近年数学中考和初中数学竞赛考试中出现了很多把正整数按一定规律排列后，然后探索其变化规律解决问题的题目，学生由于知识面窄，大部分學生很难顺利完成，因此有必要对这类进行深刻的探索与研究，让学生很好的掌握这类题的解题思路和解题规律。正整数按规律排列的习题的探索，就是要广泛收集问题所给的信息，合理选择已有的知识和方法，经过观察猜想、推演计算等得出结论的过程。
　　规律探索型问题的特点在于问题结论不直接给出，需要通过观察、分析、归纳、概括、推理、判断等一系列探索活动逐步确立应有的规律。
　　【引例】将正整数按如图所示的规律排列下去，且用 表示位于从上到下第n行，从左到右第m列的数，如： ，若 ，则有序数对 表示的坐标是（ ）
　　【探索】观察排列规律发现：①从1开始，第n排排n数，呈蛇形顺序接力，即：第1排1个数，第2排2个数，第3排3个数，第n排n个数；②奇数排从左到右由小到大，偶数排从左到右由大到小；③从第1排开始，各排的数字之和有一定规律，即奇数排的和等于最后这排最右边的数，偶数排的和等于最后这排最左边的数，如：1+2+3=6，6为第3排最右边的数，1+2+3+4=10，10为第4排最左边的数；④奇数排最左边的第1个数等于最右边的数减排数加1，如：4（第3排最左边的数）=6（最右边的数）-3（排数）+1，偶数排最右边的数等于最左边的数减排数加1，如7=10-4+1；⑤要确定的数在几排几列，先确定这个数在第几排，再确定它在第几列；⑥要确定的数要小于等于所有排数之和，如 中，5﹤1+2+3， 中，10=1+2+3+4，⑦正整数的和： （n为正整数）.
　　【解析】先由 得： ，而 ∴ ，又∵第63排是奇数排，从左到右由小到大，∴2016是第63排最右边的数，即第63排的第63列的数，从右往左数第60列就是2013，故数对 表示的坐标是A.
　　（一）已知有序数对表示的数，求有序数对
　　【例1】将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对（n，m）表示第n排从左到右第m个数，如（4，2）表示9，则表示58的有序数对是 .
　　【解】∵ ，且1+2+3+…+11=66﹥58
　　又∵第11排是奇数排，从左到右由小到大，∴66是第11排最右边的数，即第11排的第11列的数，从而，第11排最左边的那个数是：66-11+1=56，即第11排第1列的数是56，所以，从左数到右第3列的数是58，故表示58的有序数对是（11，3）.
　　【例2】将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对（n，m）表示第n排，从左到右第m个数，如（4，2）表示实数9，则表示实数1962的有序实数对是______.
　　【解】∵ ，且1+2+3+…+63=2016﹥1962
　　又∵第63排是奇数排，从左到右由小到大，∴2016是第63排最右边的数，即第63排的第63列的数，从而，第63排最左边的那个数是：2016-63+1=1954，即第63排第1列的数是1954，所以，从左数到右第9列的数是1962，故表示1962的有序数对是（63，9）.
　　（二）已知有序数对，确定它表示的数
　　【例3】将正整数按如图所示的规律排列下去.若用有序实数对（n，m）表示第n排，从左到右第m个数，如（4，3）表示实数9，则（100，50）表示的实数是 .
　　【解】∵1+2+3+…+100=5050，且第100排是偶数排，从左到右由大到小，∴5050是第100排的第1个数，第50个数是5050-50+1=5001，∴（100，50）表示的实数是5001.
　　【归纳】正整数呈蛇形顺序接力分布时，若“已知有序数对表示的数，求有序数对”时，先求出此数的2倍的算术平方根（精确到个位），此算术根即为排数，再求排数之和，最后根据奇偶排确定和是最左边还是最右边的数，从而找出列数；若“已知有序数对，确定它表示的数”时，先求排数之和，再根据奇偶排确定和是最左边还是最右边的数，最后依据列数找出要确定的数.