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【摘要】本文论述数形结合思想在小学数学教学中的渗透，通过罗列一些数形结合的课例，证实数形结合思想能够为学生构建出一个具体、直观、形象的学习情境，让学生更好地掌握数学概念、建立数学模型、学习数学计算，为学生综合素质的提高打下坚实基础。
【关键词】小学数学 数形结合 数学思想
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2019）08A-0135-03
数学是一门研究空间形式和数量关系的学科，数形结合思想能够将数量关系与空间图形相对应，借助直观生动的“形”来阐述数量之间的关系，或者利用“数”所具有的严谨性和精确性阐明“形”的属性，将抽象问题具体化，将复杂问题简单化。由于小学阶段的学生理解抽象知识的能力有限，利用数形结合的方式，能够帮助学生更好地理解小学数学知识点，并有效提高学生解决数学问题的能力。因此，教师应有意识地将数形结合思想渗透在日常教学之中，帮助学生形成数学思维，提高个人综合素质。
一、以形解数，利用图形学习数学概念
数学概念是小学数学的主要内容之一，是有效学习数学定理和数学公式的基础知识，在教学中占据着极为重要的位置。然而数学概念对于小学生而言较为抽象，为了帮助学生更好地理解数学概念，教师应该充分利用数形结合思想，将抽象的数学概念具象化、趣味化。
例如，笔者在教学倍数这一数学概念时，利用数形结合思想，采取直观图例的方式，帮助学生初步建立倍的概念。
教学目标：在完成对数的认知后，理解一个数是另一个数几倍的含义，初步建立倍的概念，并使学生初步体会数学概念与日常生活之间的联系，培养学生的观察能力、表达能力和实践操作能力。
教学过程：
师：请同学们用数学的眼光来观察一下，每种花都有几朵呢？（向学生展示课件：无规律摆放红、黄、蓝三种花朵图片）
師：如果我们把这三种颜色的花各自归类排起来，是不是就比较容易数了呢？（再次展示课件：将红黄蓝三种花以颜色排列的图片）
学生报告每种颜色花朵的数量。
师：非常好！大家刚才都是一朵一朵地数，请问还可以用什么方法数？（向学生展示新的课件，如图1）
生：红花有2朵，黄花有6朵。
师：回答正确！假如我们说红花有1个2朵，那么黄花有几个2朵？
生：黄花有3个2朵。
师：非常正确！此时如果我们把2朵红花看成1份，那么黄花就有3份2朵，所以我们说，黄花的朵数是红花的3倍。
师：我们接着来看下一幅图。（展示新课件，如图2）
师：继续把2朵红花看成1份，请问黄花有几份2朵？黄花的朵数是红花的几倍？
生：黄花有5份2朵，黄花的朵数是红花的5倍。
笔者肯定了学生的答案后，再次展示新课件。（如图3）
师：如果红花的数量变成了3朵，现在黄花的朵数是9朵，请问黄花的朵数是红花的几倍？
经过之前两次练习，学生已经初步理解了倍数的概念，很快作出了正确的回答。
生：黄花的朵数是红花的3倍！
师：非常正确！请大家思考一下，为什么红花、黄花的朵数与图1不同，但黄花都是红花的3倍呢？
生：虽然红花的朵数不一样，但如果将3朵红花看作1份，那么黄花的份数就是3份，所以还是3倍。
点评：在理解了倍数的概念之后，通过相似的题目进行比较练习，并利用图形辅助学生观察思考，帮助学生巩固概念，加深理解，能够达到举一反三的作用，而非机械记忆。
完成上述练习后，笔者给学生布置了一道思考题目。（如图4）
师：请同学们设想红花的朵数，然后回答黄花的朵数是红花的几倍，并且告诉老师，为什么黄花朵数是12朵，但和红花对应的倍数却不一样呢？
学生掌握了倍数概念，非常顺利地回答了这个问题。
师（小结）：虽然黄花都是12朵，但由于红花的朵数不同，所以倍数就各有不同。
课堂总结：利用数形结合思想，使用色彩鲜明、形象直观的图片来表现抽象概念，激发学生的兴趣，引导学生亲自动手数数，明确数量这一概念，再通过取某个数量为1个单位的形式构建模型，帮助学生理解一个数是另一个数几倍的含义，建立起倍的概念，并初步培养模型思想。
二、寓数于形，利用直观图形建立数学模型
利用寓数于形的方式，能够充分发挥直观图形在构建数学模型的支持作用，帮助学生通过具体化的图形、亲身体验将具体的数学问题抽象构建成通用的数学模型的过程，为理解掌握数学知识打下坚实的基础。因此，在小学数学教学中，教师应该充分利用学生已经具备的日常生活经验，为学生创造一个熟悉的学习情境，帮助学生迅速代入其中。
例如，笔者教学“四舍五入”这一内容时，利用一幅“数字拜访”图（如图5），以具体的情境帮助学生理解这一数学知识点。
笔者指着图5向学生询问：11到19这九个数字，要去10或者20这两个数字的家，如果选择最近的路，它们会去谁家呢？
学生表示，11一定会去10的家，因为它们两个数字之间距离最近。以此类推，12、13、14都距离10更近，应该会去10的家;而16、17、18、19则距离20更近，因此它们会去20的家。
笔者肯定了学生的看法，并总结：去谁的家，就表示近似于谁，我们可以说11的近似值是10，写作“11≈10”，同样12、13、14都可以记为约等于10。
学生此时提出：15距离10和20两家的距离是一样的，应该两个家都能去。
笔者对此表示赞许，并告诉学生：为了避免这种两难的局面，我们硬性规定15应该去20的家，记为“15≈20”。
随后，笔者为学生总结其中的规律：凡尾数是1、2、3、4的数字，都会舍掉，而结尾是5～9的数字，则向前进1，这种方法叫做“四舍五入”，用来求一个数的近似值。 有了前面的图示，学生顺利理解了这一概念。为了巩固学生对四舍五入学习内容的印象，笔者再次展示一个图例。（如图6）
笔者指着图中的728向学生提问：这个数字更接近哪个整数？
学生有了之前四舍五入的知识基础，推测出两个答案：1.由于728的个位数是8，大于5，因此距离730更近，应该向前进1，所以728≈730;2.由于728的十位数是2，距离700更近，应当舍去，所以728≈700。
笔者再次询问：这道题我们获得了两个答案，二者之间是不是有矛盾呢？
学生经过思考后认为，二者并不矛盾，因为728≈730是四舍五入到十位，而728≈700是四舍五入到百位。
在這一课例中，笔者利用“最近的路”这种具体图形，营造了一个形象的教学情境，自然而然地生成“四舍五入”的使用原理，帮助学生构建起一个触类旁通的数学模式，使其能通过对一个数的判断推理出不同精确度的近似值。可见，寓数于形，可以解决某些教学难点。
三、数形结合，利用解题思路学习数学计算
数学计算始终贯穿于数学教学的各个章节，学生需要反复进行数学题目的解答练习，从中领悟数学思想，掌握数学方法，因此，提高学生的数学计算能力是重要的教学目标之一。利用数形结合思想能够将抽象的算式具象化，使解题思考过程具有可视性，帮助学生寻找解题思路，灵活选择计算原理，从而更好地完成数学计算。
（一）利用直观图形寻找解题思路
利用图形直观性这一特点，能够帮助学生有效地寻找解题的切入点，激发解题思路。例如，笔者曾经给出一道计算题目：3点15分时，分针和时针之间呈多少度角？
在这道题目中，先运用以形解数的方式，展示一个时钟示意图（如图7），将题目与其特征对应起来。通过观察钟表可知，表盘作为一个正圆，它的一周为360°，而分针60分钟走完一圈，因此分针1分钟转动6°。3点15分时，分针的角度与12点的角度是15×6°=90°，正好指向表盘3的位置。再通过观察发现，此时的时针位于3和4之间，因此，只需要计算出时针此时相对于3的位置发生了多大角度的转动即可，至此，解题思路已经明确：计算从时针指向3，即3点整到3点15分，时针转过了多少角度。我们知道，表盘被划分为12个小时，所以时针每小时走30°，因此每分钟时针转动30°/60=0.5°，那么从3点整至3点15分钟时这15分钟里，时针转动了0.5°×15=7.5°，完整的算式就是：
15×30°/60=7.5°
最终答案是：当3点15分时，分针和时针之间呈7.5度角。
在上述课例中，通过引入时钟这一直观形象，有效地化解了原本题目抽象这一难点。同时，时钟是学生在日常生活中常见的物品，因此在这样的教学情境中，学生能够非常轻松地获得直观体验和进行模型识别，在明确解题思路之后进行数学计算，便能迅速算出准确答案。
（二）通过图形分析数据
对于一些比较抽象的题目，小学生在解题时往往连解题所必须的数据都无从获取，因此很难找到解题突破点。数形结合思想利用图形的直观性，将抽象数据转化为具体形象呈现给学生，帮助学生快速从中提取解题所需的数据信息。
例如，一条全长100cm的线段，从左向右每6cm标记一个点，同时从右向左每隔5cm标记一个点，然后从标记点处截取线段，请问能够获得多少段4cm的线段？
在这一题目中，如果采用代数方法解决，因为较为抽象，学生往往无从下手，此时利用图形的形式，将[5，6]=30最小公倍数的线段图形绘制出来，题目便能一目了然，问题也被简化了。（如图8）
学生通过观察这一图形发现，从左向右和从右向左截取的点在30cm的位置发生了重合，其中包含了2个4cm的线段，100cm的线段中包含3个30cm，剩余的10cm中只可能截取1个4cm。通过这些数据，学生可以非常顺利地得出答案：共计7段。完整算式如下：
2×[（100-10）÷30]+1=7
在小学数学教学中渗透寓数于形、以形解数的数形结合思想，能够为学生构建一个具体、直观、形象的学习情境，有效地激发学生的学习积极性，发挥学生学习主体的作用，帮助学生更好地掌握数学知识，提高自身综合素养。
作者简介：
黄春媚（1978— ），女，壮族，广西南宁人，一级教师，大学本科学历，研究方向：数学教育教学。
周日新（1978— ），男，壮族，广西南宁人，一级教师，大学本科学历，研究方向：数学教育教学。
（责编 黄健清）
【关键词】小学数学 数形结合 数学思想
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2019）08A-0135-03
数学是一门研究空间形式和数量关系的学科，数形结合思想能够将数量关系与空间图形相对应，借助直观生动的“形”来阐述数量之间的关系，或者利用“数”所具有的严谨性和精确性阐明“形”的属性，将抽象问题具体化，将复杂问题简单化。由于小学阶段的学生理解抽象知识的能力有限，利用数形结合的方式，能够帮助学生更好地理解小学数学知识点，并有效提高学生解决数学问题的能力。因此，教师应有意识地将数形结合思想渗透在日常教学之中，帮助学生形成数学思维，提高个人综合素质。
一、以形解数，利用图形学习数学概念
数学概念是小学数学的主要内容之一，是有效学习数学定理和数学公式的基础知识，在教学中占据着极为重要的位置。然而数学概念对于小学生而言较为抽象，为了帮助学生更好地理解数学概念，教师应该充分利用数形结合思想，将抽象的数学概念具象化、趣味化。
例如，笔者在教学倍数这一数学概念时，利用数形结合思想，采取直观图例的方式，帮助学生初步建立倍的概念。
教学目标：在完成对数的认知后，理解一个数是另一个数几倍的含义，初步建立倍的概念，并使学生初步体会数学概念与日常生活之间的联系，培养学生的观察能力、表达能力和实践操作能力。
教学过程：
师：请同学们用数学的眼光来观察一下，每种花都有几朵呢？（向学生展示课件：无规律摆放红、黄、蓝三种花朵图片）
師：如果我们把这三种颜色的花各自归类排起来，是不是就比较容易数了呢？（再次展示课件：将红黄蓝三种花以颜色排列的图片）
学生报告每种颜色花朵的数量。
师：非常好！大家刚才都是一朵一朵地数，请问还可以用什么方法数？（向学生展示新的课件，如图1）
生：红花有2朵，黄花有6朵。
师：回答正确！假如我们说红花有1个2朵，那么黄花有几个2朵？
生：黄花有3个2朵。
师：非常正确！此时如果我们把2朵红花看成1份，那么黄花就有3份2朵，所以我们说，黄花的朵数是红花的3倍。
师：我们接着来看下一幅图。（展示新课件，如图2）
师：继续把2朵红花看成1份，请问黄花有几份2朵？黄花的朵数是红花的几倍？
生：黄花有5份2朵，黄花的朵数是红花的5倍。
笔者肯定了学生的答案后，再次展示新课件。（如图3）
师：如果红花的数量变成了3朵，现在黄花的朵数是9朵，请问黄花的朵数是红花的几倍？
经过之前两次练习，学生已经初步理解了倍数的概念，很快作出了正确的回答。
生：黄花的朵数是红花的3倍！
师：非常正确！请大家思考一下，为什么红花、黄花的朵数与图1不同，但黄花都是红花的3倍呢？
生：虽然红花的朵数不一样，但如果将3朵红花看作1份，那么黄花的份数就是3份，所以还是3倍。
点评：在理解了倍数的概念之后，通过相似的题目进行比较练习，并利用图形辅助学生观察思考，帮助学生巩固概念，加深理解，能够达到举一反三的作用，而非机械记忆。
完成上述练习后，笔者给学生布置了一道思考题目。（如图4）
师：请同学们设想红花的朵数，然后回答黄花的朵数是红花的几倍，并且告诉老师，为什么黄花朵数是12朵，但和红花对应的倍数却不一样呢？
学生掌握了倍数概念，非常顺利地回答了这个问题。
师（小结）：虽然黄花都是12朵，但由于红花的朵数不同，所以倍数就各有不同。
课堂总结：利用数形结合思想，使用色彩鲜明、形象直观的图片来表现抽象概念，激发学生的兴趣，引导学生亲自动手数数，明确数量这一概念，再通过取某个数量为1个单位的形式构建模型，帮助学生理解一个数是另一个数几倍的含义，建立起倍的概念，并初步培养模型思想。
二、寓数于形，利用直观图形建立数学模型
利用寓数于形的方式，能够充分发挥直观图形在构建数学模型的支持作用，帮助学生通过具体化的图形、亲身体验将具体的数学问题抽象构建成通用的数学模型的过程，为理解掌握数学知识打下坚实的基础。因此，在小学数学教学中，教师应该充分利用学生已经具备的日常生活经验，为学生创造一个熟悉的学习情境，帮助学生迅速代入其中。
例如，笔者教学“四舍五入”这一内容时，利用一幅“数字拜访”图（如图5），以具体的情境帮助学生理解这一数学知识点。
笔者指着图5向学生询问：11到19这九个数字，要去10或者20这两个数字的家，如果选择最近的路，它们会去谁家呢？
学生表示，11一定会去10的家，因为它们两个数字之间距离最近。以此类推，12、13、14都距离10更近，应该会去10的家;而16、17、18、19则距离20更近，因此它们会去20的家。
笔者肯定了学生的看法，并总结：去谁的家，就表示近似于谁，我们可以说11的近似值是10，写作“11≈10”，同样12、13、14都可以记为约等于10。
学生此时提出：15距离10和20两家的距离是一样的，应该两个家都能去。
笔者对此表示赞许，并告诉学生：为了避免这种两难的局面，我们硬性规定15应该去20的家，记为“15≈20”。
随后，笔者为学生总结其中的规律：凡尾数是1、2、3、4的数字，都会舍掉，而结尾是5～9的数字，则向前进1，这种方法叫做“四舍五入”，用来求一个数的近似值。 有了前面的图示，学生顺利理解了这一概念。为了巩固学生对四舍五入学习内容的印象，笔者再次展示一个图例。（如图6）
笔者指着图中的728向学生提问：这个数字更接近哪个整数？
学生有了之前四舍五入的知识基础，推测出两个答案：1.由于728的个位数是8，大于5，因此距离730更近，应该向前进1，所以728≈730;2.由于728的十位数是2，距离700更近，应当舍去，所以728≈700。
笔者再次询问：这道题我们获得了两个答案，二者之间是不是有矛盾呢？
学生经过思考后认为，二者并不矛盾，因为728≈730是四舍五入到十位，而728≈700是四舍五入到百位。
在這一课例中，笔者利用“最近的路”这种具体图形，营造了一个形象的教学情境，自然而然地生成“四舍五入”的使用原理，帮助学生构建起一个触类旁通的数学模式，使其能通过对一个数的判断推理出不同精确度的近似值。可见，寓数于形，可以解决某些教学难点。
三、数形结合，利用解题思路学习数学计算
数学计算始终贯穿于数学教学的各个章节，学生需要反复进行数学题目的解答练习，从中领悟数学思想，掌握数学方法，因此，提高学生的数学计算能力是重要的教学目标之一。利用数形结合思想能够将抽象的算式具象化，使解题思考过程具有可视性，帮助学生寻找解题思路，灵活选择计算原理，从而更好地完成数学计算。
（一）利用直观图形寻找解题思路
利用图形直观性这一特点，能够帮助学生有效地寻找解题的切入点，激发解题思路。例如，笔者曾经给出一道计算题目：3点15分时，分针和时针之间呈多少度角？
在这道题目中，先运用以形解数的方式，展示一个时钟示意图（如图7），将题目与其特征对应起来。通过观察钟表可知，表盘作为一个正圆，它的一周为360°，而分针60分钟走完一圈，因此分针1分钟转动6°。3点15分时，分针的角度与12点的角度是15×6°=90°，正好指向表盘3的位置。再通过观察发现，此时的时针位于3和4之间，因此，只需要计算出时针此时相对于3的位置发生了多大角度的转动即可，至此，解题思路已经明确：计算从时针指向3，即3点整到3点15分，时针转过了多少角度。我们知道，表盘被划分为12个小时，所以时针每小时走30°，因此每分钟时针转动30°/60=0.5°，那么从3点整至3点15分钟时这15分钟里，时针转动了0.5°×15=7.5°，完整的算式就是：
15×30°/60=7.5°
最终答案是：当3点15分时，分针和时针之间呈7.5度角。
在上述课例中，通过引入时钟这一直观形象，有效地化解了原本题目抽象这一难点。同时，时钟是学生在日常生活中常见的物品，因此在这样的教学情境中，学生能够非常轻松地获得直观体验和进行模型识别，在明确解题思路之后进行数学计算，便能迅速算出准确答案。
（二）通过图形分析数据
对于一些比较抽象的题目，小学生在解题时往往连解题所必须的数据都无从获取，因此很难找到解题突破点。数形结合思想利用图形的直观性，将抽象数据转化为具体形象呈现给学生，帮助学生快速从中提取解题所需的数据信息。
例如，一条全长100cm的线段，从左向右每6cm标记一个点，同时从右向左每隔5cm标记一个点，然后从标记点处截取线段，请问能够获得多少段4cm的线段？
在这一题目中，如果采用代数方法解决，因为较为抽象，学生往往无从下手，此时利用图形的形式，将[5，6]=30最小公倍数的线段图形绘制出来，题目便能一目了然，问题也被简化了。（如图8）
学生通过观察这一图形发现，从左向右和从右向左截取的点在30cm的位置发生了重合，其中包含了2个4cm的线段，100cm的线段中包含3个30cm，剩余的10cm中只可能截取1个4cm。通过这些数据，学生可以非常顺利地得出答案：共计7段。完整算式如下：
2×[（100-10）÷30]+1=7
在小学数学教学中渗透寓数于形、以形解数的数形结合思想，能够为学生构建一个具体、直观、形象的学习情境，有效地激发学生的学习积极性，发挥学生学习主体的作用，帮助学生更好地掌握数学知识，提高自身综合素养。
作者简介：
黄春媚（1978— ），女，壮族，广西南宁人，一级教师，大学本科学历，研究方向：数学教育教学。
周日新（1978— ），男，壮族，广西南宁人，一级教师，大学本科学历，研究方向：数学教育教学。
（责编 黄健清）