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因式分解是初中数学中整式变形的重要内容，也是解决某些数学问题的重要手段，学习多项式的因式分解，首先要明确因式分解与整式的区别和联系，整式乘法是把几个整式相乘化为多项式，而因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式。
即：（a+b）(a-b)a2-b2
知道了这种区别和联系，就明白了因式分解的实质就是把整式乘法的过程倒过来，同学们除要熟悉掌握课本介绍的几种基本方法外，对某些较为特殊的多项式，还要注意观察、分析其特点，将这些方法灵活、综合运用。为了使同学们更好地掌握因式分解的技巧，形成能力，我认为从下面几个方面入手进行教学，可取得较好的效果。
一、 熟悉分解方法
1、提公因式法。只要所给多项式有公因式，就先把各项的公因式提出来。
例1、分解因式：56x3yz+14x2y2z-21xy2z2
解：原式＝7xyz(8x2+2xy-3yz)
2、以所给多项式的项数为线索，确定分解方法。一般来说，二次项、三次项采用公式法或十字相乘法。
例2、分解因式：x4y-xy4
分析：提取公因式后，运用立方差公式
解：原式＝xy(x3-y3)
＝xy(x-y)(x2+xy+y2)
有些题表面上看不是二次项或三次项，这时可把几项看成一项，归结为二项式或三项式。
例3：分解因式：x2-y2-z2-2yz
分析：把-y2-z2-2yz看成一项，利用平方差公式就可以分解。
解：原式＝x2-(y2+2yz+z2)
＝x2-(y+z)2
＝(x+y+z)(x-y-z)
3、对于一些较为复杂的问题，如对一个四次项式或四次以上的多项式的因式分解，通常采用下列思考程序：
这就是说，先要分组，然后利用提公因式法或公式法或十字相乘法来分解。
例4：分解因式：
（1）a2-9b2+12bc-4c2
(2) ax2-bx2+ax-bx+2b-2a
分析：（1）分组后用公式法。（2）将原多项式的6项3-3分组
或2-2-2分组，分组后先提取公因式，后用十字相乘法。
解：（1）原式＝a2-（9b2－12bc＋4c2）
＝a2-(3b-2c)2
＝(a+3b-2c)(a-3b+2c)
（2）原式＝(ax2+ax-2a )-(bx2 +bx-2b)
＝a(x2+x-2)-b(x2 +x-2)
＝(x2+x-2)(a-b)
＝(x+2)(x-1)(a-b)
二、掌握变形技巧
1、去括号，重新分组
例5：分解因式 ab(c2+d2)+cd(a2+b2)
解： 原式＝abc2+abd2+cda2+cdb2
＝(abc2+cda2 )+(abd2 +cdb2)
＝ac(bc+ad)+bd(ad+bc)
＝(bc+ad)(ac+bd)
例6：分解因式 （x2+3x-2）(x2+3x+4)-16
解： 设x2+3x=y，则
原式＝(y-2)(y+4)-16
＝y2+2y-24
＝(y+6)(y-4)
将y=x2+3x 代回上式，则
原式＝(x2+3x+6)( x2+3x-4)
＝(x2+3x+6)(x-1)(x+4)
2、拆项添项，重新整理
例7、分解因式x3+3x2-4
解法（一）
原式＝(x3+2x2)+(x2-4)
＝x2(x+2)+(x+2)(x-2)
＝(x+2)(x2+x-2)
＝(x+2)(x+2)(x-1)
＝(x+2)2(x-1)
解法（二）
原式＝(x3-1)+(3x2-3)
＝(x-1)(x2+x+1)+3(x+1)(x-1)
＝(x-1)( x2+4x+4)
＝(x+2)2(x-1)
解法（三）
原式＝(x3+3x2-4x)+(4x-4)
＝x(x+4)(x-1)+4(x-1)
＝(x-1)( x2+4x+4)
＝(x+2)2(x-1)
3、按“整体”进行分组
例8：将(x2+x+1)(x2+x+2)-12 分解因式
分析：可把(x2+x+1)看作一个整体来分解
解：原式＝(x2+x+1)[ (x2+x+1)+1]-12
＝(x2+x+1)2+(x2+x+1)-12
＝[(x2+x+1)-3][(x2+x+1)+4]
＝(x2+x+5)(x2+x-2)
＝(x2+x+5)(x+2)(x-1)
三、观察特点，发现规律，巧解题
例9：分解因式(x+1)(x+2)(x+3)-6×7×8
分析：此题后三项是三个连续的自然数之积，前项是三个多项式的积且其中的三个因数也依次相差1，因而可考虑把后项也改写成前项的形式，即6×7×8＝（5+1）(5+2)(5+3)，然后设法分解。
解：(x+1)(x+2)(x+3)-6×7×8
＝(x+1)(x+2)(x+3)- (5+1)(5+2)(5+3)
＝x3+6x2+11x+6-(53+6×52+11×5+6)
＝(x3-53)+6(x2-52)+11(x-5)
＝(x-5)(x2+5x+25)+6(x+5)(x-5)+11(x-5)
＝(x-5)(x2+11x+66)
例10：计算
分析：以字母代数，可将复杂问题简单化，可设a=25,则26=a+1，27=a+2 ， 28=a+3
解：设a=25,则
原式＝
＝
＝
＝
＝a2+3a+1
＝252+3×25+1
＝701
四、规范分解结果
对因式分解的结果，必须注意下面几点：
1、必须是几个因式的积。
如：分解因式x2+3x-4=((x+2)(x-2)+3x ，此结果不是乘积的形式，应为：x2+3x-4=(x+4)(x-1)
2、每个因式必须是整式。
如：分解因式x4+4y4=x4(1+ ),此结果中出现了分式，则不能算作因式分解，应为：
x4+4y4＝ x4+4x2y2+4y4-4x2y2
＝(x2+2y2)2-4 x2y2
＝(x2+2y2+2xy)(x2+2y2-2xy)
3、必须分解到不能再分解为止。
如：x4-3x2+2＝(x2-2)(x2-1)，其中因式x2-1还可以分解为(x+1)(x-1)，若规定在实数范围内分解因式的话，则继续分解为（x+2）(x-2)；
又如：分解(x+y)2-(xy+1)2=(x+y+xy+1)(x+y-xy-1)并不是最后结果，应继续分解，结果为(x+1)(x-1)(y+1)(y-1)
总之，要能迅速、准确地分解因式，除了应掌握一般步骤和基本方法外，还要通过观察、分析，根据题目特征，综合地灵活运用各种方法，获得较优的解法，灵活性才较大，技巧性则较强。
（作者单位：湖南省长沙县高桥中学）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
即：（a+b）(a-b)a2-b2
知道了这种区别和联系，就明白了因式分解的实质就是把整式乘法的过程倒过来，同学们除要熟悉掌握课本介绍的几种基本方法外，对某些较为特殊的多项式，还要注意观察、分析其特点，将这些方法灵活、综合运用。为了使同学们更好地掌握因式分解的技巧，形成能力，我认为从下面几个方面入手进行教学，可取得较好的效果。
一、 熟悉分解方法
1、提公因式法。只要所给多项式有公因式，就先把各项的公因式提出来。
例1、分解因式：56x3yz+14x2y2z-21xy2z2
解：原式＝7xyz(8x2+2xy-3yz)
2、以所给多项式的项数为线索，确定分解方法。一般来说，二次项、三次项采用公式法或十字相乘法。
例2、分解因式：x4y-xy4
分析：提取公因式后，运用立方差公式
解：原式＝xy(x3-y3)
＝xy(x-y)(x2+xy+y2)
有些题表面上看不是二次项或三次项，这时可把几项看成一项，归结为二项式或三项式。
例3：分解因式：x2-y2-z2-2yz
分析：把-y2-z2-2yz看成一项，利用平方差公式就可以分解。
解：原式＝x2-(y2+2yz+z2)
＝x2-(y+z)2
＝(x+y+z)(x-y-z)
3、对于一些较为复杂的问题，如对一个四次项式或四次以上的多项式的因式分解，通常采用下列思考程序：
这就是说，先要分组，然后利用提公因式法或公式法或十字相乘法来分解。
例4：分解因式：
（1）a2-9b2+12bc-4c2
(2) ax2-bx2+ax-bx+2b-2a
分析：（1）分组后用公式法。（2）将原多项式的6项3-3分组
或2-2-2分组，分组后先提取公因式，后用十字相乘法。
解：（1）原式＝a2-（9b2－12bc＋4c2）
＝a2-(3b-2c)2
＝(a+3b-2c)(a-3b+2c)
（2）原式＝(ax2+ax-2a )-(bx2 +bx-2b)
＝a(x2+x-2)-b(x2 +x-2)
＝(x2+x-2)(a-b)
＝(x+2)(x-1)(a-b)
二、掌握变形技巧
1、去括号，重新分组
例5：分解因式 ab(c2+d2)+cd(a2+b2)
解： 原式＝abc2+abd2+cda2+cdb2
＝(abc2+cda2 )+(abd2 +cdb2)
＝ac(bc+ad)+bd(ad+bc)
＝(bc+ad)(ac+bd)
例6：分解因式 （x2+3x-2）(x2+3x+4)-16
解： 设x2+3x=y，则
原式＝(y-2)(y+4)-16
＝y2+2y-24
＝(y+6)(y-4)
将y=x2+3x 代回上式，则
原式＝(x2+3x+6)( x2+3x-4)
＝(x2+3x+6)(x-1)(x+4)
2、拆项添项，重新整理
例7、分解因式x3+3x2-4
解法（一）
原式＝(x3+2x2)+(x2-4)
＝x2(x+2)+(x+2)(x-2)
＝(x+2)(x2+x-2)
＝(x+2)(x+2)(x-1)
＝(x+2)2(x-1)
解法（二）
原式＝(x3-1)+(3x2-3)
＝(x-1)(x2+x+1)+3(x+1)(x-1)
＝(x-1)( x2+4x+4)
＝(x+2)2(x-1)
解法（三）
原式＝(x3+3x2-4x)+(4x-4)
＝x(x+4)(x-1)+4(x-1)
＝(x-1)( x2+4x+4)
＝(x+2)2(x-1)
3、按“整体”进行分组
例8：将(x2+x+1)(x2+x+2)-12 分解因式
分析：可把(x2+x+1)看作一个整体来分解
解：原式＝(x2+x+1)[ (x2+x+1)+1]-12
＝(x2+x+1)2+(x2+x+1)-12
＝[(x2+x+1)-3][(x2+x+1)+4]
＝(x2+x+5)(x2+x-2)
＝(x2+x+5)(x+2)(x-1)
三、观察特点，发现规律，巧解题
例9：分解因式(x+1)(x+2)(x+3)-6×7×8
分析：此题后三项是三个连续的自然数之积，前项是三个多项式的积且其中的三个因数也依次相差1，因而可考虑把后项也改写成前项的形式，即6×7×8＝（5+1）(5+2)(5+3)，然后设法分解。
解：(x+1)(x+2)(x+3)-6×7×8
＝(x+1)(x+2)(x+3)- (5+1)(5+2)(5+3)
＝x3+6x2+11x+6-(53+6×52+11×5+6)
＝(x3-53)+6(x2-52)+11(x-5)
＝(x-5)(x2+5x+25)+6(x+5)(x-5)+11(x-5)
＝(x-5)(x2+11x+66)
例10：计算
分析：以字母代数，可将复杂问题简单化，可设a=25,则26=a+1，27=a+2 ， 28=a+3
解：设a=25,则
原式＝
＝
＝
＝
＝a2+3a+1
＝252+3×25+1
＝701
四、规范分解结果
对因式分解的结果，必须注意下面几点：
1、必须是几个因式的积。
如：分解因式x2+3x-4=((x+2)(x-2)+3x ，此结果不是乘积的形式，应为：x2+3x-4=(x+4)(x-1)
2、每个因式必须是整式。
如：分解因式x4+4y4=x4(1+ ),此结果中出现了分式，则不能算作因式分解，应为：
x4+4y4＝ x4+4x2y2+4y4-4x2y2
＝(x2+2y2)2-4 x2y2
＝(x2+2y2+2xy)(x2+2y2-2xy)
3、必须分解到不能再分解为止。
如：x4-3x2+2＝(x2-2)(x2-1)，其中因式x2-1还可以分解为(x+1)(x-1)，若规定在实数范围内分解因式的话，则继续分解为（x+2）(x-2)；
又如：分解(x+y)2-(xy+1)2=(x+y+xy+1)(x+y-xy-1)并不是最后结果，应继续分解，结果为(x+1)(x-1)(y+1)(y-1)
总之，要能迅速、准确地分解因式，除了应掌握一般步骤和基本方法外，还要通过观察、分析，根据题目特征，综合地灵活运用各种方法，获得较优的解法，灵活性才较大，技巧性则较强。
（作者单位：湖南省长沙县高桥中学）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。