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摘要：近年来，随着我国基础教育改革力度的不断加大，关于高中数学核心素养的理论和实践研究备受数学教育教学工作者的广泛关注。从最初的高中数学核心素养的历史背景到其内涵和特征的研究，再到高中数学核心素养模型的构建研究都得到了国家和地方教育部门的大力支持，这使得我国高中数学核心素养的理论研究成果显著。文章主要对我国近五年（2015～2020）高中数学核心素养的内涵、特征、结构三个方面进行了综述，并对其未来发展趋势做出展望。
关键词：高中数学;核心素养;内涵;特征;结构
一、 前言
高中数学核心素养目前是我国基础教育领域的一个备受关注的内容，尤其是在2014年3月末教育部颁布了《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》（以下简称《意见》）之后关于核心素养的重视程度更是达到了空前。不过至今许多学校和教育管理部门对数学核心素养内涵的界定和结构还不是很清晰，正所谓仁者见仁，智者见智。并且在高中数学教学中还存在一些不足，将高中数学核心素养过于强调是一种“关键能力”，从而淡化了数学核心素养的本质。鉴于此，笔者选择2015年至今的核心期刊和CISSCI等期刊的论文对这一问题进行综述，并且阐述某些个人观点，希望为从事高中数学教学工作者提供有益的参考。
二、 高中数学核心素养问题研究的历史背景
1949年以后，历年的中学数学教学大纲或者中学课程标准都是以基础知识和技能，运算、思维和空间想象能力作为核心培养内容。2003年颁布的《普通高中数学课程标准》实验稿中，将运算、思维和空间想象这三种主要能力发展为推理论证、空间想象、抽象概括、数据处理、运算求解这五种主要能力。虽然没有明确提出数学核心素养，但由此可见上述“五大能力”已经是高中数学核心素养的雏形。
2014年3月教育部发布了《意见》提出：“将组织研究提出各学段学生发展核心素养体系，明确学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力……”2018年1月出版了《普通高中数学课程标准》明确提出6个核心素养分别是数学抽象、直观想象，逻辑推理、数学建模、数学分析、数学运算，且在附录部分分别做了六大素养的水平划分。课程目标由“双基”和“三大能力”→“五大能力”→“四基”“四能”和“六大素养”这样一步一步不断发展和深化。且更加注重对人的品质、能力以及价值观的培养，这也符合“以学生发展为本”的教育教学理念。
三、 高中数学核心素养研究现状
（一）内涵研究与述评
高中数学核心素养是数学学科教育关注的热点，但是关于高中数学核心素养的内涵至今没有一个明确的界定。有很多从事数学教育的专家和研究者都给出了高中数学核心素养的内涵。
史宁中教授将数学抽象、逻辑推理、数学模型等具有数学基本特征的思维品质与关键能力概括为高中数学核心素养，是超越具体数学内容的教学目标，且这类素养是适应个人终身发展和社会发展需要。马云鹏教授认为高中数学核心素养反映了数学思想与实质，基于数学知识技能又高于具体的数学知识技能，是学生在学习数学领域所应该形成的综合性的能力。喻平教授认为高中数学核心素养包括知识理解→知识迁移→知识创新这层层递进的三个层面，是学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的关键能力和数学品格。
孔凡哲教授提出，建构“中国学生发展的数学核心素养”概念的内涵，必须立足两个基本起点：第一，高中数学学科核心素养与数学学科典型特质有关，第二，数学核心素养和其他学科核心素养一起对学生的全面发展发挥积极的作用。基于以上两个起点，他认为高中数学核心素养包含三种成分：分别是学生数学发展所必需的关键能力、学生经历数学化活动而获得的数学品质，思维方式以及健全的人格。其中，关键能力包括数学抽象能力、直观想象能力，数学推理能力、数学建模能力、数据分析能力和运算能力。这里相对于课标提出的六大核心素养，将逻辑推理改成了数学推理能力。
上述研究者都围绕着“能力”“思维”和“品格”对高中数学核心素养的内涵进行界定。“能力”一词出现频率最高，可想而知，更多的研究者提出数学核心素养是数学学习过程中重点培养的关键或综合能力。《百科释义》上说素养是通过训练和实践而获得的一种修养。在笔者看来，数学核心素养是一种通过数学课堂的主动学习、课后的主动复习，且通过教师指导性的训练和学生主动的联系生活实际去实践而获得的一种数学修养。笔者认为，数学核心素养不是一种固定的“套路”或者“招式”，而是数学学习的精髓和理念。或者说是一种将所学的数学知识都遗忘后剩下的东西，真正的数学教学应当是使得学生“得其意而忘其形”，不拘泥于“模式”或“套路”，当学生学习数学不被固定的“模式”或“套路”所束缚，那么数学核心素养也就能够渐渐形成与发展了，并且逐渐深入人心。
（二）特征研究与述评
各个学科核心素养具有一定的共性，但也具有一定的差异性。康世刚老师认为高中数学核心素养的特征为：生成性、综合性、外显性、境域性、个体性。孙成成老师基于素养魔方模型提出高中数学核心素养具有组合性、聚合性、整体性、内隐性。吴振英老师提出的高中数学核心素养的特征为持久性与基础性;整体性与阶段性;体悟性与可迁移性;情境性与过程性。马云鹏老师指出，数学核心素养具有综合性、阶段性和持久性。马云鹏老师指出的数学核心素养的特征是这几种观点中最为典型的。笔者认为原因有以下几点：
①数学核心素养是高中数学核心知识，技能，思想方法，活动经验，情感态度价值观的综合体现。
②数学核心素养发展的阶段性正如《教育学》提到的“人的发展具有阶段性”，每个学生的数学核心素養表现在不同的阶段，不同的层次水平。这也需要教育工作者从学生的实际出发，尊重不同阶段或层次水平的学生的特点，适当地进行分层教育或者进行针对性教育。
③数学核心素养的习得不是一蹴而就的，学校数学教学似“润物细无声”般渗透数学知识、技能，思想，方法等。学生在学校数学教育的熏陶下，内化了数学知识技能、思想方法、情感态度等，发展了良好的数学核心素养。走进现代社会，会用数学眼光洞察、数学思维研究、数学语言表达这个现实世界。 （三）结构研究与述评
数学核心素养是数学的内核，也是高效实施数学教学的基础，而高中数学核心素养体系的构建则有助于教师在教学过程中启发学生的思维，塑造学生的品质以及引领学生积极向上、公平客观的价值判断。在不同的方位下，高中数学核心素养有不同的构成。何小亚教授认为，选择数学素养构成要素有五个标准：
①反映数学学科特征;②在数学较多领域中共有;③可以培养;④容易分学段阐述;⑤可测量。
何老师提出的构成要素为：数学运算、数学推理（演绎推理与合情推理）、数学意识（符号、数据分析、应用）、数学思想方法和数学情感态度价值观。张晋宇老师提出高中数学核心素养系统结构的假设，即高中数学核心素养系统是以双基和四基的二级结构为内部，以数学六大核心素养为外层的由内而外的层层包围的三级结构系统，以及数学核心素养系统之外广阔的现实世界环境。
吴振英老师提出对数学核心素养的研究不仅要关注学生所应具备的数学知识与能力，更应该凸显情感、态度、价值观在数学核心素养中的重要性，即要体现高中数学核心素养的多维度取向。吴老师从数学的思维价值、认识论价值、应用价值与育人价值将数学核心素养的体系划分为由低到高的四个层面，构建了“数学核心素养体系塔”：数学双基层（基础知识、技能）→问题解决层（数学建模、数据分析）→数学思维层（数学推理、数学抽象）→数学精神层（科学、人文精神）。宁锐老师基于2017版的新课标提出的六大核心素养建立了一个数学核心素养的结构模型，将“6大素养”从低到高分为3个层面：数学思维素养、数学方法素养和数学工具素养，反映了从数学知识学习到应用的數学素养发展的过程。且将数学学科核心素养定义中的思维品质、关键能力和数学情意（即情感、态度和价值观）视为核心素养的3种成分贯穿于3个层面中，从而形成了一个数学素养结构模型。
对于数学核心素养的结构模型，大多数研究者都是基于新课标中“六大素养”将其进行分类的方式构造了核心素养的结构模型。何小亚、张晋宇老师提出了具体的数学核心素养的二维结构，不同的是张晋宇老师提出的由内而外的层层包围的二维结构，宁瑞老师提出的是层层递进的坐标二维结构。吴振英老师提出了直观立体的数学核心素养体系塔的三维结构，显示出数学核心素养体系也是一个螺旋式上升的动态系统。对于数学核心素养结构的讨论离不开数学知识，能力，技能，情感态度与价值感，思想方法等，且更加偏重于强调“数学能力”，从而偏化和淡化了数学核心素养的内涵。
四、 总结
国内关于数学核心素养的研究一是大多数是理论研究，实证研究较少。高中数学核心素养的内涵和外延不太清晰，这更加使得教育工作者迷惑，也不利于他们的实际工作。二是如何将常态教学与数学核心素养的培养更加恰当地结合起来，让学生在积累数学思维过程中，发展数学核心素养。三是关于数学核心素养的评价体系的不完整性，既然传统的试题不能满足评价的需求。那么要测量出学生的学习过程，对于可测量试题的编制或者形成性评价的实施，都对研究者提出了更高的要求。
中学数学教育工作者经常会有这样的反思：“高中数学核心素养具体是什么？如何在教学过程中去落实数学核心素养的培养？如何在教育教学的各个环节去渗透数学核心素养？如何制定一个量化的试题测量学生数学核心素养？在高考的压力下，如何取得应试素质和数学核心素养的一个平衡……”这样结合实际的反思有一定的积极的意义也值得深入的研究。
落实核心素养有几个关键，笔者认为应该发挥数学核心素养对教育目标的引领作用，要把握数学核心素养下的学科本质，整体把握数学课程，结合数学核心素养合理的设计问题和情境，注重合作学习，追求思维与能力的提升，落实主题教学或者单元教学等等。
国内数学核心素养的提出也说明了国内数学教育渐渐从过分重视学科知识传授转向更加关注人的全面发展。国内高中数学核心素养的内涵、特征、结构随着经济社会发展也逐步丰富和拓展。同时国外的一些先进教育理念也在逐步影响国内数学教育，并且有发展融合的特点。这一趋势在一些国内的国际学校中显现尤为突出。我们看到“中国模式”在国外也得到了越来越多的模仿与认同。综上，国内高中数学核心素养将在数学课程教学过程中，以及在借鉴国外优秀模式的基础上，得到进一步发展和提升。
参考文献：
[1]史宁中.学科核心素养的培养与教学：以数学学科核心素养的培养为例[J].中小学管理，2017（1）：35-37.
[2]马云鹏.关于数学核心素养的几个问题[J].课程·教材·教法，2015，35（9）：36-39.
[3]喻平.发展学生学科核心素养的教学目标与策略[J].课程·教材·教法，2017，37（1）：48-53 68.
[4]孔凡哲，史宁中.中国学生发展的数学核心素养概念界定及养成途径[J].教育科学研究，2017（6）：5-11.
[5]康世刚，宋乃庆.论数学素养的内涵及特征[J].数学通报，2015，54（3）：8-11 43.
[6]孙成成，胡典顺.数学核心素养：历程、模型及发展路径[J].教育探索，2016（12）：27-30.
[7]吴振英.数学核心素养的内涵、特征及其体系构建[A].全国数学教育研究会.全国数学教育研究会2016年国际学术年会论文集[C].全国数学教育研究会，2016：9.
[8]何小亚.学生“数学素养”指标的理论分析[J].数学教育学报，2015，24（1）：13-20.
[9]张晋宇，马文杰，鲍建生.数学核心素养系统的演化、结构和功能[J].基础教育，2017，14（6）：67-74.
[10]宁锐，李昌勇，罗宗绪.数学学科核心素养的结构及其教学意义[J].数学教育学报，2019，28（2）：24-29.
作者简介：
王慧蓉，李加新，信鸽，辽宁省大连市，辽宁师范大学数学学院。
关键词：高中数学;核心素养;内涵;特征;结构
一、 前言
高中数学核心素养目前是我国基础教育领域的一个备受关注的内容，尤其是在2014年3月末教育部颁布了《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》（以下简称《意见》）之后关于核心素养的重视程度更是达到了空前。不过至今许多学校和教育管理部门对数学核心素养内涵的界定和结构还不是很清晰，正所谓仁者见仁，智者见智。并且在高中数学教学中还存在一些不足，将高中数学核心素养过于强调是一种“关键能力”，从而淡化了数学核心素养的本质。鉴于此，笔者选择2015年至今的核心期刊和CISSCI等期刊的论文对这一问题进行综述，并且阐述某些个人观点，希望为从事高中数学教学工作者提供有益的参考。
二、 高中数学核心素养问题研究的历史背景
1949年以后，历年的中学数学教学大纲或者中学课程标准都是以基础知识和技能，运算、思维和空间想象能力作为核心培养内容。2003年颁布的《普通高中数学课程标准》实验稿中，将运算、思维和空间想象这三种主要能力发展为推理论证、空间想象、抽象概括、数据处理、运算求解这五种主要能力。虽然没有明确提出数学核心素养，但由此可见上述“五大能力”已经是高中数学核心素养的雏形。
2014年3月教育部发布了《意见》提出：“将组织研究提出各学段学生发展核心素养体系，明确学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力……”2018年1月出版了《普通高中数学课程标准》明确提出6个核心素养分别是数学抽象、直观想象，逻辑推理、数学建模、数学分析、数学运算，且在附录部分分别做了六大素养的水平划分。课程目标由“双基”和“三大能力”→“五大能力”→“四基”“四能”和“六大素养”这样一步一步不断发展和深化。且更加注重对人的品质、能力以及价值观的培养，这也符合“以学生发展为本”的教育教学理念。
三、 高中数学核心素养研究现状
（一）内涵研究与述评
高中数学核心素养是数学学科教育关注的热点，但是关于高中数学核心素养的内涵至今没有一个明确的界定。有很多从事数学教育的专家和研究者都给出了高中数学核心素养的内涵。
史宁中教授将数学抽象、逻辑推理、数学模型等具有数学基本特征的思维品质与关键能力概括为高中数学核心素养，是超越具体数学内容的教学目标，且这类素养是适应个人终身发展和社会发展需要。马云鹏教授认为高中数学核心素养反映了数学思想与实质，基于数学知识技能又高于具体的数学知识技能，是学生在学习数学领域所应该形成的综合性的能力。喻平教授认为高中数学核心素养包括知识理解→知识迁移→知识创新这层层递进的三个层面，是学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的关键能力和数学品格。
孔凡哲教授提出，建构“中国学生发展的数学核心素养”概念的内涵，必须立足两个基本起点：第一，高中数学学科核心素养与数学学科典型特质有关，第二，数学核心素养和其他学科核心素养一起对学生的全面发展发挥积极的作用。基于以上两个起点，他认为高中数学核心素养包含三种成分：分别是学生数学发展所必需的关键能力、学生经历数学化活动而获得的数学品质，思维方式以及健全的人格。其中，关键能力包括数学抽象能力、直观想象能力，数学推理能力、数学建模能力、数据分析能力和运算能力。这里相对于课标提出的六大核心素养，将逻辑推理改成了数学推理能力。
上述研究者都围绕着“能力”“思维”和“品格”对高中数学核心素养的内涵进行界定。“能力”一词出现频率最高，可想而知，更多的研究者提出数学核心素养是数学学习过程中重点培养的关键或综合能力。《百科释义》上说素养是通过训练和实践而获得的一种修养。在笔者看来，数学核心素养是一种通过数学课堂的主动学习、课后的主动复习，且通过教师指导性的训练和学生主动的联系生活实际去实践而获得的一种数学修养。笔者认为，数学核心素养不是一种固定的“套路”或者“招式”，而是数学学习的精髓和理念。或者说是一种将所学的数学知识都遗忘后剩下的东西，真正的数学教学应当是使得学生“得其意而忘其形”，不拘泥于“模式”或“套路”，当学生学习数学不被固定的“模式”或“套路”所束缚，那么数学核心素养也就能够渐渐形成与发展了，并且逐渐深入人心。
（二）特征研究与述评
各个学科核心素养具有一定的共性，但也具有一定的差异性。康世刚老师认为高中数学核心素养的特征为：生成性、综合性、外显性、境域性、个体性。孙成成老师基于素养魔方模型提出高中数学核心素养具有组合性、聚合性、整体性、内隐性。吴振英老师提出的高中数学核心素养的特征为持久性与基础性;整体性与阶段性;体悟性与可迁移性;情境性与过程性。马云鹏老师指出，数学核心素养具有综合性、阶段性和持久性。马云鹏老师指出的数学核心素养的特征是这几种观点中最为典型的。笔者认为原因有以下几点：
①数学核心素养是高中数学核心知识，技能，思想方法，活动经验，情感态度价值观的综合体现。
②数学核心素养发展的阶段性正如《教育学》提到的“人的发展具有阶段性”，每个学生的数学核心素養表现在不同的阶段，不同的层次水平。这也需要教育工作者从学生的实际出发，尊重不同阶段或层次水平的学生的特点，适当地进行分层教育或者进行针对性教育。
③数学核心素养的习得不是一蹴而就的，学校数学教学似“润物细无声”般渗透数学知识、技能，思想，方法等。学生在学校数学教育的熏陶下，内化了数学知识技能、思想方法、情感态度等，发展了良好的数学核心素养。走进现代社会，会用数学眼光洞察、数学思维研究、数学语言表达这个现实世界。 （三）结构研究与述评
数学核心素养是数学的内核，也是高效实施数学教学的基础，而高中数学核心素养体系的构建则有助于教师在教学过程中启发学生的思维，塑造学生的品质以及引领学生积极向上、公平客观的价值判断。在不同的方位下，高中数学核心素养有不同的构成。何小亚教授认为，选择数学素养构成要素有五个标准：
①反映数学学科特征;②在数学较多领域中共有;③可以培养;④容易分学段阐述;⑤可测量。
何老师提出的构成要素为：数学运算、数学推理（演绎推理与合情推理）、数学意识（符号、数据分析、应用）、数学思想方法和数学情感态度价值观。张晋宇老师提出高中数学核心素养系统结构的假设，即高中数学核心素养系统是以双基和四基的二级结构为内部，以数学六大核心素养为外层的由内而外的层层包围的三级结构系统，以及数学核心素养系统之外广阔的现实世界环境。
吴振英老师提出对数学核心素养的研究不仅要关注学生所应具备的数学知识与能力，更应该凸显情感、态度、价值观在数学核心素养中的重要性，即要体现高中数学核心素养的多维度取向。吴老师从数学的思维价值、认识论价值、应用价值与育人价值将数学核心素养的体系划分为由低到高的四个层面，构建了“数学核心素养体系塔”：数学双基层（基础知识、技能）→问题解决层（数学建模、数据分析）→数学思维层（数学推理、数学抽象）→数学精神层（科学、人文精神）。宁锐老师基于2017版的新课标提出的六大核心素养建立了一个数学核心素养的结构模型，将“6大素养”从低到高分为3个层面：数学思维素养、数学方法素养和数学工具素养，反映了从数学知识学习到应用的數学素养发展的过程。且将数学学科核心素养定义中的思维品质、关键能力和数学情意（即情感、态度和价值观）视为核心素养的3种成分贯穿于3个层面中，从而形成了一个数学素养结构模型。
对于数学核心素养的结构模型，大多数研究者都是基于新课标中“六大素养”将其进行分类的方式构造了核心素养的结构模型。何小亚、张晋宇老师提出了具体的数学核心素养的二维结构，不同的是张晋宇老师提出的由内而外的层层包围的二维结构，宁瑞老师提出的是层层递进的坐标二维结构。吴振英老师提出了直观立体的数学核心素养体系塔的三维结构，显示出数学核心素养体系也是一个螺旋式上升的动态系统。对于数学核心素养结构的讨论离不开数学知识，能力，技能，情感态度与价值感，思想方法等，且更加偏重于强调“数学能力”，从而偏化和淡化了数学核心素养的内涵。
四、 总结
国内关于数学核心素养的研究一是大多数是理论研究，实证研究较少。高中数学核心素养的内涵和外延不太清晰，这更加使得教育工作者迷惑，也不利于他们的实际工作。二是如何将常态教学与数学核心素养的培养更加恰当地结合起来，让学生在积累数学思维过程中，发展数学核心素养。三是关于数学核心素养的评价体系的不完整性，既然传统的试题不能满足评价的需求。那么要测量出学生的学习过程，对于可测量试题的编制或者形成性评价的实施，都对研究者提出了更高的要求。
中学数学教育工作者经常会有这样的反思：“高中数学核心素养具体是什么？如何在教学过程中去落实数学核心素养的培养？如何在教育教学的各个环节去渗透数学核心素养？如何制定一个量化的试题测量学生数学核心素养？在高考的压力下，如何取得应试素质和数学核心素养的一个平衡……”这样结合实际的反思有一定的积极的意义也值得深入的研究。
落实核心素养有几个关键，笔者认为应该发挥数学核心素养对教育目标的引领作用，要把握数学核心素养下的学科本质，整体把握数学课程，结合数学核心素养合理的设计问题和情境，注重合作学习，追求思维与能力的提升，落实主题教学或者单元教学等等。
国内数学核心素养的提出也说明了国内数学教育渐渐从过分重视学科知识传授转向更加关注人的全面发展。国内高中数学核心素养的内涵、特征、结构随着经济社会发展也逐步丰富和拓展。同时国外的一些先进教育理念也在逐步影响国内数学教育，并且有发展融合的特点。这一趋势在一些国内的国际学校中显现尤为突出。我们看到“中国模式”在国外也得到了越来越多的模仿与认同。综上，国内高中数学核心素养将在数学课程教学过程中，以及在借鉴国外优秀模式的基础上，得到进一步发展和提升。
参考文献：
[1]史宁中.学科核心素养的培养与教学：以数学学科核心素养的培养为例[J].中小学管理，2017（1）：35-37.
[2]马云鹏.关于数学核心素养的几个问题[J].课程·教材·教法，2015，35（9）：36-39.
[3]喻平.发展学生学科核心素养的教学目标与策略[J].课程·教材·教法，2017，37（1）：48-53 68.
[4]孔凡哲，史宁中.中国学生发展的数学核心素养概念界定及养成途径[J].教育科学研究，2017（6）：5-11.
[5]康世刚，宋乃庆.论数学素养的内涵及特征[J].数学通报，2015，54（3）：8-11 43.
[6]孙成成，胡典顺.数学核心素养：历程、模型及发展路径[J].教育探索，2016（12）：27-30.
[7]吴振英.数学核心素养的内涵、特征及其体系构建[A].全国数学教育研究会.全国数学教育研究会2016年国际学术年会论文集[C].全国数学教育研究会，2016：9.
[8]何小亚.学生“数学素养”指标的理论分析[J].数学教育学报，2015，24（1）：13-20.
[9]张晋宇，马文杰，鲍建生.数学核心素养系统的演化、结构和功能[J].基础教育，2017，14（6）：67-74.
[10]宁锐，李昌勇，罗宗绪.数学学科核心素养的结构及其教学意义[J].数学教育学报，2019，28（2）：24-29.
作者简介：
王慧蓉，李加新，信鸽，辽宁省大连市，辽宁师范大学数学学院。