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向量法是解决立体几何问题的利器,把不少复杂的立体几何问题转变为纯代数运算,实现了“数”与“形”的有机统一.用向量法求角、距离避免了因添加辅助线而造成的视角干扰和复杂的逻辑推理, 具有新颖、直观、简明的优点,因为思路清楚,目标明确,并能够有效降低求解难度,易于为学生接受.笔者就法向量在高考解题中的应用归类如下:
结论一:直线a的方向向量和平面α的法向量分别为m、n,则直线a和平面α所成的角θ等于向量m、n所成的锐角(若所成的角为钝角,则为其补角)的余角,即θ=arcsin|m•n||m|•|n|.
例1 (2009全国卷Ⅱ文)
如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点,DE⊥平面BCC1
(Ⅰ) 证明:AB=AC
(Ⅱ) 设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小
解:(Ⅰ) 以A为坐标原点,射线AB为x轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系A—xyz.
设B(1,0,0),C(0,b,0),D(0,0,c),则B1(1,0,2c),E12,b2,c.
于是DE=12,b2,0,BC=(-1,b,0).
由DE⊥平面BCC1知DE⊥BC,DE•BC=0,求得b=1,所以AB=AC.
(Ⅱ) 设平面BCD的法向量AN=(x,y,z)则AN•BC=0,AN•BD=0
又BC=(-1,1,0),BD=(-1,0,c),故-x+y=0
-x+cz=0
令x=1, 则y=1, z=1c,AN=1,1,1c.又平面ABD的法向量AC=(0,1,0)由二面角A-BD-C为60°知,〈AN,AC〉=60°,故AN•AC=|AN|•|AC|=cos60°,求得c=12
于是AN=(1,1,2),CB1=(1,-1,2)
cos〈AN,CB〉,=AN•CB1|AN|•|CB1|=12,
〈AN,CB1〉=60°,所以B1C与平面BCD所成的角为30°
特别的当直线与平面平行时,直线与平面所成的角为0°,此时直线的方向向量与平面的法向量垂直,我们可利用这一特征来证明直线与平面平行.
结论二:如果不在平面内一条直线与平面的一个法向量垂直,那么这条直线和这个平面平行.
例2 (2009浙江卷理)如图,平面PAC⊥平面ABC,△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,E,F,O分别为PA,PB,AC的中点,AC=16,PA=PC=10.
(Ⅰ) 设G是OC的中点,证明:FG∥平面BOE;
(Ⅱ) 证明:在△ABO内存在一点M,使FM⊥平面BOE,并求点M到OA,OB的距离.
证明 (Ⅰ)如图,连结OP,以O为坐标原点,分别以OB、OC、OP所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系O-xyz,O(0,0,0),A(0,-8,0),B(8,0,0),C(0,8,0),P(0,0,6),E(0,-4,3),F(4,0,3)由题意得,G(0,4,0)因OB=(8,0,0),OE=(0,-4,3),因此平面BOE的法向量为n=(0,3,4),FG=(-4,4,-3)得n•FG=0,又直线FG不在平面BOE内,因此有FG∥平面BOE
(Ⅱ) 设点M的坐标为(x0,y0,0),则FM=(x0-4,y0,-3),因为FM⊥平面BOE,所以有FM∥n,因此有x0=4,y0=-94,即点M的坐标为4,-94,0,在平面直角坐标系xOy中,△ABC的内部区域满足不等式组x>0
y<0
x-y<8,经检验,点M的坐标满足上述不等式组,所以在△ABC内存在一点M,使FM⊥平面BOE,由点M的坐标得点M到OA,OB的距离为4,94.
同样,当直线与平面垂直时,直线与平面所成的角为90°,此时直线的方向向量与平面的法向量平行,我们可利用这一特征来证明直线与平面垂直.
结论三:设两个平面α和β的法向量分别为m,n,若m⊥n,则这两个平面垂直.
第(18)题Ⅰ(综合法)图
例3 (2009安徽卷理)(本小题满分13分)
如图,四棱锥F-ABCD的底面ABCD是菱形,其对角线AC=2,BD=2,AE、CF都与平面ABCD垂直,AE=1,CF=2.
(Ⅰ) 求二面角B-AF-D的大小;
(Ⅱ) 求四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD公共部分的体积.
解:(Ⅰ) (综合法)连接AC、BD交于菱形的中心O,过O作OG⊥AF,G为垂足.连接BG、DG.
由BD⊥AC,BD⊥CF,得:BD⊥平面ACF,故BD⊥AF.
于是AF⊥平面BGD,所以BG⊥AF,DG⊥AF,∠BGD为二面角B-AF-D的平面角.
由FC⊥AC,FC=AC=2,得∠FAC=π4,OG=π2.
由OB⊥OG,OB=OD=22,得∠BGD=2∠BGO=π2.
第(18)题Ⅰ图
第(18)题Ⅰ图
第(18)题Ⅱ图
(向量法)以A为坐标原点,BD、AC、AE方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图).于是B-22,1,0,D22,1,0,F(0,2,2).
设平面ABF的法向量n1=(x,y,z),则由n•AB=0
n•AF=0得-22x+y=0
2y+2z=0.
令z=1,得x=-2
y=-1,n1=(-2,-1,1)
同理,可求得平面ADF的法向量n2=(2,-1,1).
由n1•n2=0知,平面ABF与平面ADF垂直,二面角B-AF-D的大小等于π2.
(Ⅱ) 连EB、EC、ED,设直线AF与直线CE相交于点H,则四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD的公共部分为四棱锥H-ABCD.
过H作HP⊥平面ABCD,P为垂足.
因为EA⊥平面ABCD,FC⊥平面ABCD,所以平面ACFE⊥平面ABCD,从而P∈AC,HP⊥AC.
由HPCF+HPAE=APAC+PCAC=1,得HP=23.
又因为S菱形ABCD=12AC•BD=2,
故四棱锥H-ABCD的体积V=13S菱形ABCD•HP=229.
结论四:设平面α的法向量为n,P是平面α外一点,Q是平面α内一点,则点P到平面α的距离d等于PQ在法向量n上的投影的绝对值,即d=|n•PQ||n|.
例4 (2009江西卷文)
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA平面ABCD,PA=AD=4,AB=2.
以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M.
(1) 求证:平面ABM⊥平面PCD;
(2) 求直线PC与平面ABM所成的角;
(3) 求点O到平面ABM的距离.
(1) 证:依题设,M在以BD为直径的球面上,则BM⊥PD.因为PA⊥平面ABCD,则PA⊥AB,又AB⊥AD,所以AB⊥平面PAD,则AB⊥PD,因此有PD⊥平面ABM,所以平面ABM⊥平面PCD.
(2)如图所示,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),P(0,0,4),B(2,0,0), C(2,4,0),D(0,4,0),M(0,2,2),设平面ABM的一个法向量n=(x,y,z),由n⊥AB,n⊥AM可得:2x=0
2y+2z=0,
令z=-1,则y=1,即n=(0,1,-1).
设所求角为α,则sinα=PC•n|PC||n|=223,所求角的大小为arcsin223.
(3) 设所求距离为h,由O(1,2,0),AO=(1,2,0),得:h=AO•n|n|=2
我们知道直线与平面、两个平面的距离都归结为点到平面的距离,故此法同样可以解决直线与平面、两个平行平面的距离.
结论五:设向量n与两异面直线a、b都垂直(我们也把向量n称为两异面直线a,b的法向量),M、N分别为异面直线a,b上的点,则两异面直线a,b的距离a,b等于MN法向量n上的投影的绝对值,即d=|n•MN||n|.
例5 如图,已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,点E在棱DD1上,截面EAC∥D1B,且面EAC与底面ABCD所成的角为45°,AB=a,求异面直线A1B1与AC之间的距离.
解:以A为坐标原点,建立如图所示的坐标系A-xyz,连结BD交AC于O,连结OE,则∠DOE就是面EAC与底面ABCD所成的角的平面角,∴ ∠DOE=45°,∴ DE=2a2
又∵ 截面EAC∥D1B,O为BD的中点,
∴E为DD1的中点,∴ AA1=2a,
则A(0,0,0),C(a,a,0),A1(0,0,2a),B1(a,0,2a),
∴ AC=(a,a,0),A1B1=(A,0,0),AB1=(a,0,2a)
设向量n=(x,y,z)与两异面直线AC,A1B1都垂直,由n,AC=0,n•A1B1=0得,
∴ -ax+ay=0
x=0,
∴ n=(0,0,1),
∴ 异面直线A1B1与AC之间的距离d=|n•AB||n|=2a.
结论一:直线a的方向向量和平面α的法向量分别为m、n,则直线a和平面α所成的角θ等于向量m、n所成的锐角(若所成的角为钝角,则为其补角)的余角,即θ=arcsin|m•n||m|•|n|.
例1 (2009全国卷Ⅱ文)
如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点,DE⊥平面BCC1
(Ⅰ) 证明:AB=AC
(Ⅱ) 设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小
解:(Ⅰ) 以A为坐标原点,射线AB为x轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系A—xyz.
设B(1,0,0),C(0,b,0),D(0,0,c),则B1(1,0,2c),E12,b2,c.
于是DE=12,b2,0,BC=(-1,b,0).
由DE⊥平面BCC1知DE⊥BC,DE•BC=0,求得b=1,所以AB=AC.
(Ⅱ) 设平面BCD的法向量AN=(x,y,z)则AN•BC=0,AN•BD=0
又BC=(-1,1,0),BD=(-1,0,c),故-x+y=0
-x+cz=0
令x=1, 则y=1, z=1c,AN=1,1,1c.又平面ABD的法向量AC=(0,1,0)由二面角A-BD-C为60°知,〈AN,AC〉=60°,故AN•AC=|AN|•|AC|=cos60°,求得c=12
于是AN=(1,1,2),CB1=(1,-1,2)
cos〈AN,CB〉,=AN•CB1|AN|•|CB1|=12,
〈AN,CB1〉=60°,所以B1C与平面BCD所成的角为30°
特别的当直线与平面平行时,直线与平面所成的角为0°,此时直线的方向向量与平面的法向量垂直,我们可利用这一特征来证明直线与平面平行.
结论二:如果不在平面内一条直线与平面的一个法向量垂直,那么这条直线和这个平面平行.
例2 (2009浙江卷理)如图,平面PAC⊥平面ABC,△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,E,F,O分别为PA,PB,AC的中点,AC=16,PA=PC=10.
(Ⅰ) 设G是OC的中点,证明:FG∥平面BOE;
(Ⅱ) 证明:在△ABO内存在一点M,使FM⊥平面BOE,并求点M到OA,OB的距离.
证明 (Ⅰ)如图,连结OP,以O为坐标原点,分别以OB、OC、OP所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系O-xyz,O(0,0,0),A(0,-8,0),B(8,0,0),C(0,8,0),P(0,0,6),E(0,-4,3),F(4,0,3)由题意得,G(0,4,0)因OB=(8,0,0),OE=(0,-4,3),因此平面BOE的法向量为n=(0,3,4),FG=(-4,4,-3)得n•FG=0,又直线FG不在平面BOE内,因此有FG∥平面BOE
(Ⅱ) 设点M的坐标为(x0,y0,0),则FM=(x0-4,y0,-3),因为FM⊥平面BOE,所以有FM∥n,因此有x0=4,y0=-94,即点M的坐标为4,-94,0,在平面直角坐标系xOy中,△ABC的内部区域满足不等式组x>0
y<0
x-y<8,经检验,点M的坐标满足上述不等式组,所以在△ABC内存在一点M,使FM⊥平面BOE,由点M的坐标得点M到OA,OB的距离为4,94.
同样,当直线与平面垂直时,直线与平面所成的角为90°,此时直线的方向向量与平面的法向量平行,我们可利用这一特征来证明直线与平面垂直.
结论三:设两个平面α和β的法向量分别为m,n,若m⊥n,则这两个平面垂直.
第(18)题Ⅰ(综合法)图
例3 (2009安徽卷理)(本小题满分13分)
如图,四棱锥F-ABCD的底面ABCD是菱形,其对角线AC=2,BD=2,AE、CF都与平面ABCD垂直,AE=1,CF=2.
(Ⅰ) 求二面角B-AF-D的大小;
(Ⅱ) 求四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD公共部分的体积.
解:(Ⅰ) (综合法)连接AC、BD交于菱形的中心O,过O作OG⊥AF,G为垂足.连接BG、DG.
由BD⊥AC,BD⊥CF,得:BD⊥平面ACF,故BD⊥AF.
于是AF⊥平面BGD,所以BG⊥AF,DG⊥AF,∠BGD为二面角B-AF-D的平面角.
由FC⊥AC,FC=AC=2,得∠FAC=π4,OG=π2.
由OB⊥OG,OB=OD=22,得∠BGD=2∠BGO=π2.
第(18)题Ⅰ图
第(18)题Ⅰ图
第(18)题Ⅱ图
(向量法)以A为坐标原点,BD、AC、AE方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图).于是B-22,1,0,D22,1,0,F(0,2,2).
设平面ABF的法向量n1=(x,y,z),则由n•AB=0
n•AF=0得-22x+y=0
2y+2z=0.
令z=1,得x=-2
y=-1,n1=(-2,-1,1)
同理,可求得平面ADF的法向量n2=(2,-1,1).
由n1•n2=0知,平面ABF与平面ADF垂直,二面角B-AF-D的大小等于π2.
(Ⅱ) 连EB、EC、ED,设直线AF与直线CE相交于点H,则四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD的公共部分为四棱锥H-ABCD.
过H作HP⊥平面ABCD,P为垂足.
因为EA⊥平面ABCD,FC⊥平面ABCD,所以平面ACFE⊥平面ABCD,从而P∈AC,HP⊥AC.
由HPCF+HPAE=APAC+PCAC=1,得HP=23.
又因为S菱形ABCD=12AC•BD=2,
故四棱锥H-ABCD的体积V=13S菱形ABCD•HP=229.
结论四:设平面α的法向量为n,P是平面α外一点,Q是平面α内一点,则点P到平面α的距离d等于PQ在法向量n上的投影的绝对值,即d=|n•PQ||n|.
例4 (2009江西卷文)
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA平面ABCD,PA=AD=4,AB=2.
以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M.
(1) 求证:平面ABM⊥平面PCD;
(2) 求直线PC与平面ABM所成的角;
(3) 求点O到平面ABM的距离.
(1) 证:依题设,M在以BD为直径的球面上,则BM⊥PD.因为PA⊥平面ABCD,则PA⊥AB,又AB⊥AD,所以AB⊥平面PAD,则AB⊥PD,因此有PD⊥平面ABM,所以平面ABM⊥平面PCD.
(2)如图所示,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),P(0,0,4),B(2,0,0), C(2,4,0),D(0,4,0),M(0,2,2),设平面ABM的一个法向量n=(x,y,z),由n⊥AB,n⊥AM可得:2x=0
2y+2z=0,
令z=-1,则y=1,即n=(0,1,-1).
设所求角为α,则sinα=PC•n|PC||n|=223,所求角的大小为arcsin223.
(3) 设所求距离为h,由O(1,2,0),AO=(1,2,0),得:h=AO•n|n|=2
我们知道直线与平面、两个平面的距离都归结为点到平面的距离,故此法同样可以解决直线与平面、两个平行平面的距离.
结论五:设向量n与两异面直线a、b都垂直(我们也把向量n称为两异面直线a,b的法向量),M、N分别为异面直线a,b上的点,则两异面直线a,b的距离a,b等于MN法向量n上的投影的绝对值,即d=|n•MN||n|.
例5 如图,已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,点E在棱DD1上,截面EAC∥D1B,且面EAC与底面ABCD所成的角为45°,AB=a,求异面直线A1B1与AC之间的距离.
解:以A为坐标原点,建立如图所示的坐标系A-xyz,连结BD交AC于O,连结OE,则∠DOE就是面EAC与底面ABCD所成的角的平面角,∴ ∠DOE=45°,∴ DE=2a2
又∵ 截面EAC∥D1B,O为BD的中点,
∴E为DD1的中点,∴ AA1=2a,
则A(0,0,0),C(a,a,0),A1(0,0,2a),B1(a,0,2a),
∴ AC=(a,a,0),A1B1=(A,0,0),AB1=(a,0,2a)
设向量n=(x,y,z)与两异面直线AC,A1B1都垂直,由n,AC=0,n•A1B1=0得,
∴ -ax+ay=0
x=0,
∴ n=(0,0,1),
∴ 异面直线A1B1与AC之间的距离d=|n•AB||n|=2a.