丽绽放，数学课程资源是培养发展学生思维能力的重要载体。新课程的实施，需要灵活、合理挖掘和拓展课程资源，让学生体验数学的千变万化，通过习题中已知条件和结论的发散，纵横联想，启迪学生的智慧；通过抓住问题本质特征，进行一题多解、一题多变、一题多思，从而促进思维发散，进而启发学生举一反三，触类旁通，培养了学生的发散性思维能力和品质。
【关键词】发散思维 一题多解 一题多变 一题多思
数学教学的目的之一是培养学生的数学思维能力，而挖掘课程资源是培养学生思维能力的重要载体。为了提高数学学习效率，教师应把学生从题海中领出来，启发学生一题多解、一题多变、一题多思，通过多解、多变、多思来激活思维，使学生产生众横联想，进而培养思维的灵活性、深刻性、广阔性、变通性，从而培养学生的数学思维品质。
一、一题多解
一题多解的训练是培养学生发散思维的一个好方法。让学生多角度、多方位地进行分析思考，探求不同的解题途径。在课堂教学过程中，教师应有意识地对一些典型例题开展“一题多解”、“寻找更优解”等活动，这样不仅可以激发学生解决问题的热情，突出学生在课堂教学中的主体地位，而且对提高学生的思维品质，培养解题能力是非常有益的。
例1比较 与 的大小，并说明理由。（浙教版数学八年级下册15页习题7）
解法一：
显然
（被开方数越大算术平方根就越大）
解法二：直接用计算器求算术平方根法
最直接的方法就是最简单的方法。
解法三：构图法
以 长为两直角边的直角三角形中，其斜边的平方由勾股定理得 ，则这个直角三角形的斜边长为 。根据三角形的任意两边之和大于第三边的性质，就有两直角边长之和大于斜边长，即 。再逆用二次根式的性质⑶，有 ，所以就有 。
这种巧构直角三角形的数形结合的解题方法，不仅开阔了学生的视野，同时激活了学生的思维。
同一个问题通过多种方法来求解，增强了学生思维的灵活性和变通性，多种方法的灵活运用能让学生产生“海阔凭鱼跃，天高任鸟飞”的感觉。
二、一题多变
布鲁纳指出，掌握基本数学思想和方法能使数学更易于理解和更易于记忆，领会数学的基本思想方法就是通过迁移。变是求异思维、创新思维的最高境界。对题中的条件、问题做各种扩缩、顺逆的变化，让学生在各种变化了的情境中，从不同角度训练学生的发散思维。一个问题解决后，引导学生整理思维过程，确定解题关键，再进一步提炼解题规律，从而提高思维的深刻性。
例2已知：如图，在△ABC中，AB=AC。以AB为直径的圆交BC于点交AC于点E。求证: BD =DE。（浙教版数学九年级上册78页）
分析：要证明BD =DE，只要证明∠BAD=∠CAD，即AD是∠BAC的平分线。因此问题就化归为证明AD是BC边上的高，这可由AB是圆的直径得到。
变式1在上题的基础上，作DF⊥AC于点F。求证：DF是⊙O的切线。
分析：要证明DF是⊙O的切线，只要连结OD,证明OD⊥DF，而已知DF⊥AC。因此问题就化归为证明AC∥OD，这可由AB=AC ,OB=OD得到同位角∠BDO=∠C，即可解决此题。
归纳解题方法：有切点，连半径，证垂直。
变式2在变式1的基础上，如果将△ABC进行适当的相似变化，当满足OD=DF时，判断AC是否为⊙O的切线。
分析：要判断AC是⊙O的切线，只要过点O,作OD⊥DE交AC于点E，再证明OE是⊙O的半径。由变式1的结果得OD⊥DF，而DF⊥AC得到四边形ODFE是矩形，已知OD=DF，显然四边形ODFE是正方形，这样OE=OD，可证得AC是⊙O的切线。
归纳解题方法：无切点，作垂直，证半径。
变式3在△ABC 中AB=AC。现以BC为直径作⊙O，与边AB相交于点D，切线DE⊥AC,垂足为点E。此时，△ABC是否为特殊三角形？
分析：要判断△ABC的形状，而DE是⊙O的切线，只要连结OD,可得 OD⊥DE，又DE⊥AC, 就有AC∥OD，则同位角∠BOD=∠C；已知AB=AC得∠B=∠C，所以∠BOD=∠B，就有OD=BD,显然OB=OD，得OB=OD=BD, 从而得到∠B=60°，这样可证△ABC的为等边三角形。
归纳解题方法：是切线，找半径，必垂直。
解完一道题后归纳解题规律，在原题上进行编题，探索新命题，通过多题同解，做到举一反三，触类旁通，从而发展思维。
例3（浙教版数学八年级上册43页阅读材料）如图⑴，分别以Rt△ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3 表示，则不难证明S1= S2+S3。
⑴如图⑵，分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3 表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系（不必证明）？
⑵如图⑶，分别以Rt△ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3 表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明。
（图1） （图2）（图3）
⑶若分别以Rt△ABC三邊为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1、S2、S3 表示，为使S1、S2、S3之间仍具有与⑵相同的关系，所作三角形应满足什么条件？证明你的结论。
⑷类比例3的⑴、⑵、⑶的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论。
略解：设Rt△ABC三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c，则有c2=a2+b2
⑶当所作的三个三角形相似时，S1= S2+S3。理由如下：
因为所作的三个三角形相似，所以有
⑷分别以Rt△ABC三边为边向外作三个相似图形，其面积分别用S1、S2、S3 表示（S1最大），则S1= S2+S3。
上述两个例题属于开放式的变形，学生的发散思维能力发挥的淋漓尽致，但学习中应注意甄别比较其异同点，加强“同中求异”、“异种求同”的思维训练。
三、一题多思
爱因斯坦说过：“提出一个问题，往往比解决一个问题更重要。”对于一个现有的问题，引导学生从多角度思考问题的内涵和外延，对提高思维的发散性、增强通达善变的能力大有裨益。
从上述例3出发，可以引导学生做如下探究思考。
思考1若以△ABC三边为边向外作三个正方形的面积满足S2+S3= S1，则该三角形是直角三角形吗？
解析：根据正方形面积公式和勾股定理的逆定理可以证明得之。
思考2 若以△ABC三边为直径向外作三个半圆的面积满足S2+S3= S1，则该三角形是直角三角形吗？
解析：根据圆的面积公式和勾股定理的逆定理同样可以证明得之。
思考3 若以△ABC三边为边向外作三个正三角形的面积满足S2+S3= S1，则该三角形是直角三角形吗？
解析：根据正三角形的性质及面积公式和勾股定理的逆定理同样可以证明得之。
可以看出此三个思考题是例3的三个逆命题，逆向思维是数学思维的一个重要组成部分，是进行思维训练的载体。加强从正向思维转向逆向思维的培养，能有效地提高学生思维能力和创新意识。
思考4 如图△ABC三边为直径作三个半圆，两个月牙形的面积之和等于△ABC的面积，即S2+S1= S3，则该三角形是直角三角形吗？
解析：因为两个月牙形的面积之和等于△ABC的面积，都加上空白部分的面积，两个直径较小的半圆面积之和等于直径最大的半圆面积，再根据圆的面积公式和勾股定理的逆定理同样可以证明得之。
思考5如图以△ABC三边为边作三个正方形。已知这三个正方形构成的图形中，灰色部分的面积与黑色部分的面积相等，则该三角形是直角三角形吗？
解析：因为灰色部分的面积与黑色部分的面积相等，都加上空白部分的面积，两个较小边长的正方形面积之和等于边长最大的正方形面积，再根据正方形的面积公式和勾股定理的逆定理同样可以证明得之。
在数学学习中，多思就会多问。引导学生从某些熟知的数学问题出发，提出若干富有探索性的新问题，经过独立探索，既能提高学生思维的灵活性，又能培养学生的发散思维能力。
总之，在数学学习中，灵活善变的解题能力不是从题海战术中来，而是从活的思维源头而来。只有在平时教学过程中经常进行举一反三的训练，注意培养一题多解、一题多变、一题多思的思维习惯，加强发散思维、创新思维的培养，才能不断提高学生的思维品质，增强学生的分析综合能力，收到一不变应万变之效，达到游刃有余的境界。
【参考文献】
⑴《义务教育课程标准实验教科书》八年级上册.浙江教育出版社2006.7第2版第43页。
⑵《义务教育课程标准实验教科书》八年级下册.浙江教育出版社2005.12第1版第15页。
⑶《义务教育课程标准实验教科书》九年级上册.浙江教育出版社2006.7第1版第78页。
⑷胡小斌、余真彪《数学课堂发散性思维能力训练的策略》，《教学月刊》小学版，2010.12，第28-29页。
注：文章内所有公式及图表请以PDF形式查看。
【关键词】发散思维 一题多解 一题多变 一题多思
数学教学的目的之一是培养学生的数学思维能力，而挖掘课程资源是培养学生思维能力的重要载体。为了提高数学学习效率，教师应把学生从题海中领出来，启发学生一题多解、一题多变、一题多思，通过多解、多变、多思来激活思维，使学生产生众横联想，进而培养思维的灵活性、深刻性、广阔性、变通性，从而培养学生的数学思维品质。
一、一题多解
一题多解的训练是培养学生发散思维的一个好方法。让学生多角度、多方位地进行分析思考，探求不同的解题途径。在课堂教学过程中，教师应有意识地对一些典型例题开展“一题多解”、“寻找更优解”等活动，这样不仅可以激发学生解决问题的热情，突出学生在课堂教学中的主体地位，而且对提高学生的思维品质，培养解题能力是非常有益的。
例1比较 与 的大小，并说明理由。（浙教版数学八年级下册15页习题7）
解法一：
显然
（被开方数越大算术平方根就越大）
解法二：直接用计算器求算术平方根法
最直接的方法就是最简单的方法。
解法三：构图法
以 长为两直角边的直角三角形中，其斜边的平方由勾股定理得 ，则这个直角三角形的斜边长为 。根据三角形的任意两边之和大于第三边的性质，就有两直角边长之和大于斜边长，即 。再逆用二次根式的性质⑶，有 ，所以就有 。
这种巧构直角三角形的数形结合的解题方法，不仅开阔了学生的视野，同时激活了学生的思维。
同一个问题通过多种方法来求解，增强了学生思维的灵活性和变通性，多种方法的灵活运用能让学生产生“海阔凭鱼跃，天高任鸟飞”的感觉。
二、一题多变
布鲁纳指出，掌握基本数学思想和方法能使数学更易于理解和更易于记忆，领会数学的基本思想方法就是通过迁移。变是求异思维、创新思维的最高境界。对题中的条件、问题做各种扩缩、顺逆的变化，让学生在各种变化了的情境中，从不同角度训练学生的发散思维。一个问题解决后，引导学生整理思维过程，确定解题关键，再进一步提炼解题规律，从而提高思维的深刻性。
例2已知：如图，在△ABC中，AB=AC。以AB为直径的圆交BC于点交AC于点E。求证: BD =DE。（浙教版数学九年级上册78页）
分析：要证明BD =DE，只要证明∠BAD=∠CAD，即AD是∠BAC的平分线。因此问题就化归为证明AD是BC边上的高，这可由AB是圆的直径得到。
变式1在上题的基础上，作DF⊥AC于点F。求证：DF是⊙O的切线。
分析：要证明DF是⊙O的切线，只要连结OD,证明OD⊥DF，而已知DF⊥AC。因此问题就化归为证明AC∥OD，这可由AB=AC ,OB=OD得到同位角∠BDO=∠C，即可解决此题。
归纳解题方法：有切点，连半径，证垂直。
变式2在变式1的基础上，如果将△ABC进行适当的相似变化，当满足OD=DF时，判断AC是否为⊙O的切线。
分析：要判断AC是⊙O的切线，只要过点O,作OD⊥DE交AC于点E，再证明OE是⊙O的半径。由变式1的结果得OD⊥DF，而DF⊥AC得到四边形ODFE是矩形，已知OD=DF，显然四边形ODFE是正方形，这样OE=OD，可证得AC是⊙O的切线。
归纳解题方法：无切点，作垂直，证半径。
变式3在△ABC 中AB=AC。现以BC为直径作⊙O，与边AB相交于点D，切线DE⊥AC,垂足为点E。此时，△ABC是否为特殊三角形？
分析：要判断△ABC的形状，而DE是⊙O的切线，只要连结OD,可得 OD⊥DE，又DE⊥AC, 就有AC∥OD，则同位角∠BOD=∠C；已知AB=AC得∠B=∠C，所以∠BOD=∠B，就有OD=BD,显然OB=OD，得OB=OD=BD, 从而得到∠B=60°，这样可证△ABC的为等边三角形。
归纳解题方法：是切线，找半径，必垂直。
解完一道题后归纳解题规律，在原题上进行编题，探索新命题，通过多题同解，做到举一反三，触类旁通，从而发展思维。
例3（浙教版数学八年级上册43页阅读材料）如图⑴，分别以Rt△ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3 表示，则不难证明S1= S2+S3。
⑴如图⑵，分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3 表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系（不必证明）？
⑵如图⑶，分别以Rt△ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3 表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明。
（图1） （图2）（图3）
⑶若分别以Rt△ABC三邊为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1、S2、S3 表示，为使S1、S2、S3之间仍具有与⑵相同的关系，所作三角形应满足什么条件？证明你的结论。
⑷类比例3的⑴、⑵、⑶的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论。
略解：设Rt△ABC三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c，则有c2=a2+b2
⑶当所作的三个三角形相似时，S1= S2+S3。理由如下：
因为所作的三个三角形相似，所以有
⑷分别以Rt△ABC三边为边向外作三个相似图形，其面积分别用S1、S2、S3 表示（S1最大），则S1= S2+S3。
上述两个例题属于开放式的变形，学生的发散思维能力发挥的淋漓尽致，但学习中应注意甄别比较其异同点，加强“同中求异”、“异种求同”的思维训练。
三、一题多思
爱因斯坦说过：“提出一个问题，往往比解决一个问题更重要。”对于一个现有的问题，引导学生从多角度思考问题的内涵和外延，对提高思维的发散性、增强通达善变的能力大有裨益。
从上述例3出发，可以引导学生做如下探究思考。
思考1若以△ABC三边为边向外作三个正方形的面积满足S2+S3= S1，则该三角形是直角三角形吗？
解析：根据正方形面积公式和勾股定理的逆定理可以证明得之。
思考2 若以△ABC三边为直径向外作三个半圆的面积满足S2+S3= S1，则该三角形是直角三角形吗？
解析：根据圆的面积公式和勾股定理的逆定理同样可以证明得之。
思考3 若以△ABC三边为边向外作三个正三角形的面积满足S2+S3= S1，则该三角形是直角三角形吗？
解析：根据正三角形的性质及面积公式和勾股定理的逆定理同样可以证明得之。
可以看出此三个思考题是例3的三个逆命题，逆向思维是数学思维的一个重要组成部分，是进行思维训练的载体。加强从正向思维转向逆向思维的培养，能有效地提高学生思维能力和创新意识。
思考4 如图△ABC三边为直径作三个半圆，两个月牙形的面积之和等于△ABC的面积，即S2+S1= S3，则该三角形是直角三角形吗？
解析：因为两个月牙形的面积之和等于△ABC的面积，都加上空白部分的面积，两个直径较小的半圆面积之和等于直径最大的半圆面积，再根据圆的面积公式和勾股定理的逆定理同样可以证明得之。
思考5如图以△ABC三边为边作三个正方形。已知这三个正方形构成的图形中，灰色部分的面积与黑色部分的面积相等，则该三角形是直角三角形吗？
解析：因为灰色部分的面积与黑色部分的面积相等，都加上空白部分的面积，两个较小边长的正方形面积之和等于边长最大的正方形面积，再根据正方形的面积公式和勾股定理的逆定理同样可以证明得之。
在数学学习中，多思就会多问。引导学生从某些熟知的数学问题出发，提出若干富有探索性的新问题，经过独立探索，既能提高学生思维的灵活性，又能培养学生的发散思维能力。
总之，在数学学习中，灵活善变的解题能力不是从题海战术中来，而是从活的思维源头而来。只有在平时教学过程中经常进行举一反三的训练，注意培养一题多解、一题多变、一题多思的思维习惯，加强发散思维、创新思维的培养，才能不断提高学生的思维品质，增强学生的分析综合能力，收到一不变应万变之效，达到游刃有余的境界。
【参考文献】
⑴《义务教育课程标准实验教科书》八年级上册.浙江教育出版社2006.7第2版第43页。
⑵《义务教育课程标准实验教科书》八年级下册.浙江教育出版社2005.12第1版第15页。
⑶《义务教育课程标准实验教科书》九年级上册.浙江教育出版社2006.7第1版第78页。
⑷胡小斌、余真彪《数学课堂发散性思维能力训练的策略》，《教学月刊》小学版，2010.12，第28-29页。
注：文章内所有公式及图表请以PDF形式查看。