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函数的图象与性质是研究和记忆函数性质的直观工具。利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用。因此，同学们要掌握绘制函数图象的一般方法（作图），掌握函数图象变化的一般规律（识图），能利用函数的图象研究函数的性质（用图），即函数图象的三大基本问题：作图、识图、用图。
一、作图
函数图象的常见作法有两种：一是描点法，应先分析函数的定义域、特殊点、最值、单调性、奇偶性等性质，再进行列表、描点、连线；二是图象变换法，常用变换方法有四种，即平移变换、伸缩变换、对称变换和翻折变换。
3.对称变换
y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称；
y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称；
y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称；
y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称；
函数y=f(x)满足对于一切x∈R,都有f(a+x)=f(a-x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称。
例3 设a＞0,a≠1,函数y=logax的反函数和y=loga 的反函数的图象关于（）。
A.x轴对称 B.y轴对称 C.y=x对称 D.原点对称
解析 方法一 函数y=logax的图象和y=loga 的图象关于x轴对称，故它们的反函数的图象关于y轴对称，选B。
方法二 函数y=logax的反函数为y=ax,y=loga 的反函数为y=a-x，函数y=ax与y=a-x的图象关于y轴对称，故选B。
4.翻折变换
①y=|f(x)|
保留函数y=f(x)在x轴上方的图象，再将函数y=f(x)在x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折上去，就得到了y=|f(x)|的图象。
②y=f(|x|)
作出函数y=f(x)在y轴右边的图象，再将函数y=f(x)在y轴右边的图象以y轴为对称轴翻折过去，就得到了y=f(|x|)的图象。
例4 已知图1中，Ⅰ对应函数为y=f(x),则Ⅱ对应函数为（）。
A.y=f(|x|) B.y=|f(x)| C.y=f(-|x|) D.y=-f(|x|)
解析 方法一 由翻折变换两种形式很容易排除A、B、D。
方法二 y=f(-|x|)=f(-x),x≥0,f(x),x＜0。故选C。
解题小结
1.描点法作函数图象的一般步骤是：
（1）求出函数的定义域；
（2）化简函数式（如含绝对值的函数应化成分段函数）；
（3）讨论函数的性质（奇偶性、周期性等）以及图象上的特殊点（极值、最值点等）和线（渐进线、对称轴等）；
（4）选取有代表性的自变量进行列表、描点。
2.应掌握基本函数图象，它们是图象变换的基础。
二、识图
对于给定的函数图象，要能从图象的左、右、上、下分布范围，变化趋势，对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，要注意图象与函数解析式中参数的关系。
例5 如图2所示，向高为H的水瓶注水，注满为止，若将注水量V看作水深h的函数，则函数V=f(h)的图象是（）。
解析 注水量V显然是h的增函数，将容器的高等分成n段，每一段记为Δh,从开始注水起（即从下到上）计算，每段Δh对应的水量分别记为ΔV1,ΔV2,…,ΔVn,由于容器上小下大，且ΔV1＞ΔV2＞…＞ΔVn,即当h愈大时，相等高度增加的水量愈少且有先快后慢的特点，图象呈“上凸”形状，故选A。
变式练习
如图3所示，向高为H的水瓶A、B、C、D中同时以等速注水，注满为止。
（1）若注水量V与水深h的函数图象是a，则水瓶形状是（）；
（2）若水深h与注水时间t的函数图象是b，则水瓶形状是（）；
（3）若注水时间t与水深h的函数图象是c，则水瓶形状是（）；
（4）若注水量V与注水时间t的函数图象是d，则水瓶形状是（）。
答案 （1）A （2）D （3）B （4）ABCD
三、用图
函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，它是探求方程解的个数、求函数最值、分析函数单调性等问题的很好的途径，要重视数形结合解题的思想方法。
例6 已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在x0点处取得极大值5，其导函数y=f ′(x)的图象经过点（1，0），（2，0），如图4所示，求：
（1）x0的值；
（2）a ,b,c的值。
解析 （1）由图可知当x∈(0,1)时， f ′(x)＞0;
当x∈(1,2)时， f ′(x)＜0。
故f(x)在（0，1）上为增函数，在（1，2）上为减函数。
∴ x=1是f(x)的极大值点，x0=1。
（2）由图可知1、2是f ′(x)=0的两个根，且点（1，5）在函数f(x)=ax3+bx2+cx上。
∵ f ′(x)=3ax2+2bx+c,
∴3a+2b+c=0,12a+4b+c=0,a+b+c=5。
解得a=2,b=-9,c=12。
“本文中所涉及到的注解、图表、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
一、作图
函数图象的常见作法有两种：一是描点法，应先分析函数的定义域、特殊点、最值、单调性、奇偶性等性质，再进行列表、描点、连线；二是图象变换法，常用变换方法有四种，即平移变换、伸缩变换、对称变换和翻折变换。
3.对称变换
y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称；
y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称；
y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称；
y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称；
函数y=f(x)满足对于一切x∈R,都有f(a+x)=f(a-x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称。
例3 设a＞0,a≠1,函数y=logax的反函数和y=loga 的反函数的图象关于（）。
A.x轴对称 B.y轴对称 C.y=x对称 D.原点对称
解析 方法一 函数y=logax的图象和y=loga 的图象关于x轴对称，故它们的反函数的图象关于y轴对称，选B。
方法二 函数y=logax的反函数为y=ax,y=loga 的反函数为y=a-x，函数y=ax与y=a-x的图象关于y轴对称，故选B。
4.翻折变换
①y=|f(x)|
保留函数y=f(x)在x轴上方的图象，再将函数y=f(x)在x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折上去，就得到了y=|f(x)|的图象。
②y=f(|x|)
作出函数y=f(x)在y轴右边的图象，再将函数y=f(x)在y轴右边的图象以y轴为对称轴翻折过去，就得到了y=f(|x|)的图象。
例4 已知图1中，Ⅰ对应函数为y=f(x),则Ⅱ对应函数为（）。
A.y=f(|x|) B.y=|f(x)| C.y=f(-|x|) D.y=-f(|x|)
解析 方法一 由翻折变换两种形式很容易排除A、B、D。
方法二 y=f(-|x|)=f(-x),x≥0,f(x),x＜0。故选C。
解题小结
1.描点法作函数图象的一般步骤是：
（1）求出函数的定义域；
（2）化简函数式（如含绝对值的函数应化成分段函数）；
（3）讨论函数的性质（奇偶性、周期性等）以及图象上的特殊点（极值、最值点等）和线（渐进线、对称轴等）；
（4）选取有代表性的自变量进行列表、描点。
2.应掌握基本函数图象，它们是图象变换的基础。
二、识图
对于给定的函数图象，要能从图象的左、右、上、下分布范围，变化趋势，对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，要注意图象与函数解析式中参数的关系。
例5 如图2所示，向高为H的水瓶注水，注满为止，若将注水量V看作水深h的函数，则函数V=f(h)的图象是（）。
解析 注水量V显然是h的增函数，将容器的高等分成n段，每一段记为Δh,从开始注水起（即从下到上）计算，每段Δh对应的水量分别记为ΔV1,ΔV2,…,ΔVn,由于容器上小下大，且ΔV1＞ΔV2＞…＞ΔVn,即当h愈大时，相等高度增加的水量愈少且有先快后慢的特点，图象呈“上凸”形状，故选A。
变式练习
如图3所示，向高为H的水瓶A、B、C、D中同时以等速注水，注满为止。
（1）若注水量V与水深h的函数图象是a，则水瓶形状是（）；
（2）若水深h与注水时间t的函数图象是b，则水瓶形状是（）；
（3）若注水时间t与水深h的函数图象是c，则水瓶形状是（）；
（4）若注水量V与注水时间t的函数图象是d，则水瓶形状是（）。
答案 （1）A （2）D （3）B （4）ABCD
三、用图
函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，它是探求方程解的个数、求函数最值、分析函数单调性等问题的很好的途径，要重视数形结合解题的思想方法。
例6 已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在x0点处取得极大值5，其导函数y=f ′(x)的图象经过点（1，0），（2，0），如图4所示，求：
（1）x0的值；
（2）a ,b,c的值。
解析 （1）由图可知当x∈(0,1)时， f ′(x)＞0;
当x∈(1,2)时， f ′(x)＜0。
故f(x)在（0，1）上为增函数，在（1，2）上为减函数。
∴ x=1是f(x)的极大值点，x0=1。
（2）由图可知1、2是f ′(x)=0的两个根，且点（1，5）在函数f(x)=ax3+bx2+cx上。
∵ f ′(x)=3ax2+2bx+c,
∴3a+2b+c=0,12a+4b+c=0,a+b+c=5。
解得a=2,b=-9,c=12。
“本文中所涉及到的注解、图表、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”