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【摘 要】“恒成立”问题与“存在成立”问题是不等式中常见的题型，各种考试中屡见不鲜。本文通过对比，提出解决此二类问题的方法，使学生有效地应对，避免应试时混淆而造成无谓失分。
【关键词】“恒成立”问题 “存在成立”问题
不等式是中学数学的基础知识和重要部分，一直是各类考试考查的热点与重点。不等式“恒成立”问题与“存在成立”问题，又是不等式中常见的题型，在各地的自主招生、高考、模拟考试中屡见不鲜。此二类问题对学生掌握基本数学思想与方法提出了较高的要求。学生对此二类问题往往感到容易混淆，且难以下手。
一、不等式恒成立问题
例1.（2010年清华大学等五校联考）已知f （x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）单调递增，f（-1）＝0，设?渍（x）=sin2x+mcosx-2m，集合M={m x∈［0，］，?渍（x）＜０｝，Ｎ＝｛m x∈［0，］，f（?渍（x））＜０｝，求Ｍ Ｉ Ｎ
［分析］由题意，得f（x）＜0等价于x＜-1或0＜x＜1，于是f（?渍（x））＜０等价于?渍（x）＜-1或0＜ ?渍（x）＜1，从而Ｍ Ｉ Ｎ={mx∈［0，］，?渍（x）＜-1｝。由?渍（x）＜-1，可将问题转化为:x∈［0，］，cosx+2m-2＞0恒成立。若令t=cos?兹，0≤t≤1， 于是问题就化为:t2-mt+2m-2＞0在t∈［0，１］上恒成立时，求实数的取值范围。
要解决这类不等式恒成立问题，通常有三种方法：
法一：分离参数法
由t2-mt+2m-2＞0得m＞t［0，１］均成立，就化成了m要大于函数h（t）=的最大值，最后求出h（t）的最大值，即获得问题的解。
法二：函数图象法
可令g（t）=t2-mt+2m-2，则当t∈［０，１］时，图象必然分布在t轴的上方，
（如图所示）
即满足g（0）＞0g（1）＞0＜0或＞0或?荭＜00≤m≤1
解之，得m＞4-2即M I N=（4-2，＋∞）
法三：函数基本性质法
可令g（t）＝t2-mt+2m-2，通过分类讨论，将g（t）在［０，１］上的最小值求出且满足g（t）min＞0即得到m的取值范围。详解略。
例2. 设P=（log2x-1）log23y-6log2x•log2y+1，当x∈［1，２］时，求使得Ｐ＞0恒成立的y的取值范围。
［分析］因为x∈［1，２］所以０≤log2x≤1，故可以看作关于log3y的二次函数，但若利用例1介绍的三种方法显然较为繁琐，若将P中的log2x与log3y的主次关系对调，得到P=（log23y-6log3y）log2x+1-log23y，即P为关于log2x的一次函数，
此时可令t=log2x，则得P=f（t）=（log23y-6log3y）t+1-log23y
则当f（0）＞0f（1）＞0时P＞0恒成立，从而求得y∈（，）。
详解略。
以上变换主元法也是常见解决恒成立问题的重要方法。
二、不等式存在成立问题
例3.（根据高三模拟题改编）已知函数f（x）=x2-x-1与g（x）=x3-x2-5x+m。
（１）?埚x1∈［-2，２］，使得f（x1）≤g（x1）成立，求实数m的取值范围
（２）?埚x1，x2∈［-2，２］使得f（x1）＞g（x2）成立，求实数m的取值范围
［分析］ 法一：分离参数法
解决存在成立问题，通常也可用此法，但与恒成立问题应有严格的区别。
由f（x）≤g（x）得m≥-x3+2x2+4x-1，即问题化为?埚x∈［-2，２］使m≥-x3+2x2+4x-1成立，从而m要大于函数h（x）=-x3+2x2+4x-1，x∈［-2，２］的最小值（注意此处与恒成立问题的区别）最后用求导法得到h（x）min=h（-）=-，故m≥-。
法二：补集法
解决存在成立问题还可以用补集法转化为恒成立问题。事实上，若我们先将所求解的问题否定，即求x∈［-2，２］都有m＜-x3+2x2+4x-1恒成立，这样就可以用解决第一类恒成立问题。
[详解略]
下面对（２）利用补集法给出详细解答
解:先将（２）所求转化为——x１，x2∈［-2，２］都有恒成立（*）
先求f（x）在［-2，２］上的最大值，即f（x）max=f（－2）=5
再求g（x）在［-2，２］上的最小值，即g（x）max=m-
则要满足（*）式，只要满足f（x）max≤g（x）max即m≥
最后由补集法得：若?埚x1，x2∈［-2，２］使f（x1）＞g（x2）成立时，实数m的取值范围应为m＜。
由此看来，要解决以上二类问题关键是掌握第一问题的常用解题思想与方法。至于第二类问题完全可以通过“补集法”转换为第一类问题，从而避免了解决办法的混淆。
（江苏吴江市盛泽中学；215200）
注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
【关键词】“恒成立”问题 “存在成立”问题
不等式是中学数学的基础知识和重要部分，一直是各类考试考查的热点与重点。不等式“恒成立”问题与“存在成立”问题，又是不等式中常见的题型，在各地的自主招生、高考、模拟考试中屡见不鲜。此二类问题对学生掌握基本数学思想与方法提出了较高的要求。学生对此二类问题往往感到容易混淆，且难以下手。
一、不等式恒成立问题
例1.（2010年清华大学等五校联考）已知f （x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）单调递增，f（-1）＝0，设?渍（x）=sin2x+mcosx-2m，集合M={m x∈［0，］，?渍（x）＜０｝，Ｎ＝｛m x∈［0，］，f（?渍（x））＜０｝，求Ｍ Ｉ Ｎ
［分析］由题意，得f（x）＜0等价于x＜-1或0＜x＜1，于是f（?渍（x））＜０等价于?渍（x）＜-1或0＜ ?渍（x）＜1，从而Ｍ Ｉ Ｎ={mx∈［0，］，?渍（x）＜-1｝。由?渍（x）＜-1，可将问题转化为:x∈［0，］，cosx+2m-2＞0恒成立。若令t=cos?兹，0≤t≤1， 于是问题就化为:t2-mt+2m-2＞0在t∈［0，１］上恒成立时，求实数的取值范围。
要解决这类不等式恒成立问题，通常有三种方法：
法一：分离参数法
由t2-mt+2m-2＞0得m＞t［0，１］均成立，就化成了m要大于函数h（t）=的最大值，最后求出h（t）的最大值，即获得问题的解。
法二：函数图象法
可令g（t）=t2-mt+2m-2，则当t∈［０，１］时，图象必然分布在t轴的上方，
（如图所示）
即满足g（0）＞0g（1）＞0＜0或＞0或?荭＜00≤m≤1
解之，得m＞4-2即M I N=（4-2，＋∞）
法三：函数基本性质法
可令g（t）＝t2-mt+2m-2，通过分类讨论，将g（t）在［０，１］上的最小值求出且满足g（t）min＞0即得到m的取值范围。详解略。
例2. 设P=（log2x-1）log23y-6log2x•log2y+1，当x∈［1，２］时，求使得Ｐ＞0恒成立的y的取值范围。
［分析］因为x∈［1，２］所以０≤log2x≤1，故可以看作关于log3y的二次函数，但若利用例1介绍的三种方法显然较为繁琐，若将P中的log2x与log3y的主次关系对调，得到P=（log23y-6log3y）log2x+1-log23y，即P为关于log2x的一次函数，
此时可令t=log2x，则得P=f（t）=（log23y-6log3y）t+1-log23y
则当f（0）＞0f（1）＞0时P＞0恒成立，从而求得y∈（，）。
详解略。
以上变换主元法也是常见解决恒成立问题的重要方法。
二、不等式存在成立问题
例3.（根据高三模拟题改编）已知函数f（x）=x2-x-1与g（x）=x3-x2-5x+m。
（１）?埚x1∈［-2，２］，使得f（x1）≤g（x1）成立，求实数m的取值范围
（２）?埚x1，x2∈［-2，２］使得f（x1）＞g（x2）成立，求实数m的取值范围
［分析］ 法一：分离参数法
解决存在成立问题，通常也可用此法，但与恒成立问题应有严格的区别。
由f（x）≤g（x）得m≥-x3+2x2+4x-1，即问题化为?埚x∈［-2，２］使m≥-x3+2x2+4x-1成立，从而m要大于函数h（x）=-x3+2x2+4x-1，x∈［-2，２］的最小值（注意此处与恒成立问题的区别）最后用求导法得到h（x）min=h（-）=-，故m≥-。
法二：补集法
解决存在成立问题还可以用补集法转化为恒成立问题。事实上，若我们先将所求解的问题否定，即求x∈［-2，２］都有m＜-x3+2x2+4x-1恒成立，这样就可以用解决第一类恒成立问题。
[详解略]
下面对（２）利用补集法给出详细解答
解:先将（２）所求转化为——x１，x2∈［-2，２］都有恒成立（*）
先求f（x）在［-2，２］上的最大值，即f（x）max=f（－2）=5
再求g（x）在［-2，２］上的最小值，即g（x）max=m-
则要满足（*）式，只要满足f（x）max≤g（x）max即m≥
最后由补集法得：若?埚x1，x2∈［-2，２］使f（x1）＞g（x2）成立时，实数m的取值范围应为m＜。
由此看来，要解决以上二类问题关键是掌握第一问题的常用解题思想与方法。至于第二类问题完全可以通过“补集法”转换为第一类问题，从而避免了解决办法的混淆。
（江苏吴江市盛泽中学；215200）
注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文