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摘要:数学的逻辑思维能力是借助于数学概念进行判断与推理来解决数学实际应用问题的能力。它是深入挖掘数学概念的内涵与拓展数学概念的外延的完整的思维过程。本文从数列解题的角度阐述了如何培养学生的逻辑思维能力。
关键词:数学逻辑思维数列解题能力培养
高中数学中数列教学是整个数学思维能力培养的一个不可缺少的重要环节。因为解决数列问题一般是通过数列的通项公式或者通过数列的递推公式来解决,而数列的递推公式具有数学关系的普遍性与特殊性完美结合的标识,它包含两个部分,即递推关系与初始条件,二者缺一不可。数列的递推公式突出了转化思想,要把一些特殊的数列问题转化为等差数列与等比数列的解题思路来解题。下面就阐述一下怎样运用递推公式内含条件的转化来解题的。
下列两例就是从可归纳为等差与等比数列类型的递推公式思路出发的解题思想:
例1、已知数列{an}中,a1=1,a2=2,且an+1=(1+q)an-qan-1(n≥2,q≠0)。
(Ⅰ)设bn=an+1-an(n∈N*),证明{bn}是等比数列;(Ⅱ)求数列{an}的通项公式;(Ⅲ)若a3是a6与a9的等差中项,求q的值,并证明:对任意的n∈N*,an是an+3与an+6的等差中项。
(Ⅰ)证明:由题设an+1=(1+q)an-qan-1(n≥2),得an+1-an=q(an-an-1),即bn=qbn-1,n≥2。又b1=a2-a1=1,q≠0,所以{bn}是首项为1,公比为q的等比数列。
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)得,a2-a1=1,a3-a2=q,……an-an-1=qn-2(n≥2)。将以上各式两边相加,得an-a1=1+q+…+qn-2(n≥2)。所以当n≥2时,
an=
(Ⅲ)解:由(Ⅱ)得,当q=1时,显然a3不是a6与a9的等差中项,故q≠1。
由a3-a6=a9-a3可得q5-q2=q2-q8,由q≠1得
q3-1=1-q6①
整理得(q3)2+q3-2=0,解得q3=-2或q3=1(舍去)。于是q=-2。
另一方面,an-an+3=
由①可得an-an+3=an+6-an,n∈N*。
所以对任意的n∈N*,an是an+3与an+6的等差中项。
本题主要突出了等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n项和公式,考查了运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法。
例2、已知数列{an}的前n项和sn=2an-2n。
(Ⅰ)求a3、a4。
(Ⅱ)证明:数列{an+1-2an}是一个等比数列。
(Ⅲ)求{an}的通项公式。
(Ⅰ)因为sn=2an-2n,所以a1=2,S1=2。
由2an=Sn+2n,2an+1=sn+1+2n+1=an+1+sn+2n+1,
得an+1=sn+2n+1,
q2=s1+22=2+22=6,s2=8;
所以a3=s2+23=8+23=16,s3=24;
a4=s3+24=40
(Ⅱ)由题设和上式知an+1-2an=(sn+2n+1)-(sn+2n)
=2n+1-2n
=2n
所以{an+1-2an}是首项为2,公比为2的等比数列。
(Ⅲ)an=(an-2an-1)+2(an-1-2an-2)+…+2n-2(a2-2a1)+2n-1a1
=(n+1)·2n-1。
由此我们看出,它们前后两项组合之差是一个等比数列,既含有等差数列的信息,又体现了等比数列的运算方法。
高中数学解题的主要思维方法是以转化为主要目标的,它进一步揭示了数学概念的内涵,拓展了数学概念外延的数学思维过程。通俗地讲就是把陌生的已知条件转化为我们所熟悉的数学知识,在数列解题中首先想到的是等差数列与等比数列,根据不同的递推公式,采用适当的变形过程,把它转化为所熟悉的数学关系。这种从数列的解题中进一步培养学生的逻辑思维能力,就是我们今后教学思维的重要途径。
关键词:数学逻辑思维数列解题能力培养
高中数学中数列教学是整个数学思维能力培养的一个不可缺少的重要环节。因为解决数列问题一般是通过数列的通项公式或者通过数列的递推公式来解决,而数列的递推公式具有数学关系的普遍性与特殊性完美结合的标识,它包含两个部分,即递推关系与初始条件,二者缺一不可。数列的递推公式突出了转化思想,要把一些特殊的数列问题转化为等差数列与等比数列的解题思路来解题。下面就阐述一下怎样运用递推公式内含条件的转化来解题的。
下列两例就是从可归纳为等差与等比数列类型的递推公式思路出发的解题思想:
例1、已知数列{an}中,a1=1,a2=2,且an+1=(1+q)an-qan-1(n≥2,q≠0)。
(Ⅰ)设bn=an+1-an(n∈N*),证明{bn}是等比数列;(Ⅱ)求数列{an}的通项公式;(Ⅲ)若a3是a6与a9的等差中项,求q的值,并证明:对任意的n∈N*,an是an+3与an+6的等差中项。
(Ⅰ)证明:由题设an+1=(1+q)an-qan-1(n≥2),得an+1-an=q(an-an-1),即bn=qbn-1,n≥2。又b1=a2-a1=1,q≠0,所以{bn}是首项为1,公比为q的等比数列。
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)得,a2-a1=1,a3-a2=q,……an-an-1=qn-2(n≥2)。将以上各式两边相加,得an-a1=1+q+…+qn-2(n≥2)。所以当n≥2时,
an=
(Ⅲ)解:由(Ⅱ)得,当q=1时,显然a3不是a6与a9的等差中项,故q≠1。
由a3-a6=a9-a3可得q5-q2=q2-q8,由q≠1得
q3-1=1-q6①
整理得(q3)2+q3-2=0,解得q3=-2或q3=1(舍去)。于是q=-2。
另一方面,an-an+3=
由①可得an-an+3=an+6-an,n∈N*。
所以对任意的n∈N*,an是an+3与an+6的等差中项。
本题主要突出了等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n项和公式,考查了运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法。
例2、已知数列{an}的前n项和sn=2an-2n。
(Ⅰ)求a3、a4。
(Ⅱ)证明:数列{an+1-2an}是一个等比数列。
(Ⅲ)求{an}的通项公式。
(Ⅰ)因为sn=2an-2n,所以a1=2,S1=2。
由2an=Sn+2n,2an+1=sn+1+2n+1=an+1+sn+2n+1,
得an+1=sn+2n+1,
q2=s1+22=2+22=6,s2=8;
所以a3=s2+23=8+23=16,s3=24;
a4=s3+24=40
(Ⅱ)由题设和上式知an+1-2an=(sn+2n+1)-(sn+2n)
=2n+1-2n
=2n
所以{an+1-2an}是首项为2,公比为2的等比数列。
(Ⅲ)an=(an-2an-1)+2(an-1-2an-2)+…+2n-2(a2-2a1)+2n-1a1
=(n+1)·2n-1。
由此我们看出,它们前后两项组合之差是一个等比数列,既含有等差数列的信息,又体现了等比数列的运算方法。
高中数学解题的主要思维方法是以转化为主要目标的,它进一步揭示了数学概念的内涵,拓展了数学概念外延的数学思维过程。通俗地讲就是把陌生的已知条件转化为我们所熟悉的数学知识,在数列解题中首先想到的是等差数列与等比数列,根据不同的递推公式,采用适当的变形过程,把它转化为所熟悉的数学关系。这种从数列的解题中进一步培养学生的逻辑思维能力,就是我们今后教学思维的重要途径。