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向量法是解决立体几何问题的利器,把不少复杂的立体几何问题转变为纯代数运算,实现了“数”与“形”的有机统一.用向量法求角、距离避免了因添加辅助线而造成的视角干扰和复杂的逻辑推理, 具有新颖、直观、简明的优点,因为思路清楚,目标明确,并能够有效降低求解难度,易于为学生接受.笔者就法向量在高考解题中的应用归类如下：
结论一：直线a的方向向量和平面α的法向量分别为m、n，则直线a和平面α所成的角θ等于向量m、n所成的锐角（若所成的角为钝角，则为其补角）的余角，即θ=arcsin|m•n||m|•|n|.
例1 （2009全国卷Ⅱ文）
如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1
（Ⅰ） 证明：AB=AC
（Ⅱ） 设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小
解：（Ⅰ） 以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A—xyz.
设B（1，0，0），C（0，b，0），D（0，0，c），则B1（1，0，2c）,E12，b2，c.
于是DE=12，b2，0，BC=（-1，b,0）.
由DE⊥平面BCC1知DE⊥BC，DE•BC=0，求得b=1，所以AB=AC.
（Ⅱ） 设平面BCD的法向量AN=（x,y,z）则AN•BC=0，AN•BD=0
又BC=（-1，1，0），BD=（-1，0，c）,故-x+y=0
-x+cz=0
令x=1, 则y=1, z=1c,AN=1,1,1c.又平面ABD的法向量AC=（0，1，0）由二面角A-BD-C为60°知，〈AN，AC〉=60°，故AN•AC=|AN|•|AC|=cos60°，求得c=12
于是AN=（1，1，2），CB1=（1，-1，2）
cos〈AN，CB〉，=AN•CB1|AN|•|CB1|=12，
〈AN，CB1〉=60°，所以B1C与平面BCD所成的角为30°
特别的当直线与平面平行时，直线与平面所成的角为0°，此时直线的方向向量与平面的法向量垂直，我们可利用这一特征来证明直线与平面平行.
结论二：如果不在平面内一条直线与平面的一个法向量垂直，那么这条直线和这个平面平行.
例2 （2009浙江卷理）如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E,F,O分别为PA，PB，AC的中点，AC=16,PA=PC=10．
（Ⅰ） 设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE；
（Ⅱ） 证明：在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE，并求点M到OA，OB的距离．
证明 （Ⅰ）如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，O（0，0，0），A（0，-8，0），B（8，0，0），C（0，8，0），P（0，0，6），E（0，-4，3），F（4，0，3）由题意得，G（0，4，0）因OB=（8，0，0），OE=（0，-4，3），因此平面BOE的法向量为n=（0，3，4），FG=（-4，4，-3）得n•FG=0，又直线FG不在平面BOE内，因此有FG∥平面BOE
（Ⅱ） 设点M的坐标为（x0，y0，0），则FM=（x0-4，y0，-3），因为FM⊥平面BOE，所以有FM∥n，因此有x0=4，y0=-94，即点M的坐标为4,-94，0，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的内部区域满足不等式组x＞0
y＜0
x-y＜8，经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在△ABC内存在一点M，使FM⊥平面BOE，由点M的坐标得点M到OA，OB的距离为4，94．
同样，当直线与平面垂直时，直线与平面所成的角为90°，此时直线的方向向量与平面的法向量平行，我们可利用这一特征来证明直线与平面垂直.
结论三：设两个平面α和β的法向量分别为m，n，若m⊥n，则这两个平面垂直.
第（18）题Ⅰ（综合法）图
例3 （2009安徽卷理）（本小题满分13分）
如图，四棱锥F－ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2，BD=2，AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=2.
（Ⅰ） 求二面角B－AF－D的大小；
（Ⅱ） 求四棱锥E－ABCD与四棱锥F－ABCD公共部分的体积.
解：（Ⅰ） (综合法)连接AC、BD交于菱形的中心O，过O作OG⊥AF，G为垂足.连接BG、DG.
由BD⊥AC,BD⊥CF,得：BD⊥平面ACF，故BD⊥AF.
于是AF⊥平面BGD,所以BG⊥AF,DG⊥AF,∠BGD为二面角B-AF-D的平面角.
由FC⊥AC,FC=AC=2,得∠FAC=π4,OG=π2.
由OB⊥OG,OB=OD=22,得∠BGD=2∠BGO=π2.
第（18）题Ⅰ图
第（18）题Ⅰ图
第（18）题Ⅱ图
(向量法)以A为坐标原点，BD、AC、AE方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图).于是B-22，1，0，D22，1，0，F（0，2，2）.
设平面ABF的法向量n1=（x,y,z），则由n•AB=0
n•AF=0得-22x+y=0
2y+2z=0.
令z=1,得x=-2
y=-1，n1=（-2，-1，1）
同理，可求得平面ADF的法向量n2=（2，-1，1）.
由n1•n2=0知，平面ABF与平面ADF垂直，二面角B-AF-D的大小等于π2.
（Ⅱ） 连EB、EC、ED，设直线AF与直线CE相交于点H，则四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD的公共部分为四棱锥H-ABCD.
过H作HP⊥平面ABCD，P为垂足.
因为EA⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，所以平面ACFE⊥平面ABCD，从而P∈AC，HP⊥AC.
由HPCF+HPAE=APAC+PCAC=1，得HP=23.
又因为S菱形ABCD=12AC•BD=2，
故四棱锥H-ABCD的体积V=13S菱形ABCD•HP=229.
结论四：设平面α的法向量为n，P是平面α外一点，Q是平面α内一点，则点P到平面α的距离d等于PQ在法向量n上的投影的绝对值，即d=|n•PQ||n|.
例4 （2009江西卷文）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PA=AD=4，AB=2．
以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M．
（1） 求证：平面ABM⊥平面PCD；
（2） 求直线PC与平面ABM所成的角；
（3） 求点O到平面ABM的距离．
（1） 证：依题设，Ｍ在以ＢＤ为直径的球面上，则ＢＭ⊥ＰＤ.因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，则ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ，所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，则ＡＢ⊥ＰＤ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ.
（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），P（0，0，4），B（2，0，0）， C（2，4，0），D（0，4，0），M（0，2，2），设平面ABM的一个法向量n=（x,y,z），由n⊥AB，n⊥AM可得：2x=0
2y+2z=0，
令z=-1，则y=1，即n=（0，1，-1）.
设所求角为α，则sinα=PC•n|PC||n|=223，所求角的大小为arcsin223.
（3） 设所求距离为h，由O（1，2，0），AO=（1，2，0），得：h=AO•n|n|=2
我们知道直线与平面、两个平面的距离都归结为点到平面的距离，故此法同样可以解决直线与平面、两个平行平面的距离.
结论五：设向量n与两异面直线a、b都垂直（我们也把向量n称为两异面直线a，b的法向量），M、N分别为异面直线a,b上的点，则两异面直线a,b的距离a,b等于MN法向量n上的投影的绝对值，即d=|n•MN||n|.
例5 如图，已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，点E在棱DD1上，截面EAC∥D1B，且面EAC与底面ABCD所成的角为45°，AB=a，求异面直线A1B1与AC之间的距离.
解：以A为坐标原点，建立如图所示的坐标系A-xyz，连结BD交AC于O，连结OE，则∠DOE就是面EAC与底面ABCD所成的角的平面角，∴ ∠DOE=45°，∴ DE=2a2
又∵ 截面EAC∥D1B，O为BD的中点，
∴E为DD1的中点，∴ AA1=2a，
则A(0,0,0)，C(a,a,0)，A1（0，0，2a），B1（a,0,2a），
∴ AC=(a,a,0)，A1B1=（A,0,0），AB1=（a,0,2a）
设向量n=（x,y,z）与两异面直线AC，A1B1都垂直，由n，AC=0，n•A1B1=0得，
∴ -ax+ay=0
x=0，
∴ n=（0，0，1），
∴ 异面直线A1B1与AC之间的距离d=|n•AB||n|=2a.
结论一：直线a的方向向量和平面α的法向量分别为m、n，则直线a和平面α所成的角θ等于向量m、n所成的锐角（若所成的角为钝角，则为其补角）的余角，即θ=arcsin|m•n||m|•|n|.
例1 （2009全国卷Ⅱ文）
如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1
（Ⅰ） 证明：AB=AC
（Ⅱ） 设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小
解：（Ⅰ） 以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A—xyz.
设B（1，0，0），C（0，b，0），D（0，0，c），则B1（1，0，2c）,E12，b2，c.
于是DE=12，b2，0，BC=（-1，b,0）.
由DE⊥平面BCC1知DE⊥BC，DE•BC=0，求得b=1，所以AB=AC.
（Ⅱ） 设平面BCD的法向量AN=（x,y,z）则AN•BC=0，AN•BD=0
又BC=（-1，1，0），BD=（-1，0，c）,故-x+y=0
-x+cz=0
令x=1, 则y=1, z=1c,AN=1,1,1c.又平面ABD的法向量AC=（0，1，0）由二面角A-BD-C为60°知，〈AN，AC〉=60°，故AN•AC=|AN|•|AC|=cos60°，求得c=12
于是AN=（1，1，2），CB1=（1，-1，2）
cos〈AN，CB〉，=AN•CB1|AN|•|CB1|=12，
〈AN，CB1〉=60°，所以B1C与平面BCD所成的角为30°
特别的当直线与平面平行时，直线与平面所成的角为0°，此时直线的方向向量与平面的法向量垂直，我们可利用这一特征来证明直线与平面平行.
结论二：如果不在平面内一条直线与平面的一个法向量垂直，那么这条直线和这个平面平行.
例2 （2009浙江卷理）如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E,F,O分别为PA，PB，AC的中点，AC=16,PA=PC=10．
（Ⅰ） 设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE；
（Ⅱ） 证明：在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE，并求点M到OA，OB的距离．
证明 （Ⅰ）如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，O（0，0，0），A（0，-8，0），B（8，0，0），C（0，8，0），P（0，0，6），E（0，-4，3），F（4，0，3）由题意得，G（0，4，0）因OB=（8，0，0），OE=（0，-4，3），因此平面BOE的法向量为n=（0，3，4），FG=（-4，4，-3）得n•FG=0，又直线FG不在平面BOE内，因此有FG∥平面BOE
（Ⅱ） 设点M的坐标为（x0，y0，0），则FM=（x0-4，y0，-3），因为FM⊥平面BOE，所以有FM∥n，因此有x0=4，y0=-94，即点M的坐标为4,-94，0，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的内部区域满足不等式组x＞0
y＜0
x-y＜8，经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在△ABC内存在一点M，使FM⊥平面BOE，由点M的坐标得点M到OA，OB的距离为4，94．
同样，当直线与平面垂直时，直线与平面所成的角为90°，此时直线的方向向量与平面的法向量平行，我们可利用这一特征来证明直线与平面垂直.
结论三：设两个平面α和β的法向量分别为m，n，若m⊥n，则这两个平面垂直.
第（18）题Ⅰ（综合法）图
例3 （2009安徽卷理）（本小题满分13分）
如图，四棱锥F－ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2，BD=2，AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=2.
（Ⅰ） 求二面角B－AF－D的大小；
（Ⅱ） 求四棱锥E－ABCD与四棱锥F－ABCD公共部分的体积.
解：（Ⅰ） (综合法)连接AC、BD交于菱形的中心O，过O作OG⊥AF，G为垂足.连接BG、DG.
由BD⊥AC,BD⊥CF,得：BD⊥平面ACF，故BD⊥AF.
于是AF⊥平面BGD,所以BG⊥AF,DG⊥AF,∠BGD为二面角B-AF-D的平面角.
由FC⊥AC,FC=AC=2,得∠FAC=π4,OG=π2.
由OB⊥OG,OB=OD=22,得∠BGD=2∠BGO=π2.
第（18）题Ⅰ图
第（18）题Ⅰ图
第（18）题Ⅱ图
(向量法)以A为坐标原点，BD、AC、AE方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图).于是B-22，1，0，D22，1，0，F（0，2，2）.
设平面ABF的法向量n1=（x,y,z），则由n•AB=0
n•AF=0得-22x+y=0
2y+2z=0.
令z=1,得x=-2
y=-1，n1=（-2，-1，1）
同理，可求得平面ADF的法向量n2=（2，-1，1）.
由n1•n2=0知，平面ABF与平面ADF垂直，二面角B-AF-D的大小等于π2.
（Ⅱ） 连EB、EC、ED，设直线AF与直线CE相交于点H，则四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD的公共部分为四棱锥H-ABCD.
过H作HP⊥平面ABCD，P为垂足.
因为EA⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，所以平面ACFE⊥平面ABCD，从而P∈AC，HP⊥AC.
由HPCF+HPAE=APAC+PCAC=1，得HP=23.
又因为S菱形ABCD=12AC•BD=2，
故四棱锥H-ABCD的体积V=13S菱形ABCD•HP=229.
结论四：设平面α的法向量为n，P是平面α外一点，Q是平面α内一点，则点P到平面α的距离d等于PQ在法向量n上的投影的绝对值，即d=|n•PQ||n|.
例4 （2009江西卷文）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PA=AD=4，AB=2．
以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M．
（1） 求证：平面ABM⊥平面PCD；
（2） 求直线PC与平面ABM所成的角；
（3） 求点O到平面ABM的距离．
（1） 证：依题设，Ｍ在以ＢＤ为直径的球面上，则ＢＭ⊥ＰＤ.因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，则ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ，所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，则ＡＢ⊥ＰＤ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ.
（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），P（0，0，4），B（2，0，0）， C（2，4，0），D（0，4，0），M（0，2，2），设平面ABM的一个法向量n=（x,y,z），由n⊥AB，n⊥AM可得：2x=0
2y+2z=0，
令z=-1，则y=1，即n=（0，1，-1）.
设所求角为α，则sinα=PC•n|PC||n|=223，所求角的大小为arcsin223.
（3） 设所求距离为h，由O（1，2，0），AO=（1，2，0），得：h=AO•n|n|=2
我们知道直线与平面、两个平面的距离都归结为点到平面的距离，故此法同样可以解决直线与平面、两个平行平面的距离.
结论五：设向量n与两异面直线a、b都垂直（我们也把向量n称为两异面直线a，b的法向量），M、N分别为异面直线a,b上的点，则两异面直线a,b的距离a,b等于MN法向量n上的投影的绝对值，即d=|n•MN||n|.
例5 如图，已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，点E在棱DD1上，截面EAC∥D1B，且面EAC与底面ABCD所成的角为45°，AB=a，求异面直线A1B1与AC之间的距离.
解：以A为坐标原点，建立如图所示的坐标系A-xyz，连结BD交AC于O，连结OE，则∠DOE就是面EAC与底面ABCD所成的角的平面角，∴ ∠DOE=45°，∴ DE=2a2
又∵ 截面EAC∥D1B，O为BD的中点，
∴E为DD1的中点，∴ AA1=2a，
则A(0,0,0)，C(a,a,0)，A1（0，0，2a），B1（a,0,2a），
∴ AC=(a,a,0)，A1B1=（A,0,0），AB1=（a,0,2a）
设向量n=（x,y,z）与两异面直线AC，A1B1都垂直，由n，AC=0，n•A1B1=0得，
∴ -ax+ay=0
x=0，
∴ n=（0，0，1），
∴ 异面直线A1B1与AC之间的距离d=|n•AB||n|=2a.