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［摘要] VaR是目前国际上金融风险管理的主流方法之一，本文在简要介绍的VaR概念及计算方法后，在经典的Markowitz均值-方差模型的基础上，加入了VaR约束，研究了基于VaR约束的证券组合投资决策优化模型及其有效边界，并就此VaR模型的数学特性进行了分析。
[关键词] 证券组合风险价值均值-方差模型有效边界
一、引言
由Markowitz在1952年发表的一篇题为“证券组合的选择”的论文被公认为“标志着现代证券组合理论的开端”。Markowitz根据每一种证券的期望收益率、方差和证券间的协方差矩阵，构建证券组合的有效边界，再根据投资者的效用无差异曲线，确定最优投资组合。然而，在实际投资环境中，风险厌恶型的投资者不仅要求投资组合的实际收益率能够达到给定的期望收益率，同时也希望能够以较大的概率保证未来遭受的最大可能损失不超过某一值。为了克服传统风险计量方法在理论和实践中的缺陷，20世纪90年代以来，风险价值(Value at Risk，VaR)作为对市场风险计量的重要方法在金融领域中得到了广泛的应用，而且与投资组合的管理和决策有着密切的联系。为此，本文先简单介绍VaR方法，然后在Markowitz均值—方差模型的基础上增加VaR约束，研究基于VaR约束的投资组合优化模型。
二、方法简介
是指在正常的市场条件下和给定的置信水平内，某一金融资产或证券组合在未来特定的一段时间内的最大可能损失，称为“风险价值”。在VaR模型中，使用金融理论和数理统计理论，把一种资产或组合的各种市场风险归纳起来用一个单一的指标(VaR值)来衡量。VaR方法有三个要点：
1.置信水平c的选择
这主要是基于风险管理的需要。如果非常关心VaR实际计算结果的有效性，则置信度不应选的过高，置信度越高，则实际中损失超过VaR的可能性越小，这种额外损失的数目越少，为验证预测VaR结果所需的数据越多。一般来说，时间范围相同，置信度越高，VaR值越大。
2.持有期间t
这时应根据资产的流动性、正态性和一定的交易量所需要的时间来确定。金融经济学的实证研究表明，时间跨度越短，实际回报分布越接近正态分布。因此，在较短的持有期下得到的估计更加合理。投资于高流动性的资产，选择的期限一般较短，往往以日或者周为期计算值。对于按季节调整的资产，时间范围一般选择为90天。尽管VaR值与时间范围有关，但一般说来，实际应用中的VaR值计算方法采用的是不十分精确但被使用者普遍接受的简单可行的方法。其方法是：t天的VaR值近似地等于1天VaR的值乘 。
3.度量风险VaR的值
设某一投资组合的初始价值为W0，投资组合价值的概率密度函数为，在一定的持有期t内和置信水平c下，根据概率密度函数，求，使(1)即(2)
假设在所考虑的时间范围内的投资组合的收益率为Rp，则投资组合的期末价值W为(3)
由上述的可确定投资组合收益率，使(4)
设RP的均值为E(RP)，方差为,则(5)
VaR值的计算与概率分布有很大的关系。如果投资组合的收益率服从正态分布，即设组合收益率，其密度函数记为，则w也服从正态分布，记其密度函数为。则由VaR的定义可得：(6)
其中为标准正态分布密度函数，设N(x)为累积标准正态分布函数，则由(6)可得：(7)
令，其中>0，则有，假设持有期t(单位为年)，由随机游走的性质可知，持有期内资产组合的收益率服从分布，则VaR的计算公式可简化为：(8)
VaR方法逐渐成为度量金融风险的主流方法，许多金融机构及其业务部门在投资选择时，往往需要满足VaR约束。故此，本文将在Markowitz均值—方差模型的基础上，研究具有VaR约束的投资组合优化问题。
三、基于VaR约束的投资组合模型
1.Markowitz均值-方差模型
对于由n种金融资产组成的投资组合，经典的Markowitz均值-方差模型是一个关于正定矩阵的二次规划模型：
其中，xi为第种金融资产在投资组合中的权重;Ri为第i种金融资产的投资收益率;E(Ri)为第i种金融资产的期望收益率，i=1,2…n;RP为证券组合的收益率;E(Rp)为证券组合的期望收益率;为投资组合的方差。
由该模型的解可以确定组合资产中的最小方差组合(MVP)，其全体构成的集合为最小方差边界，即图中E(Rp)-σp平面上的一条双曲线，该双曲线上的资产组合都是在同等收益水平上风险最小的资产组合。
图基于约束的投资组合的有效边界
2.约束下的投资组合选择模型
在一般化的模型中，VaR约束包括两个方面，即:计算VaR的置信度与所允许的最大的VaR，即边界。这一过程将从给定VaR约束下，识别不同水平的期望收益率下使方差最小的投资组合开始。这样，對资产的选择将依赖于投资者对风险规避的程度。
在Markowitz模型中加入VaR约束，设置信水平为C，由VaR的定义，有：(9)
由此得到具有约束的最优均值-方差模型为：
在资产收益率服从正态分布的情况下，(9)式可以转化为(10)
即(11)
其中，(·)是标准正态分布的分布函数。由此VaR约束条件在几何上就表示一条斜率为，截距为-VaR的直线，即为市场风险边界。在该直线或其以上的全部投资组合都以C的概率保证其收益率超过最小值－VaR，其损失不超过VaR;而在该直线以下的全部投资组合收益率在置信度1-c下不超过-VaR。给定置信度的最小回报率将随回报率期望值的增加(假定标准差保持不变)而增加，并随回报率标准差的增加(假定期望回报率保持不变)而减少。这样，将传统最小方差边界MVP与市场风险边界结合起来，具有VaR约束的投资组合的选择仅仅限定在最小方差边界与VaR约束直线之间的阴影部分，即点A与点B之间的弧段AB上，如图。进一步地根据有效边界定理，有效投资组合的选择应为双曲线顶点C与A点之间的弧段CA。
四、VaR模型的特性分析
VaR可以度量包括利率风险、汇率风险、股票风险以及商品价格风险和金融衍生产品风险在内的各种市场风险，并将多种市场风险换算成一个用货币计量的，直接与收益相配比的指标数值，使人们可以明确的知道组合在不同程度上所处的风险状况。VaR模型的数学特性对于投资决策具有重要的现实意义。
1.VaR模型具有事前风险防范的作用。在进行投资决策过程中，首先要确定置信水平和VaR值。大多数投资者都属于风险规避型，除了以证券组合的均值、方差作为投资决策的依据，还要求实际收益率比某个给定的期望收益率要大。在均值-方差模型中加入了VaR约束后，将投资者不能接受的投资组合排除在外，同时将投资可能发生的最大损失降至投资者能承受的概率水平。
2.VaR模型具有高效性。VaR约束下的投资组合有效边界比Markowitz的均值-方差模型的有效边界短，在加入约束后的投资决策的范围在一定程度上有所缩小，排除了投资者所不能接受的投资组合，大大提高了投资决策的效率。VaR组合模型得出的是一组互不相交的不同置信水平下的有效边界族，随着c的增加，有效边界的范围逐步增大，由此可见利用VaR模型进行投资组合的效率更高。
2.体现了投资者的个别偏好。传统的Markowitz模型在利用有效边界解决投资者共同偏好的基础上，对个别偏好决策的处理是以个别投资者的效用无差异曲线与有效边界的切点作为最优投资决策。但是传统模型中无差异曲线的确定比较困难，对有效边界上投资者个别偏好的准确选择造成了障碍。基于VaR约束下的投资决策模型侧重于控制最大损失发生的概率，而不是损失的大小。在VaR模型中，不同的置信水平对应于不同的VaR值。对于厌恶风险的投资者来说，要尽量降低投资风险，则应选择较高的置信水平，以便能锁定风险；对于喜好风险的投资者来说，可以设置较低的置信水平，此时VaR值较低，以利于做出积极的投资策略。和传统的Markowitz模型的投资决策思路相比，利用VaR组合模型进行投资决策，在置信水平确定时就已经将共同偏好和个别偏好的解决合为一体，从而目的更清晰、方式更简洁。
五、结语
VaR在风险测量、风险限额设定和绩效评估中有着广泛的应用，本文在Markowitz证券组合理论的框架下，研究了基于VaR约束的证券组合投资决策优化模型，并讨论了其有效边界的变化。然而，在研究VaR模型特性的同时，也应该注意到它的局限性。VaR描述的是正常波动下的最大可能损失，而不能处理金融市场出现剧烈波动的极端市场情形，如股票崩盘。而且由于VaR约束缩小了经典均值-方差模型的投资组合选择范围，可能会出现两种极端的情况，一是VaR约束可能太严以至于任何选择都可能被排除在外；二是VaR约束可能过松，并没有起作用。那么如何利用该模型进行有效投资组合决策呢？这是我们今后需要继续讨论的问题。
[关键词] 证券组合风险价值均值-方差模型有效边界
一、引言
由Markowitz在1952年发表的一篇题为“证券组合的选择”的论文被公认为“标志着现代证券组合理论的开端”。Markowitz根据每一种证券的期望收益率、方差和证券间的协方差矩阵，构建证券组合的有效边界，再根据投资者的效用无差异曲线，确定最优投资组合。然而，在实际投资环境中，风险厌恶型的投资者不仅要求投资组合的实际收益率能够达到给定的期望收益率，同时也希望能够以较大的概率保证未来遭受的最大可能损失不超过某一值。为了克服传统风险计量方法在理论和实践中的缺陷，20世纪90年代以来，风险价值(Value at Risk，VaR)作为对市场风险计量的重要方法在金融领域中得到了广泛的应用，而且与投资组合的管理和决策有着密切的联系。为此，本文先简单介绍VaR方法，然后在Markowitz均值—方差模型的基础上增加VaR约束，研究基于VaR约束的投资组合优化模型。
二、方法简介
是指在正常的市场条件下和给定的置信水平内，某一金融资产或证券组合在未来特定的一段时间内的最大可能损失，称为“风险价值”。在VaR模型中，使用金融理论和数理统计理论，把一种资产或组合的各种市场风险归纳起来用一个单一的指标(VaR值)来衡量。VaR方法有三个要点：
1.置信水平c的选择
这主要是基于风险管理的需要。如果非常关心VaR实际计算结果的有效性，则置信度不应选的过高，置信度越高，则实际中损失超过VaR的可能性越小，这种额外损失的数目越少，为验证预测VaR结果所需的数据越多。一般来说，时间范围相同，置信度越高，VaR值越大。
2.持有期间t
这时应根据资产的流动性、正态性和一定的交易量所需要的时间来确定。金融经济学的实证研究表明，时间跨度越短，实际回报分布越接近正态分布。因此，在较短的持有期下得到的估计更加合理。投资于高流动性的资产，选择的期限一般较短，往往以日或者周为期计算值。对于按季节调整的资产，时间范围一般选择为90天。尽管VaR值与时间范围有关，但一般说来，实际应用中的VaR值计算方法采用的是不十分精确但被使用者普遍接受的简单可行的方法。其方法是：t天的VaR值近似地等于1天VaR的值乘 。
3.度量风险VaR的值
设某一投资组合的初始价值为W0，投资组合价值的概率密度函数为，在一定的持有期t内和置信水平c下，根据概率密度函数，求，使(1)即(2)
假设在所考虑的时间范围内的投资组合的收益率为Rp，则投资组合的期末价值W为(3)
由上述的可确定投资组合收益率，使(4)
设RP的均值为E(RP)，方差为,则(5)
VaR值的计算与概率分布有很大的关系。如果投资组合的收益率服从正态分布，即设组合收益率，其密度函数记为，则w也服从正态分布，记其密度函数为。则由VaR的定义可得：(6)
其中为标准正态分布密度函数，设N(x)为累积标准正态分布函数，则由(6)可得：(7)
令，其中>0，则有，假设持有期t(单位为年)，由随机游走的性质可知，持有期内资产组合的收益率服从分布，则VaR的计算公式可简化为：(8)
VaR方法逐渐成为度量金融风险的主流方法，许多金融机构及其业务部门在投资选择时，往往需要满足VaR约束。故此，本文将在Markowitz均值—方差模型的基础上，研究具有VaR约束的投资组合优化问题。
三、基于VaR约束的投资组合模型
1.Markowitz均值-方差模型
对于由n种金融资产组成的投资组合，经典的Markowitz均值-方差模型是一个关于正定矩阵的二次规划模型：
其中，xi为第种金融资产在投资组合中的权重;Ri为第i种金融资产的投资收益率;E(Ri)为第i种金融资产的期望收益率，i=1,2…n;RP为证券组合的收益率;E(Rp)为证券组合的期望收益率;为投资组合的方差。
由该模型的解可以确定组合资产中的最小方差组合(MVP)，其全体构成的集合为最小方差边界，即图中E(Rp)-σp平面上的一条双曲线，该双曲线上的资产组合都是在同等收益水平上风险最小的资产组合。
图基于约束的投资组合的有效边界
2.约束下的投资组合选择模型
在一般化的模型中，VaR约束包括两个方面，即:计算VaR的置信度与所允许的最大的VaR，即边界。这一过程将从给定VaR约束下，识别不同水平的期望收益率下使方差最小的投资组合开始。这样，對资产的选择将依赖于投资者对风险规避的程度。
在Markowitz模型中加入VaR约束，设置信水平为C，由VaR的定义，有：(9)
由此得到具有约束的最优均值-方差模型为：
在资产收益率服从正态分布的情况下，(9)式可以转化为(10)
即(11)
其中，(·)是标准正态分布的分布函数。由此VaR约束条件在几何上就表示一条斜率为，截距为-VaR的直线，即为市场风险边界。在该直线或其以上的全部投资组合都以C的概率保证其收益率超过最小值－VaR，其损失不超过VaR;而在该直线以下的全部投资组合收益率在置信度1-c下不超过-VaR。给定置信度的最小回报率将随回报率期望值的增加(假定标准差保持不变)而增加，并随回报率标准差的增加(假定期望回报率保持不变)而减少。这样，将传统最小方差边界MVP与市场风险边界结合起来，具有VaR约束的投资组合的选择仅仅限定在最小方差边界与VaR约束直线之间的阴影部分，即点A与点B之间的弧段AB上，如图。进一步地根据有效边界定理，有效投资组合的选择应为双曲线顶点C与A点之间的弧段CA。
四、VaR模型的特性分析
VaR可以度量包括利率风险、汇率风险、股票风险以及商品价格风险和金融衍生产品风险在内的各种市场风险，并将多种市场风险换算成一个用货币计量的，直接与收益相配比的指标数值，使人们可以明确的知道组合在不同程度上所处的风险状况。VaR模型的数学特性对于投资决策具有重要的现实意义。
1.VaR模型具有事前风险防范的作用。在进行投资决策过程中，首先要确定置信水平和VaR值。大多数投资者都属于风险规避型，除了以证券组合的均值、方差作为投资决策的依据，还要求实际收益率比某个给定的期望收益率要大。在均值-方差模型中加入了VaR约束后，将投资者不能接受的投资组合排除在外，同时将投资可能发生的最大损失降至投资者能承受的概率水平。
2.VaR模型具有高效性。VaR约束下的投资组合有效边界比Markowitz的均值-方差模型的有效边界短，在加入约束后的投资决策的范围在一定程度上有所缩小，排除了投资者所不能接受的投资组合，大大提高了投资决策的效率。VaR组合模型得出的是一组互不相交的不同置信水平下的有效边界族，随着c的增加，有效边界的范围逐步增大，由此可见利用VaR模型进行投资组合的效率更高。
2.体现了投资者的个别偏好。传统的Markowitz模型在利用有效边界解决投资者共同偏好的基础上，对个别偏好决策的处理是以个别投资者的效用无差异曲线与有效边界的切点作为最优投资决策。但是传统模型中无差异曲线的确定比较困难，对有效边界上投资者个别偏好的准确选择造成了障碍。基于VaR约束下的投资决策模型侧重于控制最大损失发生的概率，而不是损失的大小。在VaR模型中，不同的置信水平对应于不同的VaR值。对于厌恶风险的投资者来说，要尽量降低投资风险，则应选择较高的置信水平，以便能锁定风险；对于喜好风险的投资者来说，可以设置较低的置信水平，此时VaR值较低，以利于做出积极的投资策略。和传统的Markowitz模型的投资决策思路相比，利用VaR组合模型进行投资决策，在置信水平确定时就已经将共同偏好和个别偏好的解决合为一体，从而目的更清晰、方式更简洁。
五、结语
VaR在风险测量、风险限额设定和绩效评估中有着广泛的应用，本文在Markowitz证券组合理论的框架下，研究了基于VaR约束的证券组合投资决策优化模型，并讨论了其有效边界的变化。然而，在研究VaR模型特性的同时，也应该注意到它的局限性。VaR描述的是正常波动下的最大可能损失，而不能处理金融市场出现剧烈波动的极端市场情形，如股票崩盘。而且由于VaR约束缩小了经典均值-方差模型的投资组合选择范围，可能会出现两种极端的情况，一是VaR约束可能太严以至于任何选择都可能被排除在外；二是VaR约束可能过松，并没有起作用。那么如何利用该模型进行有效投资组合决策呢？这是我们今后需要继续讨论的问题。