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摘 要：如何化抽象为具体，变复杂为简明，将严谨的数学语言通俗化，几何直观教学法应该是解决该问题的有效途径。基于作者在《数学分析》课程的教学实践，谈谈自己的一些想法和体会。
关键词：几何直观；数学分析；数学实践
中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2017）06-0082-02
Abstract： How to convert the abstract into the concrete？ How to change the complex into the simple？ And how to popularize rigorous mathematical words？ Geometry intuition teaching method could be an effective way to solve these problems. Based on author's teaching practice in the course of mathematical analysis， ideas and experience are presented in this thesis.
Keywords： Geometry intuition； mathematical analysis； mathematical practice
《數学分析》课程是数学专业的学生进入大学阶段最先面对的一门专业基础课程，它直接影响着后续课程的学习。该课程的抽象性、表述的严谨性对初入大学的部分新生来说，既新鲜又显得措手不及。他们往往会觉得数学枯燥乏味，晦涩难懂。在教学过程中，如何化抽象为具体，变复杂为简明，将严谨的数学语言通俗化，几何直观教学法是解决该问题的有效途径。基于作者在《数学分析》课程的教学实践，本文对这一问题谈谈自己的一些想法和体会。
一、借助几何图形，活化和巩固概念理解
掌握数学概念是学习好数学的前提。在《数学分析》课程中，数学概念由数学符号构成的严谨的数学语言来描述，抽象性是这些概念的突出特点。借助形象直观的图形帮助学生来理解抽象的数学概念，可以大大降低数学概念的学习难度，调动学生学习的积极性和自主性。数形结合有效搭建学生几何思维和概念理解之间的桥梁。几何直观教学法要求教师在概念的讲解过程中，充分发挥自己的类比联想，灵活空间思维方式。
例如，在讲解一致连续的概念时，我们可以和几何图形联系起来。对于任意给定的正数？着>0，我们可以想象用一个长为？着宽小于？啄的矩形去覆盖函数的曲线。如果曲线不会与矩形的宽边相交，则曲线在所在的区间上是一致连续的（如图1中浅灰色矩形）；如果曲线与矩形的宽边相交，则曲线是非一致连续的（如图1中深灰色矩形）。
二、借助几何直观，深化定理理解
几何图形能够迅速地给学生留下深刻的印象。结合几何图形（包括示意图）来形式地描述定理的来源与动机，直观上验证定理的正确性，能够引导学生发现隐藏在定理中深层次的内容。学生在体验数学思维的过程中，数学素养能够得到迅速地提高，进而会激发数学方面的创新。在教学的过程中，对于一些重要的数学定理，教师应尽可能的给出几何（或者相关专业应用方面）上的解释，借助几何直观，深刻理解定理的含义，找出定理证明的思路。
例如，在讲解微分中值定理时，借助参数坐标下函数曲线方程，我们只需一张图就能对微分中值定理的三种形式做出几何上的解释，也会给学生留下深刻的印象，如图2所示。
三、借助图像表征，强化公式记忆
学数学，需要常思考，不断深入地去理解和体会基本的概念、定理与法則。但是，很多情况下是需要记住一些基本的方法与技巧。对于初学者来说，在不是非常熟练的情况下需要在短时间内记住一些公式、法则也是不容易的。如果教师在教学过程中，能够借助图像表征，数形结合，将起到事半功倍的效果。例如，在讲复合函数的链式求导法则时，我们可以借助示意图理清函数变量之间的关系，强化公式记忆，给学生留下深刻的印象，如图3所示。
图3 复合函数链式求导法则
四、借助数学软件作图，深化习题解答
在习题课的教学过程中，我们要善于引导学生发现问题，培养学生多角度思考问题的习惯。对于一些重要的知识点，必须举一反三，给学生留下深刻的印象。对于经典的习题，我们尽量和几何图形联系起来，这样一方面可以巩固知识点，另一方面可以提高学生的学习兴趣。在作图的时候，我们往往需要利用常用的数学软件，如Mathematica、Maple、Matlab等。例如，在讲周期函数的Fourier级数展开的时候，我们可以恰当地选取一个例题，利用作图软件模拟级数求和逼近，如图4所示。
图4 周期函数Fourier级数的展开
五、结束语
几何直观教学法在课堂教学的过程中将会带来新的活力，激发学生浓厚的学习兴趣，提高学生的学习效率和数学素养。同时，也要求教师熟练掌握计算机软件（包括作图工具）与多媒体技术的使用，几何直观教学法将会越来越受到教师和学生的喜爱。文中我们仅给出了几个实例，课程中几乎所有的地方都可以得到案例，需要我们不断去探索。
参考文献
[1]袁玉波，曹飞龙.基于几何直观的微积分教学内容改革探索[J].大学数学，2010：102-104.
[2]吴增生，刘燕，刘智昊.几何直观及其在数学教学中的合理应用[J].中国数学教育，2016，11：41-45.
[3]李长青.高等数学教学中应重视几何直观的作用[J].高等数学研究，2007，02：25-27.
[4]贾长虹，范志勇，叶留青.数学分析中的几何直观方法[J].焦作师范高等专科学校学报，2006，01：47-49.
[5]范秋君.浅谈数学分析教学中的几何直观[J].数学通报，1996，03：30-34.
[6]林寿.数学分析中的几何直观[J].宁德师专学报（自然科学版），1998，03：31-33.
关键词：几何直观；数学分析；数学实践
中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2017）06-0082-02
Abstract： How to convert the abstract into the concrete？ How to change the complex into the simple？ And how to popularize rigorous mathematical words？ Geometry intuition teaching method could be an effective way to solve these problems. Based on author's teaching practice in the course of mathematical analysis， ideas and experience are presented in this thesis.
Keywords： Geometry intuition； mathematical analysis； mathematical practice
《數学分析》课程是数学专业的学生进入大学阶段最先面对的一门专业基础课程，它直接影响着后续课程的学习。该课程的抽象性、表述的严谨性对初入大学的部分新生来说，既新鲜又显得措手不及。他们往往会觉得数学枯燥乏味，晦涩难懂。在教学过程中，如何化抽象为具体，变复杂为简明，将严谨的数学语言通俗化，几何直观教学法是解决该问题的有效途径。基于作者在《数学分析》课程的教学实践，本文对这一问题谈谈自己的一些想法和体会。
一、借助几何图形，活化和巩固概念理解
掌握数学概念是学习好数学的前提。在《数学分析》课程中，数学概念由数学符号构成的严谨的数学语言来描述，抽象性是这些概念的突出特点。借助形象直观的图形帮助学生来理解抽象的数学概念，可以大大降低数学概念的学习难度，调动学生学习的积极性和自主性。数形结合有效搭建学生几何思维和概念理解之间的桥梁。几何直观教学法要求教师在概念的讲解过程中，充分发挥自己的类比联想，灵活空间思维方式。
例如，在讲解一致连续的概念时，我们可以和几何图形联系起来。对于任意给定的正数？着>0，我们可以想象用一个长为？着宽小于？啄的矩形去覆盖函数的曲线。如果曲线不会与矩形的宽边相交，则曲线在所在的区间上是一致连续的（如图1中浅灰色矩形）；如果曲线与矩形的宽边相交，则曲线是非一致连续的（如图1中深灰色矩形）。
二、借助几何直观，深化定理理解
几何图形能够迅速地给学生留下深刻的印象。结合几何图形（包括示意图）来形式地描述定理的来源与动机，直观上验证定理的正确性，能够引导学生发现隐藏在定理中深层次的内容。学生在体验数学思维的过程中，数学素养能够得到迅速地提高，进而会激发数学方面的创新。在教学的过程中，对于一些重要的数学定理，教师应尽可能的给出几何（或者相关专业应用方面）上的解释，借助几何直观，深刻理解定理的含义，找出定理证明的思路。
例如，在讲解微分中值定理时，借助参数坐标下函数曲线方程，我们只需一张图就能对微分中值定理的三种形式做出几何上的解释，也会给学生留下深刻的印象，如图2所示。
三、借助图像表征，强化公式记忆
学数学，需要常思考，不断深入地去理解和体会基本的概念、定理与法則。但是，很多情况下是需要记住一些基本的方法与技巧。对于初学者来说，在不是非常熟练的情况下需要在短时间内记住一些公式、法则也是不容易的。如果教师在教学过程中，能够借助图像表征，数形结合，将起到事半功倍的效果。例如，在讲复合函数的链式求导法则时，我们可以借助示意图理清函数变量之间的关系，强化公式记忆，给学生留下深刻的印象，如图3所示。
图3 复合函数链式求导法则
四、借助数学软件作图，深化习题解答
在习题课的教学过程中，我们要善于引导学生发现问题，培养学生多角度思考问题的习惯。对于一些重要的知识点，必须举一反三，给学生留下深刻的印象。对于经典的习题，我们尽量和几何图形联系起来，这样一方面可以巩固知识点，另一方面可以提高学生的学习兴趣。在作图的时候，我们往往需要利用常用的数学软件，如Mathematica、Maple、Matlab等。例如，在讲周期函数的Fourier级数展开的时候，我们可以恰当地选取一个例题，利用作图软件模拟级数求和逼近，如图4所示。
图4 周期函数Fourier级数的展开
五、结束语
几何直观教学法在课堂教学的过程中将会带来新的活力，激发学生浓厚的学习兴趣，提高学生的学习效率和数学素养。同时，也要求教师熟练掌握计算机软件（包括作图工具）与多媒体技术的使用，几何直观教学法将会越来越受到教师和学生的喜爱。文中我们仅给出了几个实例，课程中几乎所有的地方都可以得到案例，需要我们不断去探索。
参考文献
[1]袁玉波，曹飞龙.基于几何直观的微积分教学内容改革探索[J].大学数学，2010：102-104.
[2]吴增生，刘燕，刘智昊.几何直观及其在数学教学中的合理应用[J].中国数学教育，2016，11：41-45.
[3]李长青.高等数学教学中应重视几何直观的作用[J].高等数学研究，2007，02：25-27.
[4]贾长虹，范志勇，叶留青.数学分析中的几何直观方法[J].焦作师范高等专科学校学报，2006，01：47-49.
[5]范秋君.浅谈数学分析教学中的几何直观[J].数学通报，1996，03：30-34.
[6]林寿.数学分析中的几何直观[J].宁德师专学报（自然科学版），1998，03：31-33.