论文部分内容阅读
以三角函数为背景的创新题，试题情境新颖、构思精巧、解法灵活，显示了数学的活力和魅力.下面剖析这类三角函数问题的创新题.
一、信息迁移型
信息迁移题指的是不便于直接运用所学数学知识解决问题，而需要从所给材料中获取信息，并用于新问题解决的一类问题.这一类问题，往往出现在一个较新的背景之下，题型新颖，形式多样，融综合性、应用性、开放性、创新性于一体.信息迁移型题可分为定义信息型、图表信息型、图形图象信息型等.
例1（2014·福建模拟）定义一种运算S=ab，在框图所表达的算法中揭示了这种运算“”的含义.那么，按照运算“”的含义，计算tan15°tan30°+tan30°tan15°=.
分析：先由tan45°=tan（15°+30°），利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正切函数公式化简，整理后得到tan15°+tan30°=1-tan15°tan30°，然后根据题中的选择结构将所求式子的新定义运算转化为普通运算，整理后将tan15°+tan30°=1-tan15°tan30°代入，即可求出值.
解析：∵tan45°=tan（15°+30°）=tan15°+tan30°1-tan15°·tan30°=1，∴tan15°+tan30°=1-tan15°tan30°，
根据题意得：tan15°tan30°+tan30°tan15°
=tan15°tan30°+tan15°+tan30°
=tan15°tan30°+1-tan15°tan30°
=1.故答案为：1
点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及特殊角的三角函数值，利用了整体代入的思想，属于新定义的题型，理解本题的选择结构是解本题的关键.
例2常数e=2.71828…，定义函数f（x）=ex-e-x2为双曲正弦函数，记为sinhx，定义函数g（x）=ex+e-x2为双曲余弦函数，记为coshx.则以下三个命题正确的是.（只需填正确命题序号）.
（1）cosh（x+y）=coshx·coshy-sinhx·sinhy；
（2）sinh（x+y）=sinhx·coshy+coshx·sinhy；
（3）（sinhx）2-（coshx）2=1.
分析：根据题中的新定义分别表示出题目所求式子，利用同底数幂的乘法法则及多项式的乘法则即可作出判断.
解析：（1）cosh（x+y）=ex+y+e-（x+y）2，
coshx·coshy-sinhx·sinhy=ex+e-x2·ey+e-y2-ex-e-x2·ey-e-y2=ex-y+ey-x2，
∴cosh（x+y）≠coshx·coshy-sinhx·sinhy，故本选项错误；
（2）sinh（x+y）=ex+y-e-（y+x）2，
sinhx·coshy+coshx·sinhy=ex-e-x2·ey+e-y2+ex+e-x2·ey-e-y2=ex+y-e-（y+x）2，故本选项正确；
（3）（sinhx）2-（coshx）2=（ex-e-x2）2-（ex+e-x2）2=-1≠1，
故本选项错误，则三个命题正确的是（2）.故答案为：（2）
点评：此题考查了新定义的理解，解答此类题要切实对题中的新定义加以正确的理解，这样才能对新定义下的运算熟练运用，注意新定义下对普通运算不一定成立，比如本题（1）对于两角和与差的余弦函数公式不成立，灵活运用题中的新定义是解本题的关键.
二、入手基础，深挖概念内涵
例3如图，直线与圆x2+y2=1分别在第一和第二象限内交于P1，P2两点，若点P1的横坐标为35，∠P1OP2=π3，则点P2的横坐标为.
分析：利用圆的方程与点P1的横坐标，求出∠xOP1的正弦值与余弦值，通过两角和的三角函数公式求出P2的横坐标即可.
解析：因为直线与圆x2+y2=1分别在第一和第二象限内交于P1，P2两点，若点P1的横坐标为35，所以cos∠xOP1=35，sin∠xOP1=45，又∠P1OP2=π3，
所以cos（∠xOP1+π3）=cos∠xOP1cosπ3-sin∠xOP1sinπ3
=35×12-45×32
=3-4310.
所以P2的横坐标为：3-4310.
故答案为：3-4310.
点评：本题考查任意角的三角函数的定义，两角和与差的余弦函数公式，考查计算能力.
三、综合交汇
高考三角函数的考题在高考中常考常新，是既考知识又考能力的好题型，在高考备考中有较高的训练价值，同时这类问题在高考中频频出现，是历年高考试题中不容忽视的一个考点.
例4已知m=（2sinx，2cosx），n=（3cosx，cosx），f（x）=m·n-1.
（1）求函数y=f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的13，把所得到的图象再向右平移π12单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间[0，π12]上的最大值.
分析：利用两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用函数的性质求解.
解析：（1）因为f（x）=23sinx·cosx+2cos2x-1=3sin2x+cos2x=2sin（2x+π6），∴函数f（x）的最小正周期为T=π.又由2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2（k∈Z），可得kπ-π3≤x≤kπ+π6（k∈Z），∴f（x）的单调递增区间为每一个[kπ-π3，kπ+π6]（k∈Z）.
（2）根据条件得g（x）=2sin[6（x-π12）+π6]=2sin（6x-π3），当x∈[0，π12]时，6x-π3∈[-π3，π6]，-32≤sin（6x-π3）≤12，所以当x=π12时，g（x）max=1.
点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性的求法，正弦函数的单调性、定义域和值域，函数y=Asin（ωx+θ）的图象变换规律，属于中档题.
四、探索性问题
给出了题目的结论，但没有给出满足结论的条件，并且这类条件常常是不唯一的，一般是从结论出发去判断，并通过推理予以确认.
例5已知函数f（x）=sin（2x+θ）+3cos（2x+θ）（x∈R）满足2014f（-x）=12014f（x），且f（x）在[0，π4]上是减函数，则θ的一个可能值是.
分析：利用三角恒等变换可求得f（x）=2sin（2x+θ+π3），2014f（-x）=12014f（x）f（-x）=-f（x），于是可得θ=kπ-π3（k∈Z），再由f（x）在[0，π4]上是减函数，即可求得答案.
解析：∵f（x）=sin（2x+θ）+3cos（2x+θ）=2sin（2x+θ+π3），又2014f（-x）=12014f（x），∴f（-x）=-f（x），∴f（x）=2sin（2x+θ+π3）为奇函数，∴θ+π3=kπ（k∈Z），∴θ=kπ-π3（k∈Z）.又f（x）在[0，π4]上是减函数，∴k为奇数，当k=1时，θ=π-π3=2π3，符合题意.本题答案不唯一.
点评：本题考查两角和与差的正弦函数公式，着重考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，属于中档题.
一、信息迁移型
信息迁移题指的是不便于直接运用所学数学知识解决问题，而需要从所给材料中获取信息，并用于新问题解决的一类问题.这一类问题，往往出现在一个较新的背景之下，题型新颖，形式多样，融综合性、应用性、开放性、创新性于一体.信息迁移型题可分为定义信息型、图表信息型、图形图象信息型等.
例1（2014·福建模拟）定义一种运算S=ab，在框图所表达的算法中揭示了这种运算“”的含义.那么，按照运算“”的含义，计算tan15°tan30°+tan30°tan15°=.
分析：先由tan45°=tan（15°+30°），利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正切函数公式化简，整理后得到tan15°+tan30°=1-tan15°tan30°，然后根据题中的选择结构将所求式子的新定义运算转化为普通运算，整理后将tan15°+tan30°=1-tan15°tan30°代入，即可求出值.
解析：∵tan45°=tan（15°+30°）=tan15°+tan30°1-tan15°·tan30°=1，∴tan15°+tan30°=1-tan15°tan30°，
根据题意得：tan15°tan30°+tan30°tan15°
=tan15°tan30°+tan15°+tan30°
=tan15°tan30°+1-tan15°tan30°
=1.故答案为：1
点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及特殊角的三角函数值，利用了整体代入的思想，属于新定义的题型，理解本题的选择结构是解本题的关键.
例2常数e=2.71828…，定义函数f（x）=ex-e-x2为双曲正弦函数，记为sinhx，定义函数g（x）=ex+e-x2为双曲余弦函数，记为coshx.则以下三个命题正确的是.（只需填正确命题序号）.
（1）cosh（x+y）=coshx·coshy-sinhx·sinhy；
（2）sinh（x+y）=sinhx·coshy+coshx·sinhy；
（3）（sinhx）2-（coshx）2=1.
分析：根据题中的新定义分别表示出题目所求式子，利用同底数幂的乘法法则及多项式的乘法则即可作出判断.
解析：（1）cosh（x+y）=ex+y+e-（x+y）2，
coshx·coshy-sinhx·sinhy=ex+e-x2·ey+e-y2-ex-e-x2·ey-e-y2=ex-y+ey-x2，
∴cosh（x+y）≠coshx·coshy-sinhx·sinhy，故本选项错误；
（2）sinh（x+y）=ex+y-e-（y+x）2，
sinhx·coshy+coshx·sinhy=ex-e-x2·ey+e-y2+ex+e-x2·ey-e-y2=ex+y-e-（y+x）2，故本选项正确；
（3）（sinhx）2-（coshx）2=（ex-e-x2）2-（ex+e-x2）2=-1≠1，
故本选项错误，则三个命题正确的是（2）.故答案为：（2）
点评：此题考查了新定义的理解，解答此类题要切实对题中的新定义加以正确的理解，这样才能对新定义下的运算熟练运用，注意新定义下对普通运算不一定成立，比如本题（1）对于两角和与差的余弦函数公式不成立，灵活运用题中的新定义是解本题的关键.
二、入手基础，深挖概念内涵
例3如图，直线与圆x2+y2=1分别在第一和第二象限内交于P1，P2两点，若点P1的横坐标为35，∠P1OP2=π3，则点P2的横坐标为.
分析：利用圆的方程与点P1的横坐标，求出∠xOP1的正弦值与余弦值，通过两角和的三角函数公式求出P2的横坐标即可.
解析：因为直线与圆x2+y2=1分别在第一和第二象限内交于P1，P2两点，若点P1的横坐标为35，所以cos∠xOP1=35，sin∠xOP1=45，又∠P1OP2=π3，
所以cos（∠xOP1+π3）=cos∠xOP1cosπ3-sin∠xOP1sinπ3
=35×12-45×32
=3-4310.
所以P2的横坐标为：3-4310.
故答案为：3-4310.
点评：本题考查任意角的三角函数的定义，两角和与差的余弦函数公式，考查计算能力.
三、综合交汇
高考三角函数的考题在高考中常考常新，是既考知识又考能力的好题型，在高考备考中有较高的训练价值，同时这类问题在高考中频频出现，是历年高考试题中不容忽视的一个考点.
例4已知m=（2sinx，2cosx），n=（3cosx，cosx），f（x）=m·n-1.
（1）求函数y=f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的13，把所得到的图象再向右平移π12单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间[0，π12]上的最大值.
分析：利用两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用函数的性质求解.
解析：（1）因为f（x）=23sinx·cosx+2cos2x-1=3sin2x+cos2x=2sin（2x+π6），∴函数f（x）的最小正周期为T=π.又由2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2（k∈Z），可得kπ-π3≤x≤kπ+π6（k∈Z），∴f（x）的单调递增区间为每一个[kπ-π3，kπ+π6]（k∈Z）.
（2）根据条件得g（x）=2sin[6（x-π12）+π6]=2sin（6x-π3），当x∈[0，π12]时，6x-π3∈[-π3，π6]，-32≤sin（6x-π3）≤12，所以当x=π12时，g（x）max=1.
点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性的求法，正弦函数的单调性、定义域和值域，函数y=Asin（ωx+θ）的图象变换规律，属于中档题.
四、探索性问题
给出了题目的结论，但没有给出满足结论的条件，并且这类条件常常是不唯一的，一般是从结论出发去判断，并通过推理予以确认.
例5已知函数f（x）=sin（2x+θ）+3cos（2x+θ）（x∈R）满足2014f（-x）=12014f（x），且f（x）在[0，π4]上是减函数，则θ的一个可能值是.
分析：利用三角恒等变换可求得f（x）=2sin（2x+θ+π3），2014f（-x）=12014f（x）f（-x）=-f（x），于是可得θ=kπ-π3（k∈Z），再由f（x）在[0，π4]上是减函数，即可求得答案.
解析：∵f（x）=sin（2x+θ）+3cos（2x+θ）=2sin（2x+θ+π3），又2014f（-x）=12014f（x），∴f（-x）=-f（x），∴f（x）=2sin（2x+θ+π3）为奇函数，∴θ+π3=kπ（k∈Z），∴θ=kπ-π3（k∈Z）.又f（x）在[0，π4]上是减函数，∴k为奇数，当k=1时，θ=π-π3=2π3，符合题意.本题答案不唯一.
点评：本题考查两角和与差的正弦函数公式，着重考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，属于中档题.