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摘要： 基于FokkerPlanckKolmogorov方程瞬态求解研究了受最优有界控制的色噪声驱动的多时滞拟线性系统的瞬态响应。利用等价变换将时滞系统转化为非时滞系统。在弱扰动假设下应用标准随机平均法得到振幅过程的部分平均It随机微分方程。由动态规划原理和控制力界值条件得到最优有界控制率，从而得到完全平均的FokkerPlanckKolmogorov方程。通过原系统的退化线性系统导出一组正交基并在该基空间内进行Galerkin变分得到近似瞬态响应。最后将该方法应用到受最优有界控制率和色噪声共同作用的时滞DuffingVan Der Pol振子进行理论求解，并综合讨论了色噪声、时滞、控制力和共振对系统瞬态响应的影响，采用MonteCarlo模拟验证了所有理论和计算结果的正确性。关键词： 随机振动； Galerkin法； 瞬态概率密度； 时滞； 最优有界控制
中图分类号： O324； O322文献标识码： A文章编号： 10044523（2013）06084608
引言
随机因素在自然界中广泛存在。随机振子的响应问题是理论研究及工程应用中的热点问题[1～3]。瞬态响应是响应问题的一个重要方面，研究系统的瞬态响应可以从时域方面诠释随机振子的运动性态。FokkerPlanckKolmogorov （FPK） 方程方法是扩散过程理论的主要方法，通过求解FPK方程得到系统的转移概率密度可用以分析系统响应控制、信息熵等问题[4，5]。由于FPK方程的复杂性，只有少数特殊的系统具有理论精确解[6]。虽然相关领域的学者们在稳态FPK方程理论求解方面进行了大量的研究工作[7，8]，但瞬态FPK方程的解仍是极难解决的一个问题，目前只能借助理论分析与数值计算相结合的方式进行近似求解[9，10]。1968年，Bhandari和Sherrer首次应用Galerkin法求解FPK方程的平稳解[11]，而后Wen将其发展到求解FPK方程的瞬态解[12]。2007年，Spanos结合基于等价线性化的随机平均法和Galerkin法研究了白噪声激励的非线性系统的瞬态响应[13]。
时滞现象广泛存在于物理、生物和控制等自然科学与工程实践领域中。研究瞬态响应概率密度时考虑到时滞的作用具有重要的理论及实践意义。文献[14]中基于广义谐和函数随机平均法和Galerkin法研究了白噪声激励的时滞强非线性系统的瞬态响应。虽然白噪声模型在理论上便于处理，但研究表明实际噪声模型应为有色噪声。与有色噪声相关的研究工作已经渗入到随机动力学的各个分支：文献[15]中研究了色噪声激励下非对称双稳系统的平均首次穿越时间，文献[16]中研究了色噪声激励的双稳DuffingVan Der Pol振子的随机分岔，文献[17]中研究了色噪声激励的非线性系统的稳态响应，文献[18]中研究了非高斯色噪声作用下Van Der PolDuffing振子的稳定性。但是，色噪声激励的时滞非线性系统的瞬态响应相关研究却少见报道。当系统中含有时滞与非白噪声时，随机平均法是一种有力的理论分析工具。该方法不但可以避免非白噪声引起的FPK方程的扩维现象，而且可以降低FPK方程的维数，从而简化理论分析和数值计算。
考虑到工程安全，瞬态响应需要被控制在安全范围内，因此考虑瞬态响应的最优控制问题是非常有必要的。鉴于实际控制器发生装置只能产生有限的控制力，故而研究最优有界控制是符合工程实际的。很多学者已经关注到随机非线性振子的最优有界控制问题，例如文献[19]中利用最优有界控制率成功地降低了系统的稳态响应。然而基于瞬态求解FPK方程技术研究随机时滞拟线性系统的最优有界控制问题未见报道。
综上所述，本文提出了色噪声激励的时滞拟线性系统瞬态响应的最优有界控制问题。将时滞系统转化为等价的非时滞系统后应用标准随机平均法得到振幅过程的部分平均It随机微分方程。再由动态规划准则导出最优有界控制率进而得到完全平均的FPK方程。利用Galerkin方法近似求解此FPK方程即得到系统近似瞬态响应。最后将该方法应用到受最优有界控制率作用的色噪声激励的时滞DuffingVan Der Pol振子得到理论解，并利用MonteCarlo模拟方法证明理论解的有效性，利用该方法综合讨论了色噪声、时滞和控制力参数以及共振对瞬态响应的影响。
1模型提出和化简
5结论
本文系统地研究了最优有界控制力作用下色噪声激励的多时滞拟线性系统的瞬态响应概率密度。主要包括以下两个部分：（1）引入最优有界控制率来控制色噪声激励的多时滞拟线性系统的瞬态响应，并提出了求解其瞬态响应概率密度的近似方法。该方法包括如下四个方面：首先将时滞方程转化为等价的非时滞方程；其次利用标准随机平均法得到系统振幅过程的部分平均It随机微分方程；利用动态规划原理并结合控制力有界的条件导出了最优有界控制率，将其代入部分平均It随机微分方程并完成所有平均过程得到完全平均的FPK方程；利用FPK方程本征函数法得到一组正交基空间并在此基空间内进行Galerkin变分得到系统的近似瞬态响应。（2）以受最优有界控制率作用的色噪声激励的DuffingVan Der Pol振子为算例实现上述求解过程，利用数值计算综合讨论了控制力、时滞和色噪声参数以及共振条件下系统的瞬态响应概率密度并采用MCS证明了所有理论解的有效性。本文涉及的系统是拟线性系统，关于受控的强非线性系统的瞬态响应问题还有待于进一步研究。
参考文献：
[1]王洪礼， 姚士磊， 葛根， 等. 形状记忆合金梁在随机激励下的随机分岔与首次穿越[J]. 振动与冲击， 2012， 31（9） ：24—28.
[2]孙忠奎， 徐伟， 杨晓丽. 窄带激励下带有时滞反馈的非线性动力系统的响应[J]. 振动工程学报， 2006， 19（1）：57—64.
中图分类号： O324； O322文献标识码： A文章编号： 10044523（2013）06084608
引言
随机因素在自然界中广泛存在。随机振子的响应问题是理论研究及工程应用中的热点问题[1～3]。瞬态响应是响应问题的一个重要方面，研究系统的瞬态响应可以从时域方面诠释随机振子的运动性态。FokkerPlanckKolmogorov （FPK） 方程方法是扩散过程理论的主要方法，通过求解FPK方程得到系统的转移概率密度可用以分析系统响应控制、信息熵等问题[4，5]。由于FPK方程的复杂性，只有少数特殊的系统具有理论精确解[6]。虽然相关领域的学者们在稳态FPK方程理论求解方面进行了大量的研究工作[7，8]，但瞬态FPK方程的解仍是极难解决的一个问题，目前只能借助理论分析与数值计算相结合的方式进行近似求解[9，10]。1968年，Bhandari和Sherrer首次应用Galerkin法求解FPK方程的平稳解[11]，而后Wen将其发展到求解FPK方程的瞬态解[12]。2007年，Spanos结合基于等价线性化的随机平均法和Galerkin法研究了白噪声激励的非线性系统的瞬态响应[13]。
时滞现象广泛存在于物理、生物和控制等自然科学与工程实践领域中。研究瞬态响应概率密度时考虑到时滞的作用具有重要的理论及实践意义。文献[14]中基于广义谐和函数随机平均法和Galerkin法研究了白噪声激励的时滞强非线性系统的瞬态响应。虽然白噪声模型在理论上便于处理，但研究表明实际噪声模型应为有色噪声。与有色噪声相关的研究工作已经渗入到随机动力学的各个分支：文献[15]中研究了色噪声激励下非对称双稳系统的平均首次穿越时间，文献[16]中研究了色噪声激励的双稳DuffingVan Der Pol振子的随机分岔，文献[17]中研究了色噪声激励的非线性系统的稳态响应，文献[18]中研究了非高斯色噪声作用下Van Der PolDuffing振子的稳定性。但是，色噪声激励的时滞非线性系统的瞬态响应相关研究却少见报道。当系统中含有时滞与非白噪声时，随机平均法是一种有力的理论分析工具。该方法不但可以避免非白噪声引起的FPK方程的扩维现象，而且可以降低FPK方程的维数，从而简化理论分析和数值计算。
考虑到工程安全，瞬态响应需要被控制在安全范围内，因此考虑瞬态响应的最优控制问题是非常有必要的。鉴于实际控制器发生装置只能产生有限的控制力，故而研究最优有界控制是符合工程实际的。很多学者已经关注到随机非线性振子的最优有界控制问题，例如文献[19]中利用最优有界控制率成功地降低了系统的稳态响应。然而基于瞬态求解FPK方程技术研究随机时滞拟线性系统的最优有界控制问题未见报道。
综上所述，本文提出了色噪声激励的时滞拟线性系统瞬态响应的最优有界控制问题。将时滞系统转化为等价的非时滞系统后应用标准随机平均法得到振幅过程的部分平均It随机微分方程。再由动态规划准则导出最优有界控制率进而得到完全平均的FPK方程。利用Galerkin方法近似求解此FPK方程即得到系统近似瞬态响应。最后将该方法应用到受最优有界控制率作用的色噪声激励的时滞DuffingVan Der Pol振子得到理论解，并利用MonteCarlo模拟方法证明理论解的有效性，利用该方法综合讨论了色噪声、时滞和控制力参数以及共振对瞬态响应的影响。
1模型提出和化简
5结论
本文系统地研究了最优有界控制力作用下色噪声激励的多时滞拟线性系统的瞬态响应概率密度。主要包括以下两个部分：（1）引入最优有界控制率来控制色噪声激励的多时滞拟线性系统的瞬态响应，并提出了求解其瞬态响应概率密度的近似方法。该方法包括如下四个方面：首先将时滞方程转化为等价的非时滞方程；其次利用标准随机平均法得到系统振幅过程的部分平均It随机微分方程；利用动态规划原理并结合控制力有界的条件导出了最优有界控制率，将其代入部分平均It随机微分方程并完成所有平均过程得到完全平均的FPK方程；利用FPK方程本征函数法得到一组正交基空间并在此基空间内进行Galerkin变分得到系统的近似瞬态响应。（2）以受最优有界控制率作用的色噪声激励的DuffingVan Der Pol振子为算例实现上述求解过程，利用数值计算综合讨论了控制力、时滞和色噪声参数以及共振条件下系统的瞬态响应概率密度并采用MCS证明了所有理论解的有效性。本文涉及的系统是拟线性系统，关于受控的强非线性系统的瞬态响应问题还有待于进一步研究。
参考文献：
[1]王洪礼， 姚士磊， 葛根， 等. 形状记忆合金梁在随机激励下的随机分岔与首次穿越[J]. 振动与冲击， 2012， 31（9） ：24—28.
[2]孙忠奎， 徐伟， 杨晓丽. 窄带激励下带有时滞反馈的非线性动力系统的响应[J]. 振动工程学报， 2006， 19（1）：57—64.