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【内容摘要】通过有效类比进行分析和引入相关数学内容，不仅能够帮助学生顺应认知结构，有利于弄清知识点在知识系统中的地位，而且能够促进学生正迁移学习。因而类比既是一种逻辑方法，也是一种数学思想方法。本文结合教学实践，从运用类比，沟通知识；巧用类比，探索发现；运用类比，提升方法等方面阐述了运用类比教学的相关问题，并且深入思考了有关的运用问题。
【关键词】类比教学 提升方法 注意事项
类比法是指由一类事物所具有的某种属性推测出与其类似的事物也应具有这种属性的推理方法。在数学中它曾与归纳法一起被人们称为发现真理的主要工具。在数学的发展史上，很多重要的结论都是通过巧妙的类比，从一个比较简单的结论出发，对一些相似的对象在某些方面的一致性进行类比得到的。同样，初中数学教学中的任何一个知识点都有其形成过程，或是对实际问题的数学抽象，或是对旧知识进行归纳、类比后推理得出的结论，这种数学抽象或推理的过程就是知识的形成过程。如果学生能掌握这些知识的形成过程，就能从整体上把握知识结构，沟通知识的联系，弄清知识的来龙去脉，将知识学“活”。教师把学生比较熟悉的材料介绍给他们，以帮助学生把新知识与以前学过的知识结合在一起，把零散的知识系统化，不仅有助于建立完整的认知结构，而且通过迁移可以使学生发现新的知识系统。因此，如果教师能够经常性地、恰当地应用类比法揭示数学命题之间的相互联系，学生得到的将不仅是命题的结论本身，而是一种数学思维方法，进而将内化成一种数学意识和观念。波利亚说过：“类比和其他类型的相似性之间的本质区别，在我看来在于思考者的意图。”从这个意义来说，教师有意识地在教学中应用类比的方法不仅可以开拓学生的数学视野，还能够提高学生的数学思维能力，使其在学习中得到更多的“发现”和结论。
一、运用类比，沟通知识
1.巧用类比，化枯燥为形象
运用类比可以使数学中枯燥乏味的知识变得形象易懂。比如在教完全平方公式时，学生很容易忘掉公式中的第二项2ab，于是我作这样的类比：a代表男孩，b代表女孩，2次方代表结婚了，（）就表示是一家人了，那结婚后，男孩a就变成了父亲a2，女孩b变成了母亲b2，而2ab就是他们的宝宝啊，有着他们的基因ab，享受着来自父母双倍的爱——2。你们能随便把宝宝扔掉吗？学生顿时兴趣高涨，印象深刻。
2.巧用类比，温故而知新
在类比中进行对比分析，联系旧知，提示新知。这种比较有利于学生明白前后知识的联系与区别，而教师引导学生比较的知识的各个侧面，揭示了教学的重点和难点，对前后联系密切的知识教学具有温故知新的特殊作用。例如教学“平方差公式”，教材首先给出了探究问题：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
①（x 1）（x-1）
②（x 2）（x-2）
③（2x 1）（2x-1）
学生通过多项式逐项相乘的方法得出结果后，我进行引导：像这类特殊形式的多项式相乘，可以直接运用公式写出结果，上面的三个例子写成公式就是（a b）（a-b）=a2-b2，从而类推出“平方差公式”新知识。因此，教师引导学生在学习时如果能够对新问题与旧知识进行类比，大胆猜想，可以发现新知识，达到温故而知新的效果。
3.巧用类比，突破教学难点
学生往往难以理解和接受某些数学概念，倘若教师在讲授新知识时能够密切联系旧知识，有效地对新旧知识进行类比分析，就能让学生更加容易理解新知识，同时也能顺利突破难点，从而降低教学难度。例如教师可以指导学生从代数，几何图形之间进行类比转化突破学习难点。
原题：如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G。若 =3，求 的值。
图1
图2
图3
（1）尝试探究。在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是___，CG和EH的数量关系是_____， 的值是____。
（2）类比、延伸。如图2，在原题的条件下，若 =m（m>0）；则 的值是____（用含有m的代数式表示），试写出解答过程。
（3）拓展迁移。如图3，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC的延长线上的一点，AE和BD相交于点F。若 =a， =b （a>0，b>0），则 的值是___（用含a、b的代数式表示）。
可见，类比是人们思维过程中最常用的方法，它的基本作用在于根据题设条件，把不熟悉的问题转化为已知的熟悉问题，通过类比，寻找解决问题的入口处，把握类比双方的区别，从而看是否能转化，进而达到解决问题之目的。正如法国哲学家康德说的“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往能指引我们前进”，因此，在教学中加强对学生的类比和转化的训练是十分必要的。
4.巧用类比，获得结构性启发
类比，既可以体现知识方面的迁移，还可以是方法上的迁移。因为同类题型的比较学习是有其相同的本性。教师帮助学生寻找到学习数学的规律，指导学生运用类比、类推的数学学习方法，学习效果就会事半功倍。
例1：如下图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上，同时，在它北偏东40°，南偏西10°，西北（即北偏西45°）方向上又分别发现了客轮B，货轮C和海岛D。仿照表示灯塔方位的方法画出表示客轮B，货轮C和海岛D方向的射线。
例2：下图中A，B，C三点分别代表邮局、商店和学校。邮局和商店分别在学校的北偏西方向，邮局又在商店的北偏东方向。那么，图中A点应该是____，B点应该是___，C点应该是____。
例3：如何表示乙地对甲地的方位角
这三个习题共同的方法就是要先找准基点，画出十字坐标，如果基点没找准，十字坐标不画出，做起来就费劲，像例1找准了基点A，例2找准了基点学校，例3找准了基点甲地。从基点画出十字坐标，那么这三题就不用吹灰之力，迎刃而解了。解答这三题的共同规律是找出基点、画出十字坐标，规律找到了，那么我们教师在指导学生就不必对三题都进行一一分析，只要讲好一题，指明规律即可，可把大量的时间还给学生，学生就会运用类比的方法，触类旁通，轻松学习，效果倍增。 二、运用类比，探索发现
在数学知识的延伸拓展中常会借助类比思维进行比较、联想，启发诱导以寻求思维的变异和发散。教师的讲解代替不了学生的思维，教师只能是一个重要的“引导者”。这就要求教师善于考虑学生的已有经验、认知特点和认知规律，把形式的、演绎的数学返璞归真，回归到数学的本来面目，让学生体验数学知识的形成过程，体会一个问题、一个概念是怎样提出来的，它的发展和延伸是什么，有什么具体应用。例如，学生在学习含有绝对值不等式的解法时感觉比较困难，但学生对含有绝对值的方程是比较熟悉的，我们可以引导学生从含有绝对值的方程│x│=2开始探索：它表示在数轴上表示数x的点到原点的距离是2，由此，可得x=2或x=-2；那么│x│>2和│x│<2又有什么样的几何意义呢？满足条件的x值有哪些，怎样表示？进而再推广到一般的不等式│x│>2或│x│<2的不等式的解法。通过这样的类比分析，可以调动学生思维的积极性，而且在探索结果的同时，既深化了知识，又贯彻了课堂教学精讲和学生自主探索的教学原则，从而使学生在探索中获得“再发现”的体验。
教师应该引导学生利用“嫁接、渗透、代换”等方法使一个数学问题变成另一个（类）数学问题。然后，引导学生通过观察、分析、类比、联想、猜想等数学方法去探究解决问题的方法。例如：习题1：经过点0的四条射线与一条直线分别相交于A、B、C、D。
（1）①请用字母表示出图中直线AD上所有线段；②当经过点0有五条射线时，在AD上共有几条线段？有n条射线经过点0，在AD上又有几线段？（2）再由上图去观察，探索角和三角形等问题：如经过点0的四条射线与一条直线相交于A、B、C、D，请用字母表示图中所有的角，所有的三角形……由此还可以联想到：平面内有两条直线相交的交点？n条直线两两相交，最多有几个交点？再将这个问题反过来思考，即已知平面内直线相交的交点数，求相交直线的条数？对顶角的对数等。
再如习题2：一次家庭宴会有16人参加，若参加宴会的宾客都相互握手，共有几次握手？教师在引导学生解这类问题时，要紧紧抓住共同的特点，在n个的元素中，任何两个元素的组成都完成了某一事件，所以都可以用式子 计算。
可见，通过类比引发联想可以开阔学生的眼界，拓宽他们的思路，达到举一反三，触类旁通。并促进学生创新思维和问题解决能力的发展。
三、运用类比，提升方法
任何数学思想方法的学习，必须经历“解决具体问题——反思和总结 ——归纳与提炼——应用与发展”的基本过程，学生不能从“告知”中体会和掌握数学思想方法，只能从体验解决问题过程、反思和总结解决问题过程中产生数学思想方法。数学教学中注意类比思想的应用，可以启发学生领悟知识间的关联性，因为类比思维的认识依据就是事物之间具有的相似性。学生通过类比推理、类比猜想和类比发现，可以理解数学问题的产生背景以及数学问题的相关性，领悟数学知识的发生、发现和发展过程，帮助学生完成对抽象数学知识的意义建构。比如类比方程模型可以建立不等式模型，这不仅可以使学生的学习变得更轻松，更有兴趣，而且更能使学生体会这二者知识之间的联系，为学生运用新学知识解决实际问题创造条件和机会。又如在特殊平行四边形的学习中，老师可以让学生类比平行四边形的学习思路，分别从定义、性质、判定三个方面进行探究，它们的性质都分别从边、角、对角线三个角度进行归纳整理，它们的判定都可以从定义和它们特有性质的逆命题入手思考。在这样的学习过程中，学生能够提升类比思想，可以轻松地由一类通各类。退一步讲，就是在平时学习中积累和掌握一些典型的问题及解决方法，在遇到新问题时，也可以利用类比思想来解决。
初中数学的学习中还有许多运用类比数学思想方法的地方，像单项式与多项式相乘一节，运用提公因式法分解因式一节均可用小学学过的分配律类比学习，再如，一次函数与正比例函数用类比方法学习等。数学中的许多发现、创新首先是通过类比和归纳得出猜想，然后才加以证明的。因此，在数学教学过程中，积极鼓励学生、引导学生进行类比、联想、归纳与猜想，参与概念的引入过程，公式、定理、性质的发现过程和解题方法的探究过程，让他们在掌握知识的过程中，培养创新意识。这样面对陌生的数学问题，学生就能将它和熟悉问题进行分析比较，从而发现其内在联系，进而获得新的知识。总之，类比数学思想方法的运用可以使已学知识得到巩固和提高，使新知识的学习更丰富多彩。
四、有效运用类比进行数学教学的深度思考
1.类比要有方向性。要尽量从本质上类比，不要被表面现象所迷惑。
2.运用方法时要注意尽可能类比得贴切、恰当，只有两种知识之间有很强的可类比性，才能使学生同中求异、异中求同，深刻理解并掌握知识。
3.类比同归纳法一样，更多的时候还仅仅是猜想，须用演绎法严格地证明才能说明类比结论正确与否。类比法所获得的结论是对两个研究对象的观察比较、分析联想以至形成猜想来完成的，是一种由特殊到特殊的推理方法，其结论的可靠程度，依赖于两个研究对象的共有属性，一般说来，共有属性愈多，结论的可靠程度就愈大；共有属性愈是本质的，结论的可靠程度就愈高。尽管类比法结论的真实性不一定得到保证，但它在人们的认识活动中仍有着重要意义。在数学教学中，我们可以通过类比学习新知识。
总之，正确运用类比教学可以有效帮助学生理清概念、原理等，弄清知识间的异同，提高分析能力，获得规律性认识，从而形成良好的认知结构，有利于提高学生的学习效率，培养学生的自主学习能力和创造性思维能力。
【参考文献】
[1] 张绪培. 初中数学教学案例专题研究[M]. 浙江大学出版社，2005.
[2] 曹莉萍. 类比法在初中数学教学中的应用[J]. 淮阴师范学院教育科学论坛，2006（4）.
[3] 方青云. 类比思想在数学学习中的重要作用[J]. 中学数学教学，2009 （1）.
[4] 吴启虎. 浅谈类比思想在数学解题中的应用[J]. 数学之友，2011（5）.
[5] 叶秀凤. 用数学类比思想建构数学有效课堂教学的探析[J]. 学周刊，2013（28）.
【关键词】类比教学 提升方法 注意事项
类比法是指由一类事物所具有的某种属性推测出与其类似的事物也应具有这种属性的推理方法。在数学中它曾与归纳法一起被人们称为发现真理的主要工具。在数学的发展史上，很多重要的结论都是通过巧妙的类比，从一个比较简单的结论出发，对一些相似的对象在某些方面的一致性进行类比得到的。同样，初中数学教学中的任何一个知识点都有其形成过程，或是对实际问题的数学抽象，或是对旧知识进行归纳、类比后推理得出的结论，这种数学抽象或推理的过程就是知识的形成过程。如果学生能掌握这些知识的形成过程，就能从整体上把握知识结构，沟通知识的联系，弄清知识的来龙去脉，将知识学“活”。教师把学生比较熟悉的材料介绍给他们，以帮助学生把新知识与以前学过的知识结合在一起，把零散的知识系统化，不仅有助于建立完整的认知结构，而且通过迁移可以使学生发现新的知识系统。因此，如果教师能够经常性地、恰当地应用类比法揭示数学命题之间的相互联系，学生得到的将不仅是命题的结论本身，而是一种数学思维方法，进而将内化成一种数学意识和观念。波利亚说过：“类比和其他类型的相似性之间的本质区别，在我看来在于思考者的意图。”从这个意义来说，教师有意识地在教学中应用类比的方法不仅可以开拓学生的数学视野，还能够提高学生的数学思维能力，使其在学习中得到更多的“发现”和结论。
一、运用类比，沟通知识
1.巧用类比，化枯燥为形象
运用类比可以使数学中枯燥乏味的知识变得形象易懂。比如在教完全平方公式时，学生很容易忘掉公式中的第二项2ab，于是我作这样的类比：a代表男孩，b代表女孩，2次方代表结婚了，（）就表示是一家人了，那结婚后，男孩a就变成了父亲a2，女孩b变成了母亲b2，而2ab就是他们的宝宝啊，有着他们的基因ab，享受着来自父母双倍的爱——2。你们能随便把宝宝扔掉吗？学生顿时兴趣高涨，印象深刻。
2.巧用类比，温故而知新
在类比中进行对比分析，联系旧知，提示新知。这种比较有利于学生明白前后知识的联系与区别，而教师引导学生比较的知识的各个侧面，揭示了教学的重点和难点，对前后联系密切的知识教学具有温故知新的特殊作用。例如教学“平方差公式”，教材首先给出了探究问题：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
①（x 1）（x-1）
②（x 2）（x-2）
③（2x 1）（2x-1）
学生通过多项式逐项相乘的方法得出结果后，我进行引导：像这类特殊形式的多项式相乘，可以直接运用公式写出结果，上面的三个例子写成公式就是（a b）（a-b）=a2-b2，从而类推出“平方差公式”新知识。因此，教师引导学生在学习时如果能够对新问题与旧知识进行类比，大胆猜想，可以发现新知识，达到温故而知新的效果。
3.巧用类比，突破教学难点
学生往往难以理解和接受某些数学概念，倘若教师在讲授新知识时能够密切联系旧知识，有效地对新旧知识进行类比分析，就能让学生更加容易理解新知识，同时也能顺利突破难点，从而降低教学难度。例如教师可以指导学生从代数，几何图形之间进行类比转化突破学习难点。
原题：如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G。若 =3，求 的值。
图1
图2
图3
（1）尝试探究。在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是___，CG和EH的数量关系是_____， 的值是____。
（2）类比、延伸。如图2，在原题的条件下，若 =m（m>0）；则 的值是____（用含有m的代数式表示），试写出解答过程。
（3）拓展迁移。如图3，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC的延长线上的一点，AE和BD相交于点F。若 =a， =b （a>0，b>0），则 的值是___（用含a、b的代数式表示）。
可见，类比是人们思维过程中最常用的方法，它的基本作用在于根据题设条件，把不熟悉的问题转化为已知的熟悉问题，通过类比，寻找解决问题的入口处，把握类比双方的区别，从而看是否能转化，进而达到解决问题之目的。正如法国哲学家康德说的“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往能指引我们前进”，因此，在教学中加强对学生的类比和转化的训练是十分必要的。
4.巧用类比，获得结构性启发
类比，既可以体现知识方面的迁移，还可以是方法上的迁移。因为同类题型的比较学习是有其相同的本性。教师帮助学生寻找到学习数学的规律，指导学生运用类比、类推的数学学习方法，学习效果就会事半功倍。
例1：如下图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上，同时，在它北偏东40°，南偏西10°，西北（即北偏西45°）方向上又分别发现了客轮B，货轮C和海岛D。仿照表示灯塔方位的方法画出表示客轮B，货轮C和海岛D方向的射线。
例2：下图中A，B，C三点分别代表邮局、商店和学校。邮局和商店分别在学校的北偏西方向，邮局又在商店的北偏东方向。那么，图中A点应该是____，B点应该是___，C点应该是____。
例3：如何表示乙地对甲地的方位角
这三个习题共同的方法就是要先找准基点，画出十字坐标，如果基点没找准，十字坐标不画出，做起来就费劲，像例1找准了基点A，例2找准了基点学校，例3找准了基点甲地。从基点画出十字坐标，那么这三题就不用吹灰之力，迎刃而解了。解答这三题的共同规律是找出基点、画出十字坐标，规律找到了，那么我们教师在指导学生就不必对三题都进行一一分析，只要讲好一题，指明规律即可，可把大量的时间还给学生，学生就会运用类比的方法，触类旁通，轻松学习，效果倍增。 二、运用类比，探索发现
在数学知识的延伸拓展中常会借助类比思维进行比较、联想，启发诱导以寻求思维的变异和发散。教师的讲解代替不了学生的思维，教师只能是一个重要的“引导者”。这就要求教师善于考虑学生的已有经验、认知特点和认知规律，把形式的、演绎的数学返璞归真，回归到数学的本来面目，让学生体验数学知识的形成过程，体会一个问题、一个概念是怎样提出来的，它的发展和延伸是什么，有什么具体应用。例如，学生在学习含有绝对值不等式的解法时感觉比较困难，但学生对含有绝对值的方程是比较熟悉的，我们可以引导学生从含有绝对值的方程│x│=2开始探索：它表示在数轴上表示数x的点到原点的距离是2，由此，可得x=2或x=-2；那么│x│>2和│x│<2又有什么样的几何意义呢？满足条件的x值有哪些，怎样表示？进而再推广到一般的不等式│x│>2或│x│<2的不等式的解法。通过这样的类比分析，可以调动学生思维的积极性，而且在探索结果的同时，既深化了知识，又贯彻了课堂教学精讲和学生自主探索的教学原则，从而使学生在探索中获得“再发现”的体验。
教师应该引导学生利用“嫁接、渗透、代换”等方法使一个数学问题变成另一个（类）数学问题。然后，引导学生通过观察、分析、类比、联想、猜想等数学方法去探究解决问题的方法。例如：习题1：经过点0的四条射线与一条直线分别相交于A、B、C、D。
（1）①请用字母表示出图中直线AD上所有线段；②当经过点0有五条射线时，在AD上共有几条线段？有n条射线经过点0，在AD上又有几线段？（2）再由上图去观察，探索角和三角形等问题：如经过点0的四条射线与一条直线相交于A、B、C、D，请用字母表示图中所有的角，所有的三角形……由此还可以联想到：平面内有两条直线相交的交点？n条直线两两相交，最多有几个交点？再将这个问题反过来思考，即已知平面内直线相交的交点数，求相交直线的条数？对顶角的对数等。
再如习题2：一次家庭宴会有16人参加，若参加宴会的宾客都相互握手，共有几次握手？教师在引导学生解这类问题时，要紧紧抓住共同的特点，在n个的元素中，任何两个元素的组成都完成了某一事件，所以都可以用式子 计算。
可见，通过类比引发联想可以开阔学生的眼界，拓宽他们的思路，达到举一反三，触类旁通。并促进学生创新思维和问题解决能力的发展。
三、运用类比，提升方法
任何数学思想方法的学习，必须经历“解决具体问题——反思和总结 ——归纳与提炼——应用与发展”的基本过程，学生不能从“告知”中体会和掌握数学思想方法，只能从体验解决问题过程、反思和总结解决问题过程中产生数学思想方法。数学教学中注意类比思想的应用，可以启发学生领悟知识间的关联性，因为类比思维的认识依据就是事物之间具有的相似性。学生通过类比推理、类比猜想和类比发现，可以理解数学问题的产生背景以及数学问题的相关性，领悟数学知识的发生、发现和发展过程，帮助学生完成对抽象数学知识的意义建构。比如类比方程模型可以建立不等式模型，这不仅可以使学生的学习变得更轻松，更有兴趣，而且更能使学生体会这二者知识之间的联系，为学生运用新学知识解决实际问题创造条件和机会。又如在特殊平行四边形的学习中，老师可以让学生类比平行四边形的学习思路，分别从定义、性质、判定三个方面进行探究，它们的性质都分别从边、角、对角线三个角度进行归纳整理，它们的判定都可以从定义和它们特有性质的逆命题入手思考。在这样的学习过程中，学生能够提升类比思想，可以轻松地由一类通各类。退一步讲，就是在平时学习中积累和掌握一些典型的问题及解决方法，在遇到新问题时，也可以利用类比思想来解决。
初中数学的学习中还有许多运用类比数学思想方法的地方，像单项式与多项式相乘一节，运用提公因式法分解因式一节均可用小学学过的分配律类比学习，再如，一次函数与正比例函数用类比方法学习等。数学中的许多发现、创新首先是通过类比和归纳得出猜想，然后才加以证明的。因此，在数学教学过程中，积极鼓励学生、引导学生进行类比、联想、归纳与猜想，参与概念的引入过程，公式、定理、性质的发现过程和解题方法的探究过程，让他们在掌握知识的过程中，培养创新意识。这样面对陌生的数学问题，学生就能将它和熟悉问题进行分析比较，从而发现其内在联系，进而获得新的知识。总之，类比数学思想方法的运用可以使已学知识得到巩固和提高，使新知识的学习更丰富多彩。
四、有效运用类比进行数学教学的深度思考
1.类比要有方向性。要尽量从本质上类比，不要被表面现象所迷惑。
2.运用方法时要注意尽可能类比得贴切、恰当，只有两种知识之间有很强的可类比性，才能使学生同中求异、异中求同，深刻理解并掌握知识。
3.类比同归纳法一样，更多的时候还仅仅是猜想，须用演绎法严格地证明才能说明类比结论正确与否。类比法所获得的结论是对两个研究对象的观察比较、分析联想以至形成猜想来完成的，是一种由特殊到特殊的推理方法，其结论的可靠程度，依赖于两个研究对象的共有属性，一般说来，共有属性愈多，结论的可靠程度就愈大；共有属性愈是本质的，结论的可靠程度就愈高。尽管类比法结论的真实性不一定得到保证，但它在人们的认识活动中仍有着重要意义。在数学教学中，我们可以通过类比学习新知识。
总之，正确运用类比教学可以有效帮助学生理清概念、原理等，弄清知识间的异同，提高分析能力，获得规律性认识，从而形成良好的认知结构，有利于提高学生的学习效率，培养学生的自主学习能力和创造性思维能力。
【参考文献】
[1] 张绪培. 初中数学教学案例专题研究[M]. 浙江大学出版社，2005.
[2] 曹莉萍. 类比法在初中数学教学中的应用[J]. 淮阴师范学院教育科学论坛，2006（4）.
[3] 方青云. 类比思想在数学学习中的重要作用[J]. 中学数学教学，2009 （1）.
[4] 吴启虎. 浅谈类比思想在数学解题中的应用[J]. 数学之友，2011（5）.
[5] 叶秀凤. 用数学类比思想建构数学有效课堂教学的探析[J]. 学周刊，2013（28）.