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我们所生活的世界,包括我们人类自身,无非是质与量两个方面。
所谓“质”,表现为好坏、优劣、善恶、美丑等等;而所谓“量”则表现为长短、粗细、大小、厚薄、轻重、形状以及数量之间的关系等等。数学就是从量的角度把握和解释世界的一种努力,所以数学是一种思想,一种解释世界的方式,一种精密的语言系统。数学是对现实世界的数量关系和空间形式的概括和反映。
“数学,作为人类思维的表达形式,反映了人们积极进取的意志、慎密周详的推理,以及对完美境界的追求。”(R•柯朗等:《数学是什么》,湖南教育出版社1985年版,第5页)正如美国数学史家M•克莱因所说的那样,“任何时候,谁想找一个推理的必然性和准确性的例子,一定会想到数学。”(M•克莱因著,李宏魁译:《数学:确定性的丧失》,湖南科学技术出版社,1997年版,第2页)。他还曾对数学做过这样的描述:“音乐能激发或抚慰情怀,绘画使人赏心悦目,诗歌能动人心弦,哲学使人获得智慧,但数学却能提供以上的一切,给人快乐”。
数学依靠的是两样东西:逻辑与创造。而人们对数学的追求则有两个目的:各种实用的目的以及数学的内在趣味。对于一些人,这不仅仅指职业数学家,数学的精髓在于它的美妙和它对于智力的挑战。“数学是最聪明人之间的较量,因此非常具有挑战性,同时,数学的美丽使研究数学成为一种乐趣”。这就是菲尔兹奖得主、美国数学家符拉基米尔•福沃特斯对常人眼中枯燥的数学的认识。当然对于另一些人,包括许多科学家和工程师,数学的首要价值是它如何能够被应用于他们的工作之中。
数学语言是表达数学思想的慎重的、有意的而且经常是精心设计的专门语言,具有抽象性、准确性、简约性和形式化等特点。加强数学语言教学对提高数学阅读能力、数学表达以及交流能力具有重要作用。数学语言分为符号语言、文字语言和图表语言,三类语言之间的相互转换在数学语言学习中占有重要地位。
社会建构主义数学哲学将主观知识和客观知识看成是相互维护和相互依存的。关于数学知识的社会建构性质,欧内斯特提出了以下三点根据:1.数学知识的基础是语言知识、约定和规则,而语言知识是一种社会建构;2.个人的主观数学知识经发表后转化为客观数学知识,这需要社会性的交往与交流;3.客观性本身应该理解为社会性的认同。(Paul Ernest 著,齐建华、张松枝译:《数学教育哲学》,上海教育出版社,1998年版,第51～52页)。“整个数学知识是由证明予以保证的,其基础和可靠性则依赖于语言知识和规则。”(同上,第66页)。
数学是科学的主要术语。数学和科学具有许多共性。包括都具有对可以理解的规划的信念;想象力和严格逻辑的相互影响;诚实与公开的思想;同行评论的极端重要性。17世纪以来数学的发展清楚地表明,社会生产推动自然科学的发展,自然科学又推动数学的发展,并为数学发现提供灵感。美国数学家克莱因下面的论述充分说明了这一点:“对自然的深入研究是数学发现最丰富的源泉。”( M•克莱因:《数学:确定性的丧失》,湖南科学技术出版社,1997年, 第293页.)“数学是科学的王后,同时也是它们的女佣。” (同上,第286页)。
作为人类智慧的伟大结晶,数学受到了普遍的尊敬和推崇。在高中数学课程《标准》中提到:“数学作为人类文化的重要组成部分,构成了公民所必须具备的一种基本素质。数学科学历来是自然科学和社会科学的基础……越来越广泛的数学应用,正在不断地渗入社会生活的方方面面。……高度发展的数学思维成为人类社会进步的重要标志。”
数学有着极其重要的教育价值。数学是训练客观且精确的判断力的基本因素之一,数学尤其需要积极的思维活动及对结果的验证,而这会对其他学科的学习(在智力上和道德上)产生影响。数学的奥妙不在于发现它的完美和复杂,相反在于找到最经济和简单的表述和论证。因为数学在现代文化中扮演着中心的角色,所以对数学性质的基本了解成为科学素养的需要。要做到这一点,学生需要将数学视为科学活动的一部分,了解数学思维的本质,并熟悉重要的数学概念和技巧。
作为一门理论学科,数学探索抽象概念之间的关系,并不考虑这些抽象在现实世界是否存在对应的本物。心理学研究表明,一切智力的核心在于思维。儿童数学能力的发展应该包括认知、计算、思维三个方面,而不能简单地将计算等同于数学。有学者富有见地地指出:珠算、心算对于提高儿童的计算能力的确有很好的促进作用,但对儿童思维发展的贡献却十分有限。
数学教学的目的就在于帮助学生形成行动上的逻辑程序(思考、分析、抽象、简明、计划、演绎、推理、普遍化、具体化、应用、评判等),形成合理的思想及其表达的质量(秩序、精确、明了、简洁等),引起观察,形成空间和数目的概念,培养抽象领域里的直觉和想像,注意和关注的能力、毅力和有规则的努力之习惯,最后形成科学素养(客观、诚实、研究兴趣等等)。这是作为一个现代人所受教育的一个基础部分,哪怕他今后从事非科学或非技术性的工作。
如何发展学生的数学能力,进行有效的教学?荷兰数学教育家弗赖塔尔认为:学习数学的惟一正确方法是实行“再创造”,也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来。
所谓“质”,表现为好坏、优劣、善恶、美丑等等;而所谓“量”则表现为长短、粗细、大小、厚薄、轻重、形状以及数量之间的关系等等。数学就是从量的角度把握和解释世界的一种努力,所以数学是一种思想,一种解释世界的方式,一种精密的语言系统。数学是对现实世界的数量关系和空间形式的概括和反映。
“数学,作为人类思维的表达形式,反映了人们积极进取的意志、慎密周详的推理,以及对完美境界的追求。”(R•柯朗等:《数学是什么》,湖南教育出版社1985年版,第5页)正如美国数学史家M•克莱因所说的那样,“任何时候,谁想找一个推理的必然性和准确性的例子,一定会想到数学。”(M•克莱因著,李宏魁译:《数学:确定性的丧失》,湖南科学技术出版社,1997年版,第2页)。他还曾对数学做过这样的描述:“音乐能激发或抚慰情怀,绘画使人赏心悦目,诗歌能动人心弦,哲学使人获得智慧,但数学却能提供以上的一切,给人快乐”。
数学依靠的是两样东西:逻辑与创造。而人们对数学的追求则有两个目的:各种实用的目的以及数学的内在趣味。对于一些人,这不仅仅指职业数学家,数学的精髓在于它的美妙和它对于智力的挑战。“数学是最聪明人之间的较量,因此非常具有挑战性,同时,数学的美丽使研究数学成为一种乐趣”。这就是菲尔兹奖得主、美国数学家符拉基米尔•福沃特斯对常人眼中枯燥的数学的认识。当然对于另一些人,包括许多科学家和工程师,数学的首要价值是它如何能够被应用于他们的工作之中。
数学语言是表达数学思想的慎重的、有意的而且经常是精心设计的专门语言,具有抽象性、准确性、简约性和形式化等特点。加强数学语言教学对提高数学阅读能力、数学表达以及交流能力具有重要作用。数学语言分为符号语言、文字语言和图表语言,三类语言之间的相互转换在数学语言学习中占有重要地位。
社会建构主义数学哲学将主观知识和客观知识看成是相互维护和相互依存的。关于数学知识的社会建构性质,欧内斯特提出了以下三点根据:1.数学知识的基础是语言知识、约定和规则,而语言知识是一种社会建构;2.个人的主观数学知识经发表后转化为客观数学知识,这需要社会性的交往与交流;3.客观性本身应该理解为社会性的认同。(Paul Ernest 著,齐建华、张松枝译:《数学教育哲学》,上海教育出版社,1998年版,第51～52页)。“整个数学知识是由证明予以保证的,其基础和可靠性则依赖于语言知识和规则。”(同上,第66页)。
数学是科学的主要术语。数学和科学具有许多共性。包括都具有对可以理解的规划的信念;想象力和严格逻辑的相互影响;诚实与公开的思想;同行评论的极端重要性。17世纪以来数学的发展清楚地表明,社会生产推动自然科学的发展,自然科学又推动数学的发展,并为数学发现提供灵感。美国数学家克莱因下面的论述充分说明了这一点:“对自然的深入研究是数学发现最丰富的源泉。”( M•克莱因:《数学:确定性的丧失》,湖南科学技术出版社,1997年, 第293页.)“数学是科学的王后,同时也是它们的女佣。” (同上,第286页)。
作为人类智慧的伟大结晶,数学受到了普遍的尊敬和推崇。在高中数学课程《标准》中提到:“数学作为人类文化的重要组成部分,构成了公民所必须具备的一种基本素质。数学科学历来是自然科学和社会科学的基础……越来越广泛的数学应用,正在不断地渗入社会生活的方方面面。……高度发展的数学思维成为人类社会进步的重要标志。”
数学有着极其重要的教育价值。数学是训练客观且精确的判断力的基本因素之一,数学尤其需要积极的思维活动及对结果的验证,而这会对其他学科的学习(在智力上和道德上)产生影响。数学的奥妙不在于发现它的完美和复杂,相反在于找到最经济和简单的表述和论证。因为数学在现代文化中扮演着中心的角色,所以对数学性质的基本了解成为科学素养的需要。要做到这一点,学生需要将数学视为科学活动的一部分,了解数学思维的本质,并熟悉重要的数学概念和技巧。
作为一门理论学科,数学探索抽象概念之间的关系,并不考虑这些抽象在现实世界是否存在对应的本物。心理学研究表明,一切智力的核心在于思维。儿童数学能力的发展应该包括认知、计算、思维三个方面,而不能简单地将计算等同于数学。有学者富有见地地指出:珠算、心算对于提高儿童的计算能力的确有很好的促进作用,但对儿童思维发展的贡献却十分有限。
数学教学的目的就在于帮助学生形成行动上的逻辑程序(思考、分析、抽象、简明、计划、演绎、推理、普遍化、具体化、应用、评判等),形成合理的思想及其表达的质量(秩序、精确、明了、简洁等),引起观察,形成空间和数目的概念,培养抽象领域里的直觉和想像,注意和关注的能力、毅力和有规则的努力之习惯,最后形成科学素养(客观、诚实、研究兴趣等等)。这是作为一个现代人所受教育的一个基础部分,哪怕他今后从事非科学或非技术性的工作。
如何发展学生的数学能力,进行有效的教学?荷兰数学教育家弗赖塔尔认为:学习数学的惟一正确方法是实行“再创造”,也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来。