论文部分内容阅读
一、数学“问题场”的生态观
生态系统理论观点认为:任何一个系统只有是开放的,与外界环境有物质、能量、信息的交流,并在动态中达到平衡,系统才具有活力,才能永葆生机;反之,系统则会逐渐衰败,变成一潭死水。同样,数学教学的生态化,“要求整个教学过程均符合生态系统的基本原则,将数学教学视为一个能够自我调节、相互协作、共同发展的生态化系统,而不是一个封闭、割裂和强调控制的机械系统”。学生的数学学习也应该具有开放性,应该源于生活,建立在经验的基础上,并通过学生与外界环境进行能量、信息交换,构建动态、开放的数学生态系统。
从生态学的视角看,数学“问题场”就是学生不断与外界环境进行能量、信息交换的动态、开放的系统。因此,从生态学的角度来指导和审视数学“问题场”的构建具有重要的理论意义与实践价值。
二、构建“思情画意”的数学“问题场”生态模式
根据数学“问题场”的生态观,我们课题组提出,数学“问题场”是由数学文化、数学问题、学生、教师以及问题解决程序这五个内部系统构成的生态模式,这五个系统相互联系、相互作用,构成了数学“问题场”的生态模式结构,形成了一个有机的整体。所谓数学文化,是指以民族或区域为主导的社会共同体在长期的与教学活动有关的生活和生产过程中所形成的特有的知识、行为、观念、态度与精神等,它体现了社会共同体所特有的数学生活和行为方式,或者说是特定的数学传统。数学文化通过其固有的成分和作用影响着数学知识的形成与发展,影响着数学问题的提出与表现。
两年来,我们课题组在新课程背景下,在“问题场”教学的实践研究中认为,要在数学教学中有效地整合数学文化,建立数形结合的“问题场”,在解决问题中“亦思亦画”,体现“思情画意”,达到“思画融通”。而在生态观中,“思情画意”中的“思”是学生在一定的数学文化氛围中,在教师的引导下,主动地思考数学问题,并构建新的数学知识;“画”是为了激发学生数学学习的兴趣,提高学生学习的主动性,发展学生的数学思维而创设的各种问题情境,具体在数学文化中体现。由此可见,“思画融通”作为数学“问题场”的一种生态模式,有助于学生的数学学习,有利于学生思维的发展,在数学教学中具有至关重要的作用。以下是我们课题组在“思情画意”理念引领下,创设的数学“问题场”的生态模式。
(一)建立“数”与“形”的结构性联系
一定意义上来说,世界万物都是由一定的“数”,按照一定的“形”和“序”所构成的各种实体。可见,“数”与“形”存在着天然联系。但是,这种天然的联系在学生的数学学习中往往并不明显,这就需要教师巧妙地创设“数”与“形”的结构性联系,引导学生去思考、去发现。如“归一”问题的教学,较好地利用了“数”与“形”之间的联系,实现了数形结合。
师:这个图形的浅色部分表示多少?
生1:缺少条件,应该告诉一份是多少。
师:非要告诉一份是多少吗?我们一起来看看到底告诉了什么已知条件。(出示黑色部分表示180)能不能求出浅色部分是多少?
(学生独立思考,教师引导用综合算式解答,即180÷3×5=60×5=300,特别强调先算哪步,表示什么)
师:如果已知的是整个图形表示480呢?
(学生列式计算:480÷8×5=60×5=300)
师:刚才是怎样求出浅色部分的?我们一起来回顾一下,为了便于比较,可以用表格把相应的数据整理在一起。观察表格以及相应的算式,发现解答这些问题有什么共同之处?
生2:都是先求出一个小三角形是多少。
师:刚才我们从图形中发现同样的规律,都是要先求出一个单位图形是多少。如果这个图形是现实生活的一件实物,那又该怎么解答呢?现在我们一起到生活中看看,迎奥运,买福娃。
学生解答:200÷4×6=50×6=300(元)
师:你是怎么想的?
生3:先求一个福娃的价格。
师:现在题目要变一变,表格中依次出现数据,要求马上算出相应的数,看谁的反应快?
[尤其是总数为100元的时候,学生由于思维定式,列式为100×50=5000(元),稍作思考,学生马上会纠正]
师:如果最后的一个空格由你来填,你打算怎么填?为什么?
生4:先填下面,下面随便填一个,再用下面的数乘以50就是上面的数了。
生5:上面的数虽然不能随便填,但只要是50的倍数就可以了,只要用上面的数除以50就是下面的数了。
师:不管先填什么,都要先求出一个福娃多少元。
……
上述案例中,学生在直观图形的引导下,形成了一定的认知冲突,引发了学生的思考。要求浅色部分是多少,但又不知道一份是多少,引导学生根据已知的总数和份数求出每份数,再根据每份数和份数,求出相应的总数。虽然先后两次呈现不同的条件,但每一次都必须先求出每个三角形是多少,突出“归一”的重要。然后,在直观图形做铺垫的基础上,进一步用直观实物来呈现问题,为以后学习文字问题做准备,实现了图形模型和生活问题的联结,产生了类推。同时,这又是一个变式的对比练习,既是强化同类型(正“归一”)的问题解决方法,又穿插反“归一”的问题,着力提高学生思维的灵活性、敏捷性和概括性,因为无论是正“归一”还是反“归一”,最终是为了突出“归一”的本质特点。
(二)以“形”思“数”——在直观中理解“数”
华罗庚先生说过:“数缺形少直观。”的确,从“形”的角度刻画“数”,可以将本来抽象的数学概念、运算性质和数量关系形象化、简单化,让学生从已有的生活经验出发,亲身体验将实际问题抽象成数学模型的过程,引导学生充分感知,在形成表象的基础上进行联想和想象,最终达到解决数学问题、理解数学本质、形成数学思想的目的。
1.以“形”思“数”,更好地理解数的概念
许多数学概念常常比较抽象,采用数形结合的思想进行教学,运用图像创设数学“问题场”,通过对图中情境的分析,抽象出数学概念的内涵与外延,能帮助学生更好地理解数学概念。
例如,在认识1~5各数的教学中,用小动物来表示数量和序数的意义(如下图),并把数与数轴上的点建立一一对应的关系,把抽象的数的概念形象化,符合一年级学生的思维发展水平,利于学生理解,同时让学生切实体会到了生活化的数学,必然会增强学生学习数学的兴趣。
分一分,排一排。
从上述案例中可以看出,以“形”思“数”在教学抽象的数学概念时的重要性,图形往往会为学生学习新知识提供有力的支持,能辅助学生在问题情境中构建数学知识,发展数学思维。当然,学生学习的不同阶段所需要的支持是不同的,对于高年级学生,应当更多地运用推理直观。这就需要教师根据不同的教学对象和教学内容,有意识地进行选择,从而达到因材施教。
2.以“形”思“数”,更好地理解数运算的意义
“数的运算意义是比较抽象的,如果能用图形直观地描述数运算的意义,将对学生的理解产生积极的作用 。”例如,分数乘法的运算法则是分子、分母分别相乘得到的积,分别作为分子与分母。对学生来说,记住这个规则很简单,但是为什么这么算的道理不好理解。以“形”思“数”的思想可以在这里发挥作用,让学生边观察边操作,充分调动学生的感官和兴趣,从而构建新的认知体系。画图、折纸的直观操作,必然会加深学生对分数乘法运算规律的认识,使学生不仅知其然,而且知其所以然。
3.以“形”思“数”,更好地理解数量关系
新教材中“解决问题”这一板块的内容,类似于老教材中的应用题,题目比较复杂,不少学生难以理解其中的数量关系,更别说解决问题了。再加上有些教师曲解了“淡化数量关系”“联系生活实际”等新课程的理念,片面追求问题解决中的生活化,不再讲也不敢讲题中的数量关系了。这就导致许多学生一个问题解决完了,再呈现相同结构的数学问题时,还是无从下手,不能举一反三。原因何在?其实,就是因为教师没有很好地引领学生去发现题目中的数量关系,没有从思维上给予学生点拨。而要让学生清晰地找出题中的数量关系,传统的数形结合的方法必须加以借鉴。所以,我们提倡通过结合图像形状、位置及相互关系等,理清所研究问题中隐含的数量关系来解决问题。
例如,教学连除应用题时,教师出示了这样一道题:有30个桃子,有3只猴子吃了2天,平均每天每只猴子吃了几个?请学生尝试解决时,教师要求学生在长方形中表示出各种算式的意思。学生经过思考交流,呈现了精彩的答案。
想法:先平均分成6份,再表示出其中的1份。
上述案例中,教师要求学生在长方形中表达思路的方法,是在画线段图基础上的演变和创造。因为长方形是二维的,通过在二维图中的表达,学生很容易理解小猴只数、吃的天数与桃子个数之间的关系。通过“思画融通”,让思考的路径形象地外显了,易于中下水平学生理解。
(三)以“数”想“形”——在转换中建立“形”
“形少数则难入微”,通过以“数”想“形”,可以有效地帮助学生理解图形的性质。例如,在教学“不同形状的平行四边形只要等底等高,它们的面积就相等”这一性质时,教师提供一个计算平行四边形面积的算式,让学生画出可能会是怎样的平行四边形。如2×4,学生可能画出如下图形:
通过观察以上图形,学生发现“不同形状的平行四边形只要等底等高,它们的面积就相等”这一性质。也可以让学生画出底为8厘米、高为1厘米的平行四边形,让学生发现:面积相等,图形的形状可以不一样。
在数学教学中,将图形问题转化为代数问题,既突出图像的形象思维,又帮助学生获得准确的结论,是提高学生对几何图形理解能力的很好手段,使得学生的思维能力、情感态度等方面都得到发展,有效地提高了学生数中有形、形中有数的思维意识。
(四)去模型化,提升思维品质
“思画融通”、数形结合有助于学生建立数学学习与实际生活的联系,激发学生的问题意识和探究欲望,从而帮助学生自主地构建数学知识,形成数学学习的生态模式。但是,我们认为,数学学习不应该只满足于学生提出问题并解决问题,教师在帮助学生进行思情画意、“思画融通”之后,还要注意在思维、方法上进行点拨和总结,帮助学生去模式化,形成基本数学思想,真正提升数学思维的品质。例如,在讲授运用“归一”的思想方法去解决生活实际问题时,教师设计如下:“有时在生活中,对应的两个数量都告诉我们,那又该怎么办呢?现在我们一起来解决一个实际问题:饮料一杯能装下吗?”
呈现问题:小瓶饮料90克,倒进空瓶占了3格。大瓶饮料300克,倒进空瓶(8格)装得下吗?(每一格质量相等)
生1:90÷3×8=240(克),240<300,装不下。
生2:300÷(90÷3)=10(格),10>8,装不下。
生3:300÷90=3(倍)……30(克),3×3=9(格),9>8,装不下。
师:通过不同的方法得到了相同的结果,虽然方法不同,但都是先求出每格装多少。最后一种方法虽然没有求出一格是多少,但他把三格当作一份来思考了。
……
上述案例中,教师成功地引导学生把生活中的现实问题提炼成数学问题,重视对解决问题的策略研究,并没有过分地去套用模式。同时,还蕴含着不同解决方法的比较,虽然方法不同,但是都有一个共同的本质特征:正、反“归一”两种方法都可以解决问题。更可贵的是,有的学生能深化“一” 的认识,不拘泥于“一”就是一格,这是对“归一”内涵的拓展,是对“归一”问题的透彻剖析。这对学生的思维发展,解决问题能力的提高是很有益的。
本课题组在数学“问题场”的生态模式教学研究中,始终把学生的数学学习放在一个彼此联系的生态体系中考察,重视数学文化、数学问题等外部环境对学生的影响。在亦思亦画的数学教学中,我们并不只停留在让学生获得数学问题的答案上,而是通过永不止息的“问题场”的生态循环,让学生在与外界进行信息交换的“问题场”生态系统中,不断提升自己解决问题的能力、思维的能力,为终身学习和可持续发展打下坚实的基础。
(责编杜华)
生态系统理论观点认为:任何一个系统只有是开放的,与外界环境有物质、能量、信息的交流,并在动态中达到平衡,系统才具有活力,才能永葆生机;反之,系统则会逐渐衰败,变成一潭死水。同样,数学教学的生态化,“要求整个教学过程均符合生态系统的基本原则,将数学教学视为一个能够自我调节、相互协作、共同发展的生态化系统,而不是一个封闭、割裂和强调控制的机械系统”。学生的数学学习也应该具有开放性,应该源于生活,建立在经验的基础上,并通过学生与外界环境进行能量、信息交换,构建动态、开放的数学生态系统。
从生态学的视角看,数学“问题场”就是学生不断与外界环境进行能量、信息交换的动态、开放的系统。因此,从生态学的角度来指导和审视数学“问题场”的构建具有重要的理论意义与实践价值。
二、构建“思情画意”的数学“问题场”生态模式
根据数学“问题场”的生态观,我们课题组提出,数学“问题场”是由数学文化、数学问题、学生、教师以及问题解决程序这五个内部系统构成的生态模式,这五个系统相互联系、相互作用,构成了数学“问题场”的生态模式结构,形成了一个有机的整体。所谓数学文化,是指以民族或区域为主导的社会共同体在长期的与教学活动有关的生活和生产过程中所形成的特有的知识、行为、观念、态度与精神等,它体现了社会共同体所特有的数学生活和行为方式,或者说是特定的数学传统。数学文化通过其固有的成分和作用影响着数学知识的形成与发展,影响着数学问题的提出与表现。
两年来,我们课题组在新课程背景下,在“问题场”教学的实践研究中认为,要在数学教学中有效地整合数学文化,建立数形结合的“问题场”,在解决问题中“亦思亦画”,体现“思情画意”,达到“思画融通”。而在生态观中,“思情画意”中的“思”是学生在一定的数学文化氛围中,在教师的引导下,主动地思考数学问题,并构建新的数学知识;“画”是为了激发学生数学学习的兴趣,提高学生学习的主动性,发展学生的数学思维而创设的各种问题情境,具体在数学文化中体现。由此可见,“思画融通”作为数学“问题场”的一种生态模式,有助于学生的数学学习,有利于学生思维的发展,在数学教学中具有至关重要的作用。以下是我们课题组在“思情画意”理念引领下,创设的数学“问题场”的生态模式。
(一)建立“数”与“形”的结构性联系
一定意义上来说,世界万物都是由一定的“数”,按照一定的“形”和“序”所构成的各种实体。可见,“数”与“形”存在着天然联系。但是,这种天然的联系在学生的数学学习中往往并不明显,这就需要教师巧妙地创设“数”与“形”的结构性联系,引导学生去思考、去发现。如“归一”问题的教学,较好地利用了“数”与“形”之间的联系,实现了数形结合。
师:这个图形的浅色部分表示多少?
生1:缺少条件,应该告诉一份是多少。
师:非要告诉一份是多少吗?我们一起来看看到底告诉了什么已知条件。(出示黑色部分表示180)能不能求出浅色部分是多少?
(学生独立思考,教师引导用综合算式解答,即180÷3×5=60×5=300,特别强调先算哪步,表示什么)
师:如果已知的是整个图形表示480呢?
(学生列式计算:480÷8×5=60×5=300)
师:刚才是怎样求出浅色部分的?我们一起来回顾一下,为了便于比较,可以用表格把相应的数据整理在一起。观察表格以及相应的算式,发现解答这些问题有什么共同之处?
生2:都是先求出一个小三角形是多少。
师:刚才我们从图形中发现同样的规律,都是要先求出一个单位图形是多少。如果这个图形是现实生活的一件实物,那又该怎么解答呢?现在我们一起到生活中看看,迎奥运,买福娃。
学生解答:200÷4×6=50×6=300(元)
师:你是怎么想的?
生3:先求一个福娃的价格。
师:现在题目要变一变,表格中依次出现数据,要求马上算出相应的数,看谁的反应快?
[尤其是总数为100元的时候,学生由于思维定式,列式为100×50=5000(元),稍作思考,学生马上会纠正]
师:如果最后的一个空格由你来填,你打算怎么填?为什么?
生4:先填下面,下面随便填一个,再用下面的数乘以50就是上面的数了。
生5:上面的数虽然不能随便填,但只要是50的倍数就可以了,只要用上面的数除以50就是下面的数了。
师:不管先填什么,都要先求出一个福娃多少元。
……
上述案例中,学生在直观图形的引导下,形成了一定的认知冲突,引发了学生的思考。要求浅色部分是多少,但又不知道一份是多少,引导学生根据已知的总数和份数求出每份数,再根据每份数和份数,求出相应的总数。虽然先后两次呈现不同的条件,但每一次都必须先求出每个三角形是多少,突出“归一”的重要。然后,在直观图形做铺垫的基础上,进一步用直观实物来呈现问题,为以后学习文字问题做准备,实现了图形模型和生活问题的联结,产生了类推。同时,这又是一个变式的对比练习,既是强化同类型(正“归一”)的问题解决方法,又穿插反“归一”的问题,着力提高学生思维的灵活性、敏捷性和概括性,因为无论是正“归一”还是反“归一”,最终是为了突出“归一”的本质特点。
(二)以“形”思“数”——在直观中理解“数”
华罗庚先生说过:“数缺形少直观。”的确,从“形”的角度刻画“数”,可以将本来抽象的数学概念、运算性质和数量关系形象化、简单化,让学生从已有的生活经验出发,亲身体验将实际问题抽象成数学模型的过程,引导学生充分感知,在形成表象的基础上进行联想和想象,最终达到解决数学问题、理解数学本质、形成数学思想的目的。
1.以“形”思“数”,更好地理解数的概念
许多数学概念常常比较抽象,采用数形结合的思想进行教学,运用图像创设数学“问题场”,通过对图中情境的分析,抽象出数学概念的内涵与外延,能帮助学生更好地理解数学概念。
例如,在认识1~5各数的教学中,用小动物来表示数量和序数的意义(如下图),并把数与数轴上的点建立一一对应的关系,把抽象的数的概念形象化,符合一年级学生的思维发展水平,利于学生理解,同时让学生切实体会到了生活化的数学,必然会增强学生学习数学的兴趣。
分一分,排一排。
从上述案例中可以看出,以“形”思“数”在教学抽象的数学概念时的重要性,图形往往会为学生学习新知识提供有力的支持,能辅助学生在问题情境中构建数学知识,发展数学思维。当然,学生学习的不同阶段所需要的支持是不同的,对于高年级学生,应当更多地运用推理直观。这就需要教师根据不同的教学对象和教学内容,有意识地进行选择,从而达到因材施教。
2.以“形”思“数”,更好地理解数运算的意义
“数的运算意义是比较抽象的,如果能用图形直观地描述数运算的意义,将对学生的理解产生积极的作用 。”例如,分数乘法的运算法则是分子、分母分别相乘得到的积,分别作为分子与分母。对学生来说,记住这个规则很简单,但是为什么这么算的道理不好理解。以“形”思“数”的思想可以在这里发挥作用,让学生边观察边操作,充分调动学生的感官和兴趣,从而构建新的认知体系。画图、折纸的直观操作,必然会加深学生对分数乘法运算规律的认识,使学生不仅知其然,而且知其所以然。
3.以“形”思“数”,更好地理解数量关系
新教材中“解决问题”这一板块的内容,类似于老教材中的应用题,题目比较复杂,不少学生难以理解其中的数量关系,更别说解决问题了。再加上有些教师曲解了“淡化数量关系”“联系生活实际”等新课程的理念,片面追求问题解决中的生活化,不再讲也不敢讲题中的数量关系了。这就导致许多学生一个问题解决完了,再呈现相同结构的数学问题时,还是无从下手,不能举一反三。原因何在?其实,就是因为教师没有很好地引领学生去发现题目中的数量关系,没有从思维上给予学生点拨。而要让学生清晰地找出题中的数量关系,传统的数形结合的方法必须加以借鉴。所以,我们提倡通过结合图像形状、位置及相互关系等,理清所研究问题中隐含的数量关系来解决问题。
例如,教学连除应用题时,教师出示了这样一道题:有30个桃子,有3只猴子吃了2天,平均每天每只猴子吃了几个?请学生尝试解决时,教师要求学生在长方形中表示出各种算式的意思。学生经过思考交流,呈现了精彩的答案。
想法:先平均分成6份,再表示出其中的1份。
上述案例中,教师要求学生在长方形中表达思路的方法,是在画线段图基础上的演变和创造。因为长方形是二维的,通过在二维图中的表达,学生很容易理解小猴只数、吃的天数与桃子个数之间的关系。通过“思画融通”,让思考的路径形象地外显了,易于中下水平学生理解。
(三)以“数”想“形”——在转换中建立“形”
“形少数则难入微”,通过以“数”想“形”,可以有效地帮助学生理解图形的性质。例如,在教学“不同形状的平行四边形只要等底等高,它们的面积就相等”这一性质时,教师提供一个计算平行四边形面积的算式,让学生画出可能会是怎样的平行四边形。如2×4,学生可能画出如下图形:
通过观察以上图形,学生发现“不同形状的平行四边形只要等底等高,它们的面积就相等”这一性质。也可以让学生画出底为8厘米、高为1厘米的平行四边形,让学生发现:面积相等,图形的形状可以不一样。
在数学教学中,将图形问题转化为代数问题,既突出图像的形象思维,又帮助学生获得准确的结论,是提高学生对几何图形理解能力的很好手段,使得学生的思维能力、情感态度等方面都得到发展,有效地提高了学生数中有形、形中有数的思维意识。
(四)去模型化,提升思维品质
“思画融通”、数形结合有助于学生建立数学学习与实际生活的联系,激发学生的问题意识和探究欲望,从而帮助学生自主地构建数学知识,形成数学学习的生态模式。但是,我们认为,数学学习不应该只满足于学生提出问题并解决问题,教师在帮助学生进行思情画意、“思画融通”之后,还要注意在思维、方法上进行点拨和总结,帮助学生去模式化,形成基本数学思想,真正提升数学思维的品质。例如,在讲授运用“归一”的思想方法去解决生活实际问题时,教师设计如下:“有时在生活中,对应的两个数量都告诉我们,那又该怎么办呢?现在我们一起来解决一个实际问题:饮料一杯能装下吗?”
呈现问题:小瓶饮料90克,倒进空瓶占了3格。大瓶饮料300克,倒进空瓶(8格)装得下吗?(每一格质量相等)
生1:90÷3×8=240(克),240<300,装不下。
生2:300÷(90÷3)=10(格),10>8,装不下。
生3:300÷90=3(倍)……30(克),3×3=9(格),9>8,装不下。
师:通过不同的方法得到了相同的结果,虽然方法不同,但都是先求出每格装多少。最后一种方法虽然没有求出一格是多少,但他把三格当作一份来思考了。
……
上述案例中,教师成功地引导学生把生活中的现实问题提炼成数学问题,重视对解决问题的策略研究,并没有过分地去套用模式。同时,还蕴含着不同解决方法的比较,虽然方法不同,但是都有一个共同的本质特征:正、反“归一”两种方法都可以解决问题。更可贵的是,有的学生能深化“一” 的认识,不拘泥于“一”就是一格,这是对“归一”内涵的拓展,是对“归一”问题的透彻剖析。这对学生的思维发展,解决问题能力的提高是很有益的。
本课题组在数学“问题场”的生态模式教学研究中,始终把学生的数学学习放在一个彼此联系的生态体系中考察,重视数学文化、数学问题等外部环境对学生的影响。在亦思亦画的数学教学中,我们并不只停留在让学生获得数学问题的答案上,而是通过永不止息的“问题场”的生态循环,让学生在与外界进行信息交换的“问题场”生态系统中,不断提升自己解决问题的能力、思维的能力,为终身学习和可持续发展打下坚实的基础。
(责编杜华)