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【摘要】 这篇文章我们考虑了非线性抛物型微分方程组问题在非局部边界条件的解的比较性原理,在对解假设存在的情况下,对完全非线性的抛物型方程组的非局部问题进行唯一性的探讨. 本文主要应用了上下解的方法对一般的非线性抛物型微分方程组非局部问题进行了分析,并在满足一定的条件下得出了解的唯一性. 在这篇文章中,我们建立了一类完全非局部边界问题非线性抛物型方程组的一般的比较的原理.
一､介绍
设Ω?奂Rn,n ≥ 1是一个具有边界?坠Ω的有界区域,并设DM = (0,M) × Ω,SM = (0,M) × ?坠Ω(M是大于零的任意常数).
非局部问题的非线性方程组:= fi(t,x,uui, 2ui). 在DM中Biui =Kij(x,y)uj(t,y)dy + hi(x);
在SM上 (1.1)ui(0,x) = ui0(x);
在 Ω上(i = 1,…,N),这里 u = (u1,…,uN), ui和 2ui分别是ui的梯度和 ui关于空间变量的Hessian矩阵,对每个i = 1,…,N,fi∈C[DM × RN × Rn × Rn ,R],Bi = αi(x)+ 1(αi(x) ≥ 0),其中 是?坠Ω的外法方向导数,假如对每个i = 1,…,N,f是在DM 中的椭圆算子(可以看下面的定义).
在以前的对上面方程的研究中,都只是在Kij > 0, Kij(x,y)dx ≤ 1的条件下给出的比较原理[1],最近的 Rong-Nian Wang等就这些条件下的问题,得到了比较好的结果.
基于上面的所做的工作,我们今天给出更广泛的Kij条件下的非线性抛物型方程组的比较原理. 我们把上面的在SM上的变为:
Biui =Ki(t,x,y,u )dy + hi(x)[2].
二､有关的结果和证明
我们先令f(t,x,u) = (f1(t,x,u, u1, 2u1),…,fN(t,x,u, uN, 2uN)).
S = S11…S1n┆┆Sn1…Snn T = T11…T1n┆┆Tn1…Tnn
定义2.1 向量函数f(t,x,u)在(t1,x1)是椭圆的(对任意的i = 1,…,N),函数fi∈C[DM × RN × Rn × Rn ,R]是在点(t1,x1)椭圆的,即是对任意的u,p,Sjk,Tjk(j,k = 1,…,n)满足若有不等式 (Sjk - Tjk)λiλk ≤ 0对任意的λ∈Rn成立,则可以得到fi(t1,x1,u,p,S) ≤ fi(t1,x1,u,p,T);假如对每个f(t,x,u)在每个(t,x)∈DM都是椭圆的,那么则称f(t,x,u)在DM是椭圆的[3] .
定义 2.2 一向量函数f(t,x,u)是拟单调不减的,假如对每个i = 1,…,N,我们把 u写成 u= (ui,[u]N-1), fi(t,x,ui,[u]N-1, ui, 2ui)是关于[u]N-1的不减的函数.
通过上面的定义,为了得到我们的比较原理,我们来作相应的假设:
(H1)向量函数f(t,x,u)在DM中是椭圆的,且对给定的RN子集向量函数是拟单调不减的.
(H2)若 u= (u1,…,un),v = (v1,…,vn),ui ≥ vi (i = 1,…,N),则称 u ≥ v.
Ki(t,x,y,u) - Ki(t,x,y,v)≥ Lij(t,x,y)(uj - vj),(u ≥ v), Lij(t,x,y) > 0,((t,x)∈SM,y∈Ω)[2].
(H3)对每个i = 1,…,N,fi满足一边的 Lipschitz 条件:
fi(t,x,u,p,S) - fi(t,x,v,p,S)≤Ni (ui - vi),(u ≥ v)其中Ni > 0 [4].
引理2.3 假设H1,H2成立,u, v∈(C1,2(DM)∩CM0,1(D))满足下列的方程:
uit ≤ fi(t,x,u, ui, 2ui),(t,x)∈DM .
uit > fi(t,x,v, vi, 2vi),(t,x)∈DM .
Biui ≤Ki(t,x,y,u)dy + hi(x),(t,x)∈SM.(2.3)
Bivi ≤Ki(t,x,y,v)dy + hi(x),(t,x)∈SM.
ui(0,x) < vi(0,x),x∈Ω (i = 1,…,N ).
则得到在DM上有u(t,x) < v(t,x).
证明 令w(t,x) = (w1(t,x),…,wN(t,x)).
对每个i = 1,…,N,wi(t,x) = ui(t,x) - vi(t,x),则我们得到如下的方程组:
wit < fi(t,x,u, ui, 2ui)- fi(t,x,v, vi, 2vi),(t,x)∈DM.
Biwi≤ Ki(t,x,y,u) - Ki(t,x,y,v)dy,(t,x)∈DM . wi(0,x) < 0,x∈Ω,i = 1,…,N.
由于(0,x) < 0 (x∈Ω),根据连续性,存在一个?坠 > 0,对任意的0 ≤ t ≤ δ和x∈Ω有(0,x) < 0.
设?祝 = {t;t≤M,w(s,x) < 0对所有的0 ≤ s ≤ t及x∈Ω},由此必存在t1 = sup?祝和 0 < t1 ≤ M. 因此在D 上有 w(t,x) ≤ 0.
假设在DM上 w(t,x) ≤ 0不正确,则必存在x1∈Ω和wk(t,x)满足在[0,t1)上wk(t,k) < 0,而wk(t1,x1) = 0.这就是说t1是wk(t,x)在某一点x1∈Ω第一次达到零. 因此在D 上在点(t1,x1)处wi(t,x)获得到了最大值. 我们先来证明(t1,x1)?埸DM.
如果(t1,x1)∈DM,可以得到 (t1,x1)≥0, (t1,x1) = 0,(t1,x1)λi λj≤0,?坌λ = (λ1,…,λn)∈Rn.
我们应用f(t,x,u)的拟单调不减的性质和它的椭圆性质,可以得到:
0 ≤ (t1,x1) 这样就得出了矛盾. 因此我们可以得到在DM中有 (t,x) < 0.
现在来证明(t1,x1)?埸SM,要不然,当αk =0时,
0 = wk(t1,x1)≤ (Kk(t,x,y,u) - Kk(t,x,y,v)dy≤ Lkj(t,x,y)(uj - vj)dy < 0.
这样就得出了矛盾. 而当αk > 0时,可以得到wk(t1,x1) = max - wk(t,x),wk(t,x) < 0 = wk(t1,x1) 在D 中,那这样用方向导数的定义就可得到 (t1,x1) ≥ 0 ,于是0 ≤ (t1,x1) + wk(t1,x1) ≤ (Kk(t,x,y,u) - Kk(t,x,y,v)dy≤ Lkj(t,x,y)(uj - vj)dy < 0.
这样又得出了矛盾,就证明了在DM上有 (t,x) < 0,此命题得证[5].
为了更进一步地得到比较原理,需添加一些条件和假设.
定义2.4 一向量函数u = (u1,…,uN)∈C1,2(DM)∩C(DM)叫做方程组1.1在DM的上解. 如果u满足:
≥fi(t,x,u, ui, 2ui)在DM中;
Biui ≥ Ki(t,x,y,u)dy + hi(x)在SM上;
ui(0,x) ≥ ui0(x) 在Ω上(i = 1,…,N),
下解可以相似地定义,只要把不等号“≥”换成“≤”即可.
(H4)Ki(t,x,y,u) - Ki(t,x,y,v) ≤
Lkj(t,x,y)(uj - vj),(u ≥ v).
Lkj(t,x,y) > 0, Lkj(t,x,y) ≤ 1.
定理2.5 若假设H1,H2,H3,H4均成立,u,v分别是1.1的上解和下解,且u(0,x) ≤ v(0,x)(x∈Ω),那么在DM上有 u(t,x) ≤ v(t,x).
证明 为了应用上面的引理,先令z() = (e ,…,e ).
这里我们选择γ,ci均为正数(i = 1,…,N),并且满足c1N1 = c2N2 = … = cNNN,γci > 1,对很小的ξ > 0,先来看w = v + ξz. 用fi的一边利普希茨条件,我们有:wit = vit + ξzit ≥ fi(t,x,v, vi, 2vi) + γξci NNie≥
fi(t,x,w, vi, 2vi) - ξNi e + γξci NNie=
fi(t,x,w, vi, 2vi) - ξNNie + γξci NNie >
fi(t,x,w, vi, 2vi) =
fi(t,x,w, vi, 2vi)在DM中,(i = 1,…,N).
并对每个i = 1,…,N有vi(0,x) < wi(0,x),?坌x∈Ω.
通过假设H4,有
Biwi = αi (t,x) + wi(t,x)≥ Ki(t,x,y,v)dy +ξe+ hi(x) ≥ Ki(t,x,y,v)dy + Lij(t,x,y)•ξe dy + hi(x) ≥ Ki(t,x,y,w)dy + hi(x)
这就是说 w,u满足不等式组(2.3),因此由上面的引理2.3,我们可以得到 u < w在DM中,令ξ→0,得到 u≤ v.
推论2.6 假如H1,H2,H3,H4成立,并且(1.1)有解,那么方程组(1.1)的解唯一.
【参考文献】
[1] H-M. Yin, 2004, “On a class of parabolic equations with nonlocal boundary conditions,” Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol. 294, no. 2, pp. 712-728.
[2] Yuandi Wang and Hamdi Zorgati, 2007, “On Comparison Principles for Parabolic Equations with Nonlocal Boundary Conditions”,Boundary Value problems,Volume 2007,Article ID 80929,10 pages.
[3] R.-N. Wang, T.-J. Xiao, and J. Liang, 2006,“A comparison principle for nonlocal coupled systems of fully nonlinear parabolic equations,”Applied Mathematics Letters, vol. 19, no. 11, pp. 1272-1277.
[4] C.V. Pao,1997, “Dynamics of weakly coupled parabolic systems with nonlocal boundary conditions, Advances in Nonlinear Dynamics”,Stability Control Theory Methods Appl. vol. 5, Gordon and Breach, Amsterdam (1997), pp. 319-327.
[5] C.V. Pao,1995, “Dynamics of reaction-diffusion equations with nonlocal boundary conditions”, Quart. Appl. Math. 50 (1995), pp. 173-186.
[6] Y. F. Yin,1994, “On nonlinear parabolic equations with nonlocal boundary condition,” Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol. 185, no. 1, pp. 161-174.
[7] S. Carl and V. Lakshmikantham,2002, “Generalized quasilinearization method for reaction-diffusion equations under nonlinear and nonlocal flux conditions”, J. Math. Anal. Appl. 271 (2002), pp. 182-205.
[8] S. Seo,2000, “Global existence and decreasing property of boundary values of solutions to parabolic equations with nonlocal boundary conditions”, Pacific. J. Math. 193 (2000), pp. 219-226.
[9] W.A.Day,1982, “Extension of a property of the heat equation to linear thermoelasticity and other theories”, Quart. Appl. Math., 40(1982), 319-330.
注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”
一､介绍
设Ω?奂Rn,n ≥ 1是一个具有边界?坠Ω的有界区域,并设DM = (0,M) × Ω,SM = (0,M) × ?坠Ω(M是大于零的任意常数).
非局部问题的非线性方程组:= fi(t,x,uui, 2ui). 在DM中Biui =Kij(x,y)uj(t,y)dy + hi(x);
在SM上 (1.1)ui(0,x) = ui0(x);
在 Ω上(i = 1,…,N),这里 u = (u1,…,uN), ui和 2ui分别是ui的梯度和 ui关于空间变量的Hessian矩阵,对每个i = 1,…,N,fi∈C[DM × RN × Rn × Rn ,R],Bi = αi(x)+ 1(αi(x) ≥ 0),其中 是?坠Ω的外法方向导数,假如对每个i = 1,…,N,f是在DM 中的椭圆算子(可以看下面的定义).
在以前的对上面方程的研究中,都只是在Kij > 0, Kij(x,y)dx ≤ 1的条件下给出的比较原理[1],最近的 Rong-Nian Wang等就这些条件下的问题,得到了比较好的结果.
基于上面的所做的工作,我们今天给出更广泛的Kij条件下的非线性抛物型方程组的比较原理. 我们把上面的在SM上的变为:
Biui =Ki(t,x,y,u )dy + hi(x)[2].
二､有关的结果和证明
我们先令f(t,x,u) = (f1(t,x,u, u1, 2u1),…,fN(t,x,u, uN, 2uN)).
S = S11…S1n┆┆Sn1…Snn T = T11…T1n┆┆Tn1…Tnn
定义2.1 向量函数f(t,x,u)在(t1,x1)是椭圆的(对任意的i = 1,…,N),函数fi∈C[DM × RN × Rn × Rn ,R]是在点(t1,x1)椭圆的,即是对任意的u,p,Sjk,Tjk(j,k = 1,…,n)满足若有不等式 (Sjk - Tjk)λiλk ≤ 0对任意的λ∈Rn成立,则可以得到fi(t1,x1,u,p,S) ≤ fi(t1,x1,u,p,T);假如对每个f(t,x,u)在每个(t,x)∈DM都是椭圆的,那么则称f(t,x,u)在DM是椭圆的[3] .
定义 2.2 一向量函数f(t,x,u)是拟单调不减的,假如对每个i = 1,…,N,我们把 u写成 u= (ui,[u]N-1), fi(t,x,ui,[u]N-1, ui, 2ui)是关于[u]N-1的不减的函数.
通过上面的定义,为了得到我们的比较原理,我们来作相应的假设:
(H1)向量函数f(t,x,u)在DM中是椭圆的,且对给定的RN子集向量函数是拟单调不减的.
(H2)若 u= (u1,…,un),v = (v1,…,vn),ui ≥ vi (i = 1,…,N),则称 u ≥ v.
Ki(t,x,y,u) - Ki(t,x,y,v)≥ Lij(t,x,y)(uj - vj),(u ≥ v), Lij(t,x,y) > 0,((t,x)∈SM,y∈Ω)[2].
(H3)对每个i = 1,…,N,fi满足一边的 Lipschitz 条件:
fi(t,x,u,p,S) - fi(t,x,v,p,S)≤Ni (ui - vi),(u ≥ v)其中Ni > 0 [4].
引理2.3 假设H1,H2成立,u, v∈(C1,2(DM)∩CM0,1(D))满足下列的方程:
uit ≤ fi(t,x,u, ui, 2ui),(t,x)∈DM .
uit > fi(t,x,v, vi, 2vi),(t,x)∈DM .
Biui ≤Ki(t,x,y,u)dy + hi(x),(t,x)∈SM.(2.3)
Bivi ≤Ki(t,x,y,v)dy + hi(x),(t,x)∈SM.
ui(0,x) < vi(0,x),x∈Ω (i = 1,…,N ).
则得到在DM上有u(t,x) < v(t,x).
证明 令w(t,x) = (w1(t,x),…,wN(t,x)).
对每个i = 1,…,N,wi(t,x) = ui(t,x) - vi(t,x),则我们得到如下的方程组:
wit < fi(t,x,u, ui, 2ui)- fi(t,x,v, vi, 2vi),(t,x)∈DM.
Biwi≤ Ki(t,x,y,u) - Ki(t,x,y,v)dy,(t,x)∈DM . wi(0,x) < 0,x∈Ω,i = 1,…,N.
由于(0,x) < 0 (x∈Ω),根据连续性,存在一个?坠 > 0,对任意的0 ≤ t ≤ δ和x∈Ω有(0,x) < 0.
设?祝 = {t;t≤M,w(s,x) < 0对所有的0 ≤ s ≤ t及x∈Ω},由此必存在t1 = sup?祝和 0 < t1 ≤ M. 因此在D 上有 w(t,x) ≤ 0.
假设在DM上 w(t,x) ≤ 0不正确,则必存在x1∈Ω和wk(t,x)满足在[0,t1)上wk(t,k) < 0,而wk(t1,x1) = 0.这就是说t1是wk(t,x)在某一点x1∈Ω第一次达到零. 因此在D 上在点(t1,x1)处wi(t,x)获得到了最大值. 我们先来证明(t1,x1)?埸DM.
如果(t1,x1)∈DM,可以得到 (t1,x1)≥0, (t1,x1) = 0,(t1,x1)λi λj≤0,?坌λ = (λ1,…,λn)∈Rn.
我们应用f(t,x,u)的拟单调不减的性质和它的椭圆性质,可以得到:
0 ≤ (t1,x1)
现在来证明(t1,x1)?埸SM,要不然,当αk =0时,
0 = wk(t1,x1)≤ (Kk(t,x,y,u) - Kk(t,x,y,v)dy≤ Lkj(t,x,y)(uj - vj)dy < 0.
这样就得出了矛盾. 而当αk > 0时,可以得到wk(t1,x1) = max - wk(t,x),wk(t,x) < 0 = wk(t1,x1) 在D 中,那这样用方向导数的定义就可得到 (t1,x1) ≥ 0 ,于是0 ≤ (t1,x1) + wk(t1,x1) ≤ (Kk(t,x,y,u) - Kk(t,x,y,v)dy≤ Lkj(t,x,y)(uj - vj)dy < 0.
这样又得出了矛盾,就证明了在DM上有 (t,x) < 0,此命题得证[5].
为了更进一步地得到比较原理,需添加一些条件和假设.
定义2.4 一向量函数u = (u1,…,uN)∈C1,2(DM)∩C(DM)叫做方程组1.1在DM的上解. 如果u满足:
≥fi(t,x,u, ui, 2ui)在DM中;
Biui ≥ Ki(t,x,y,u)dy + hi(x)在SM上;
ui(0,x) ≥ ui0(x) 在Ω上(i = 1,…,N),
下解可以相似地定义,只要把不等号“≥”换成“≤”即可.
(H4)Ki(t,x,y,u) - Ki(t,x,y,v) ≤
Lkj(t,x,y)(uj - vj),(u ≥ v).
Lkj(t,x,y) > 0, Lkj(t,x,y) ≤ 1.
定理2.5 若假设H1,H2,H3,H4均成立,u,v分别是1.1的上解和下解,且u(0,x) ≤ v(0,x)(x∈Ω),那么在DM上有 u(t,x) ≤ v(t,x).
证明 为了应用上面的引理,先令z() = (e ,…,e ).
这里我们选择γ,ci均为正数(i = 1,…,N),并且满足c1N1 = c2N2 = … = cNNN,γci > 1,对很小的ξ > 0,先来看w = v + ξz. 用fi的一边利普希茨条件,我们有:wit = vit + ξzit ≥ fi(t,x,v, vi, 2vi) + γξci NNie≥
fi(t,x,w, vi, 2vi) - ξNi e + γξci NNie=
fi(t,x,w, vi, 2vi) - ξNNie + γξci NNie >
fi(t,x,w, vi, 2vi) =
fi(t,x,w, vi, 2vi)在DM中,(i = 1,…,N).
并对每个i = 1,…,N有vi(0,x) < wi(0,x),?坌x∈Ω.
通过假设H4,有
Biwi = αi (t,x) + wi(t,x)≥ Ki(t,x,y,v)dy +ξe+ hi(x) ≥ Ki(t,x,y,v)dy + Lij(t,x,y)•ξe dy + hi(x) ≥ Ki(t,x,y,w)dy + hi(x)
这就是说 w,u满足不等式组(2.3),因此由上面的引理2.3,我们可以得到 u < w在DM中,令ξ→0,得到 u≤ v.
推论2.6 假如H1,H2,H3,H4成立,并且(1.1)有解,那么方程组(1.1)的解唯一.
【参考文献】
[1] H-M. Yin, 2004, “On a class of parabolic equations with nonlocal boundary conditions,” Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol. 294, no. 2, pp. 712-728.
[2] Yuandi Wang and Hamdi Zorgati, 2007, “On Comparison Principles for Parabolic Equations with Nonlocal Boundary Conditions”,Boundary Value problems,Volume 2007,Article ID 80929,10 pages.
[3] R.-N. Wang, T.-J. Xiao, and J. Liang, 2006,“A comparison principle for nonlocal coupled systems of fully nonlinear parabolic equations,”Applied Mathematics Letters, vol. 19, no. 11, pp. 1272-1277.
[4] C.V. Pao,1997, “Dynamics of weakly coupled parabolic systems with nonlocal boundary conditions, Advances in Nonlinear Dynamics”,Stability Control Theory Methods Appl. vol. 5, Gordon and Breach, Amsterdam (1997), pp. 319-327.
[5] C.V. Pao,1995, “Dynamics of reaction-diffusion equations with nonlocal boundary conditions”, Quart. Appl. Math. 50 (1995), pp. 173-186.
[6] Y. F. Yin,1994, “On nonlinear parabolic equations with nonlocal boundary condition,” Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol. 185, no. 1, pp. 161-174.
[7] S. Carl and V. Lakshmikantham,2002, “Generalized quasilinearization method for reaction-diffusion equations under nonlinear and nonlocal flux conditions”, J. Math. Anal. Appl. 271 (2002), pp. 182-205.
[8] S. Seo,2000, “Global existence and decreasing property of boundary values of solutions to parabolic equations with nonlocal boundary conditions”, Pacific. J. Math. 193 (2000), pp. 219-226.
[9] W.A.Day,1982, “Extension of a property of the heat equation to linear thermoelasticity and other theories”, Quart. Appl. Math., 40(1982), 319-330.
注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”